Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Nullstellen: Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 27. August 2023, 17:05 Uhr
1 Quadratische Funktionen entdecken
2 Die Normalparabel f(x) = x²
3 Die gestreckte und gestauchte Parabel: Bedeutung des Parameters a in f(x) = ax²
4 Die verschobene Parabel: Bedeutung des Parameters c in f(x) = ax² + c
5 Die Scheitelpunktform quadratischer Funktionen f(x) = a(x+d)² + e
6 Die Normalform f(x) = x² + px + q und die allgemeine Form quadratischer Funktionen f(x) = ax² + bx + c
7 Nullstellen quadratischer Funktionen
7 Nullstellen quadratischer Funktionen
Ihr wart zur Klassenfahrt in Berlin und habt dort verschiedene Parabeln entdeckt.
Eine Parabel habt ihr in der Form der Reichstagskuppel gefunden. Nun können wir verschiedene Fragen an dieses Bild stellen.
Um die Frage nach dem Durchmesser des Kuppeldaches zu beantworten, müssen wir herausfinden, wo die Parabel die x-Achse schneidet. Diese besonderen Stellen heißen Nullstellen der Funktion.
7.1 Anzahl der Nullstellen quadratischer Funktionen erkennen
Ist die Parabelgleichung in der Scheitelpunktform gegeben, kannst du die Anzahl der Nullstellen erkennen.
Je nach Lage des Scheitelpunktes und der Öffnung der Parabel hat diese keine, eine oder zwei Nullstellen:
Tipp: Bestimme zunächst die Lage des Scheitelpunktes und die Öffnungsrichtung der Parabel. Ordne dann passend zu:
keine
eine
zwei
f(x) = -(x+2)²f(x) = x² + 3f(x) = x² - 3f(x) = (x+2)² - 1f(x) = (x+2)² + 1f(x) = -2x² + 5f(x) = (x - 4)²f(x) = x²f(x) = -2x² - 5
7.2 Nullstellen quadratischer Funktionen in der Scheitelpunktform berechnen
Um den Durchmesser der Reichstagskuppel zu berechnen, müssen wir die Nullstellen der Funktion f(x) = -0,05875x² + 23,5 berechnen.
Da die y-Koordinate der Nullstellen immer 0 ist, setzen wir dies in die Gleichung ein:
f(x) = 0
-0,05875x² + 23,5 = 0 |-23,5
-0,05875x² = -23,5 |:(-0,05875)
x² = 400 |
x1 = - und x2 = +
x1 = -20 und x2 = +20
Die Nullstellen lauten also N1(-20|0) und N2(20|0).
Der Durchmesser der Kuppel beträgt also 20m+20m = 40m.
1. Form: f(x) = ax²
Beispiel: f(x) = 3x²
f(x) = 0
3x² = 0 |:3
x² = 0 |
x = 0
N(0|0)
Natürlich hat jede Parabel mit der Funktionsgleichung f(x) = ax² die Nullstelle N(0|0), denn ihr Scheitelpunkt liegt im Ursprung. Der Scheitelpunkt ist also die Nullstelle.
2. Form: f(x) = ax² + c
Beispiel: f(x) = 0,5x² - 8
f(x) = 0
0,5x² - 8 = 0 |+8
0,5x² = 8 |:0,5
x² = 16 |
x1 = - und x2 = +
x1 = -4 und x2 = +4
N1(-4|0) und N2(4|0)
3. Form: Scheitelpunktform f(x) = a(x+d)²+e
Beispiel: f(x) = 2(x + 2)² - 18
f(x) = 0
2(x + 2)² - 18 = 0 |+18
2(x + 2)² = 18 |:2
(x + 2)² = 9 |
x1 + 2 = - und x2 + 2 = +
x1 + 2 = -3 und x2 + 2 = 3 |-2
x1 = - 3 - 2 und x2 = + 3 - 2
x1 = -5 und x2 = 1
N1(-5|0) und N2(1|0)
Der Scheitelpunkt der Parabel liegt immer in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen. Die x-Koordinate des Scheitelpunktes muss also -2 heißen. (x-Koordinate zwischen x = -5 und x = 1).
Dies passt zum Scheitelpunkt S(-2|-18), der aus der Parabelgleichung abgelesen werden kann.
4. Form: Normalform f(x) = x² + px + q (mit quadratischer Ergänzung )
Beispiel: f(x) = x² -6x + 5
f(x) = 0
x² - 6x + 5 = 0 | quadratische Ergänzung
x² - 6x + 3² - 3² + 5 = 0 | 2. binomische Formel
(x - 3)² - 9 + 5 = 0
(x - 3)² - 4 = 0 | nun hast du wieder die Scheitelpunktform und gehst wie in Bsp 3 vor: +4
(x - 3)² = 4 |
x1 - 3 = -2 und x2 - 3 = 2 |+3
x1 = -2 + 3 und x2 = 2 + 3
x1 = 1 und x2 = 5
N1(1|0) und N2(5|0)
7.3 Nullstellen quadratischer Funktionen in der Normalform berechnen mit der p-q-Formel
Du kannst die Nullstellen von Parabeln in der Normalform berechnen, indem du die Normalform zunächst in die Scheitelpunktform umwandelst und dann die Nullstellen berechnest (wie im Beispiel 4 oben)
Eine weitere, schnellere Möglichkeit ist die Anwendung der Lösungsformel: Die p-q-Formel.
Damit diese Formel angewendet werden darf, muss die Gleichung in der sogenannten Normalform gegeben sein:
x² + px + q = 0
Die Lösungsformel (pq-Formel) wird hergeleitet mithilfe der quadratischen Ergänzung. Wir leiten die Formel parallel zu einer Beispielaufgabe oben her:
Präge dir die Lösungsformel ein mit dem Lied von Dorfuchs. Höre es so oft, bis es ein Ohrwurm wird:
Übe zunächst das Umstellen der Gleichung in die Normalform und die Bestimmung von p und q.
Löse die nächsten Aufgaben mit der Lösungsformel. Schreibe wie im Beispiel:
x² - 22x + 72 = 0 |Setze ein: p=-22; =-11; -=11; q=72
x1/2 = 11
x1/2 = 11
x1/2 = 11
x1/2 = 117
x1 = 18; x2 = 4
Kurzschreibweise:
x² - 22x + 72 = 0 |Setze ein: p=-22; =-11; -=11; q=72
x1/2 = 11
x1/2 = 117
x1 = 18; x2 = 4
Prüfe deine Lösungen mithilfe des GeoGebra-Applets. Erinnerung: Die Lösungen der Gleichung sind die Nullstellen der zugehörigen Funktion.
7.4 Nullstellen von quadratischen Funktionen in der allgemeinen Form berechnen
Allgemein quadratische Gleichungen sind Gleichungen in der Form ax² + bx + c = 0.
Im Unterschied zur Normalform ist hier der Koeffizient von x² eine beliebige Zahl a.
Ordne in der nachfolgenden LearningApp, ob es sich um die Normalform oder die allgemeine Form quadratischer Gleichungen handelt.
Jede quadratische Gleichung lässt sich in die Normalform x² + px + q = 0 umformen. Dann können wir wieder die pq-Formel zur Lösung anwenden.
Übe zunächst das Umwandeln in die Normalform:
Ein Video zur Zusammenfassung: