Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Modellieren

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Quadratische Funktionen - Startseite

1 Quadratische Funktionen entdecken
2 Die Normalparabel f(x) = x²
3 Die gestreckte und gestauchte Parabel: Bedeutung des Parameters a in f(x) = ax²
4 Die verschobene Parabel: Bedeutung des Parameters c in f(x) = ax² + c
5 Die Scheitelpunktform quadratischer Funktionen f(x) = a(x+d)² + e
6 Die Normalform f(x) = x² + px + q und die allgemeine Form quadratischer Funktionen f(x) = ax² + bx + c
7 Nullstellen quadratischer Funktionen

8 Modellieren (Anwendungsaufgaben)

8 Modellieren - Anwendungsaufgaben

In unserer Umgebung gibt es viele Beispiele für Parabeln. Besonders häufig sind sie z.B. beim Brückenbau und bei Wurf- bzw. Flugbahnen zu sehen.
Es gibt besondere Punkte, die in Anwendungen immer wieder von Bedeutung sind:

• Scheitelpunkt
• Nullstellen
• Schnittpunkt mit der y-Achse
• Koordinaten eines beliebigen Punktes

Wenn in Anwendungsaufgaben die Funktionsgleichung gegeben ist, schau, welche Form sie hat, zeichne eine passende Skizze, beschrifte die Achsen und trage gegebene Punkte ein.

f(x) = ax² mit S(0|0)

f(x) = ax² + c mit S(0|c)

f(x) = a(x + d)² + e mit S(-d|e)

Fragen zu eigenen Parabeln stellen

Du hast während der Klassenfahrt Fotos von Parabeln gemacht. Zeichne in das Foto ein Koordinatenkreuz und stelle Fragen an dieses Bild, so dass der Scheitelpunkt, die Nullstellen, der Schnittpunkt mit der y-Achse oder ein beliebiger Punkt diese Frage beantworten.

Beispiel 1:

(Autor:Roulex 45; https://de.wikipedia.org/wiki/Golden_Gate_Bridge#/media/Datei:Golden-Gate-Bridge.svg)

Mögliche Fragen sind:

• Wie hoch verläuft die Fahrbahn über dem Meeresspielgel? (Scheitelpunkt, y-Koordinate)
• Wie lang sind die Hängeseile? (Koordinaten bestimmter Punkte auf der Parabel)

Beispiel 2:

Mögliche Fragen sind:

• Wie weit springt die Person? (2. Nullstelle)
• Wann hat sie die größte Sprunghöhe erreicht? (x-Koordinate des Scheitelpunktes)
• Wie hoch ist die größte Höhe des Körperschwerpunktes? (y-Koordinate des Scheitelpunktes)
• Wie hoch liegt der Körperschwerpunkt beim Absprung über dem Boden? (Schnittpunkt mit der y-Achse)

Beispiel 3:

Mögliche Fragen sind:

• Wie weit fliegt der Ball? (Abstand zwischen den Nullstellen)
• Wie hoch ist die maximale Höhe des Balls? (y-Koordinate des Scheitelpunktes)
• Wird der Baum überspielt oder landet der Ball im Baum? (Vergleiche die y-Koordinate des des Punktes P(x_Baum|y) mit der Höhe des Baumes)

Übung 1: Modellieren mit quadratischen Funktionen

Datei:Modellieren.png

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Erstelle eine Skizze und notiere deine Lösungen ausführlich und übersichtlich.

• S. 24, Nr. 1
• S. 24, Nr. 2
• S. 24, Nr. 3

Quelle: wikipedia.org

Tipp: Skizze!

Zeichne das Koordinatensystem so ein, dass der Scheitelpunkt S im Ursprung liegt. Dann kannst du die Funktionsgleichung der Form f(x) = ax² nutzen.
Beschrifte die Skizze mit den gegebenen Größen.

Kennst du einen Punkt auf der Parabel? Setze ein und löse nach a auf.

Koordinatenkreuz passend eingetragen:

Die Spannweite w=486m und die Höhe h=88m führt zu den Punkten P(243|88) und Q(-243|88). Setze die Koordinaten passend in die Funktionsgleichung f(x) = ax² ein und löse nach a auf.

Lösung: a=$\tfrac{88}{243^2}$ ≈ 0,0015.

Lies die Koordinaten der gegebenen Punkte ab und prüfe anschließend, ob sie alle zur selben Funktionsgleichung der From f(x) = ax² passen.

