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Die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt

Dieser Lernpfad beschäftigt sich mit der Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt.

• In den Aufgaben 1 und 2 wird die grundlegende Vorstellung von Sekanten und Tangenten behandelt.

• In den Aufgaben 3, 4 und 5 geht es darum Tangentengleichungen und Normalengleichungen aufzustellen.

• Aufgabe 6 behandelt den Zusammenhang der Steigung und der Ableitung in einem Punkt.

• Bei den Aufgaben 7 und 8 handelt es sich um Forderaufgaben im Bereich lokale Linearität und Ableitung in besonderen Punkten.

Unterscheidung Tangente und Sekante

1. Lückentext zur Begriffsklärung

In der oberen Abbildung sind eine rote und eine blaue Gerade zu sehen, die den Graphen (hier in grün) berühren, bzw. schneiden. Bei der blauen Geraden handelt es sich um eine Tangente und bei der roten Gerade um eine Sekante. Bewegt man die Punkte P und Q entlang der Kurve aufeinander zu, bis der Abstand zwischen ihnen minimal ist, so wird aus der Sekante eine Tangente. Betrachten wir den einzelnen Punkt P auf der Kurve, dann kann man fragen: "Wie groß ist die Steigung der Kurve an diesem Punkt?". Man definiert: Die Steigung einer Kurve in einem Punkt P soll genau so groß sein, wie die Steigung einer Tangente, welche die Kurve genau in diesem Punkt P berührt.

Die Steigung der Kurve in einem Punkt wird auch mit Hilfe ihrer ersten Ableitung in diesem Punkt beschrieben.

2. Weiterführender Lückentext

In diesem Applet siehst du den Graphen einer Funktion f und eine Gerade a. Weiterhin findest du in diesem zwei Regler, an denen du x₀ und h einstellen kannst.

Was fällt dir in Hinblick auf die Gerade a auf, wenn du den Regler von h verstellst? Fülle dazu den unter dem Applet stehenden Lückentext aus.

Hinweis: Beachte hier, dass die Dezimalzahlen mit Punkt und nicht wie gewohnt mit Komma geschrieben werden. Verwende für das Ausfüllen der Lücken bitte die folgende Schreibweise für Koordinaten: "(x/y)".

Sollte dir die 5. Lücke Probleme bereiten, überlege dir mithilfe des Applets, ob der Abstand zwischen den Punkten größer oder kleiner wird oder dieser gleich bleibt.

Tangentengleichungen aufstellen

3. Bestimme die Tangentengleichung

Die Tangente an die Funktion $f(x)=x^3+2x^2+5x-4$ im Punkt $x=5$ soll berechnet werden. Im folgenden Applet siehst du die dazu vorgenommenen Rechenschritte und Anweisungen.

Eine Tangentengleichung hat die Form $y=mx+b$, wobei $m$ die Steigung der Tangente ist und $b$ der y-Achsenabschnitt.

4. Bestimme die Tangentengleichung

Bestimme die Gleichung der Tangente an die Funktion $f(x)=-1/3x^2+3$ im Punkt $x=-3$.

Erinnere dich zuerst daran, wie eine Tangentengleichung aussieht. Aufgabe 3 kann dir dabei helfen. Um die Steigung m zu ermitteln, benötigst du die Ableitung und musst anschließend die Ableitung im Punkt $x=-3$ bestimmen. Was ist also der Zusammenhang zwischen der Ableitung in dem Punkt und der Steigung? Wenn du die Steigung berechnet hast, fehlt dir nur noch der y-Achsenabschnitt. Dazu setzt du alle bekannten Werte in die allgemeine Tangentengleichung ein und formst um.

Schließlich kannst du die vollständige Tangentengleichung aufstellen.

Bestimmung von f(x):

Die Ableitung von $f(x)$ ist $f'(x)=-2/3x$.

Steigung im Punkt x = -3:

Die Steigung im Punkt $x=-3$ ist $f'(x)=-2/3x=2$.

y-Achsenabschnitt:

Der y-Achsenabschnitt ist $0=2*(-3)+b$, also $b=6$.

Tangentengleichung:

Die Gleichung der Tangente lautet $y=2x+6$.

5. Tangente durch Normale

Berechne die Gleichung einer Tangente an die Funktion $f(x)=(x-1)^2+1$ so, dass die Tangente g senkrecht zur Tangente a an der Stelle 1,25 (Punkt A) ist. Notiere deine einzelnen Rechenschritte in deinem Heft.

Berechne zunächst die Steigung der Tangente an Punkt A und nutze Tipp 2, falls du einen weiteren Hinweis benötigst.

Falls $m_1 \cdot m_2 = -1$ gilt, so stehen die Geraden senkrecht aufeinander. (Mit $m_1, m_2$ sind die beiden Steigungen der Geraden gemeint.)