Es können die Punkte P(-23,5|-6,6), Q(-17|-6,5), R(-10,5|-1,3) und S(0|0) abgelesen werden. Die Koordinaten von P eingesetzt in die Funktionsgleichung f(x) = ax² ergeben für a den Wert a=$\tfrac{(-6,5)}{(-23,5)^2}$≈-0,012.
Bestimme a mithilfe des Punktes Q: a=$\tfrac{(-3,5)}{(-17)^2}$≈-0,012.
Bestimme a mithilfe des Punktes R: a=$\tfrac{(-10,5)}{(-1,3)^2}$≈-0,012.

Die Werte von a stimmen (annähernd) überein, daher passt der Brückenbogen zur Funktiongsgleichung f(x) = -0,012x².

Zeichne eine Skizze passend zur Aufgabe. Wie ist die Form der Parabel? Kennst du schon einen Punkt auf der Parabel?

Die Spannweite beträgt w=158m, die Höhe h=69m. Daher kennst du die Punkte P(-79|-69) und Q(79|-69)
Setze die Koordianten in die Funktionsgleichung ein und prüfe, ob du a=-$\tfrac{1}{90}$ erhältst.
ODER
Setze die x-Koordiante eines Punktes in die Funktionsgleichung ein und prüfe, ob die berechnete y-Koordinate passt.

Lösung: Die Daten passen zusammen.

Übung 2 - online

Schau die Aufgaben zum Basketball auf der Seite realmath.de an und vollziehe die Lösungsschritte nach.

• Aufgabe Basektball (mit Lösungsschritten)

Übung 3

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Erstelle eine Skizze und notiere deine Lösungen ausführlich und übersichtlich.

• S. 25, Nr. 5
• S. 25, Nr. 6
• S. 25, Nr. 7
• S. 25, Nr. 8
• S. 25, Nr. 9

Skizze: Die Funktionsgleichung hat die Form f(x) = ax² + c, verläuft also symmetrisch zur y-Achse.

Welche mathematische Bedeutung hat der Durchmesser? Gesucht ist der Abstand zwischen den Nullstellen.

Bestimme die Nullstellen: f(x) = 0

Lösung: Der Durchmesser beträgt ca. 62m.

Die Funktionsgleichung hat die Form f(x) = a(x + d)² + e, mit a=-0,05, also nach unten geöffnet und gestaucht und S(3|1,8). Skizze:

Gegeben ist die Höhe, also die y-Koordinate, gesucht sind die zugehörigen x-Koordinaten der Punkte P und Q .

Die maximale Höhe des Körperschwerpunktes ist mathematisch die y-Koordinate des Scheitelpunktes. Diese kannst du in der Scheitelpunktform abelsen: S(3|1,8), also...

Erkundige dich, wie hoch und breit ein Auto ist. Zeichne es dann symmetrisch zum Scheitelpunkt in deine Skizze und überlege, welche Größen gesucht sind.
Skizze:

Die Sprungweite entspricht der 2. Nullstelle, also f(x) = 0.

Vergleiche deine rechnerische Lösung mit der tatsächlichen Sprungweite von 8,90m.

Du hast zwei Möglichkeiten, die Flugbahn zu skizzieren:

Die Lage des Scheitelpunktes entscheidet über die Form der Funktionsgleichung. Stelle jeweils die Funktionsgleichung auf und setzte die Koordinaten des Scheitelpunktes ein. Dann kannst du die Gleichung nach dem Parameter a auflösen.

Die Funktionsgleichung hat die Form f(x) = ax² + c, daraus ergibt sich folgende Skizze:

Skizze:

Bestimme also zunächst die Nullstellen (f(x) = 0), gehe von dort aus 1m weiter nach rechts und bestimme für diese Stelle den zugehörigen y-Wert.

Lösung: P(-24,3|0,31), beantworte nun die Frage...

Skizze:

Gegeben ist die Höhe, also die y-Koordinate der Punkte, gesucht sind die zugehörigen x-Koordinaten. PUNKTPROBE

Die größte Höhe entspricht der y-Koordinate des Scheitelpunktes, diese kannst du in der Gleichung ablesen.

Skizze:

Bestimme die Höhe des Balls in 10m Entfernung vom Abstoßpunkt. Kann der Gegenspieler diese Höhe erreichen?

Die Funktionsgleichung hat die Form f(x) = ax² + c, also sieht die Skizze folgendermaßen aus:
In Aufgabenteil a) ist die maximale Flugweite gesucht, also der Abstand zwischen den Nullstellen.

In Aufgabenteil b) ist die maximale Höhe gesucht, also die y-Koordinate des Scheitelpunktes.

Übung 4 - online

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