1. Schritt: $f(x)$ ableiten → $f'(x)= 2\cdot(x-1)$

2. Schritt: Steigung der Tangenten in Punkt A: $f'(1,25)= 2\cdot(1,25-1)=0,5=m_1$

3. Schritt: Steigung der Tangente g bestimmen → $0,5 \cdot m_2 = -1 <=> m_2=-2$

4. Schritt: Schnittstelle der Tangente g mit Graphen bestimmen: $f'(x)=-2=2\cdot(x-1)=2x-2 <=> x=0$

5. Schritt: Schnittpunkt bestimmen: $f(0)=(0-1)^2+1=2$, also $(0|2)$

6. Schritt: Tangentengleichung für g aufstellen: $g(x)=-2x+2$.

(y-Achsenabschnitt muss hier nicht extra bestimmt werden, da dies der Schnittpunkt mit dem Graphen ist.)

6. Richtig oder Falsch?

Schaue dir das Applet an und entscheide auf Grundlage dessen, ob die unten stehenden Aussagen richtig oder falsch sind.

Hinweis: Du kannst den Punkt P und auch die damit verbundene Tangente t selbst bewegen, um dir die Aussagen zu veranschaulichen. Oder du nutzt alternativ den eingebauten Regler.

Förderaufgaben

7. Lokale Linearität

In der Abbildung siehst du eine Funktion, sowie eine Tangente dieser Funktion im Punkt A. Mit dem Schieberegler kannst du an der markierten Stelle ran- und rauszoomen. Der rot markierte Ausschnitt ist auf der rechten Seite der Abbildung vergrößert dargestellt.

Probiere zunächst aus, was passiert, wenn du ganz nah reinzoomst und den Ausschnitt so weit es geht vergrößerst.

Bewerte folgende Aussage: "Wenn man sehr stark zoomt, stimmt die Funktion an der Stelle A mit der Tangente überein". Was hast du gesehen? Stimmst du zu? Wenn ja, warum?

Halte deine Überlegungen stichpunktartig fest und überprüfe diese anschließend anhand der unten stehenden Lösung.

Wenn du es im Applet ausprobiert hast, wirst du genau das sehen: Wenn man an einer Stelle der Funktion eine Tangente anlegt, stimmt diese in gewissem Maße mit dieser Funktion überein. Nämlich genau dann, wenn man ganz nah heranzoomt. Daher kann man auch die Tangentensteigung als Instrument zur Bestimmung der Steigung in einem Punkt (Ableitung) verwenden.

8. Besondere Punkte

In der untenstehenden Grafik siehst du den Graph einer Funktion, sowie deren Punkt P. Bei P ist eine Tangente an die Funktion angelegt, erkennbar durch die rot gestrichelten Linien. Der Punkt lässt sich verschieben. Mithilfe des Buttons oben rechts im Applet lässt sich der Punkt zur ursprünglichen Position zurücksetzen.

a) Bestimme mithilfe der Abbildung durch genaues Hinsehen die Ableitung der Funktion im Punkt P.

b) Lisa findet den "Knick" der Funktion lustig, und möchte daher die Ableitung in diesem Punkt bestimmen. Sie verschiebt also den Punkt in der Grafik, um dort eine Tangente anlegen zu können. Ihr fällt auf: "Komisch, in dem Punkt ist das schwierig. So genau kann ich da gar keine Tangente einzeichnen! Ich würde sagen, es gibt zwei verschiedene Tangenten in dem Punkt. Was bedeutet das denn für die Ableitung?"

Versuche nachzuvollziehen was Lisa meint, indem du wie sie den Punkt P verschiebst. Kann das überhaupt sein? Wie würdest du Lisas Frage beantworten?

zu a) Mach dir klar, wie dir die eingezeichnete Tangente helfen kann. Wie hängt die Tangente mit der Ableitung zusammen? Dann kannst du die Lösung einfach ablesen.

zu b) Erinnere dich an die Definition der Tangenten.

Steigung der Tangenten $m = 0,91$, also gilt für die Ableitung der Funktion f in P: $f'(0,54) = 0,91$.

Nein, es kann keine zwei verschiedenen Tangenten in einem Punkt geben. Für die Ableitung an dieser "Knickstelle" bedeutet dies, dass sie gar nicht existiert, eben da man keine eindeutige Tangente einzeichnen kann. Obwohl man die Ableitung an allen anderen Punkten der Funktion schon bilden kann, spricht man davon, dass die gesamte Funktion keine Ableitungsfunktion besitzt. Sie ist also "nicht differenzierbar". Es gibt außer dieser noch weitere Funktionen, für die dies gilt.