Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Nullstellen: Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 30. September 2021, 18:24 Uhr
SEITE IM AUFBAU
1 Quadratische Funktionen entdecken
2 Die Normalparabel f(x) = x²
3 Die gestreckte und gestauchte Parabel: Bedeutung des Parameters a in f(x) = ax²
4 Die verschobene Parabel: Bedeutung des Parameters c in f(x) = ax² + c
5 Die Scheitelpunktform quadratischer Funktionen f(x) = a(x+d)² + e
6 Die Normalform f(x) = x² + px + q und die allgemeine Form quadratischer Funktionen f(x) = ax² + bx + c
7 Nullstellen quadratischer Funktionen
7 Nullstellen quadratischer Funktionen
Ihr wart zur Klassenfahrt in Berlin und habt dort verschiedene Parabeln entdeckt.
Eine Parabel habt ihr in der Form der Reichstagskuppel gefunden. Nun können wir verschiedene Fragen an dieses Bild stellen.
Die Form der Parabelgleichung ist f(x) = ax² + c.
Diese Parabel ist also symmetrisch zur y-Achse. Der Parameter a muss negativ sein, denn die Parabel ist nach unten geöffnet. Zudem muss -1<a<0 sein, denn die Parabel ist gestaucht.
Fragen:
- Wie hoch reicht das Kuppeldach über das Dach des Reichstags?
- Wie groß ist der Durchmesser der Kuppel?
- ...
Um die Frage nach dem Durchmesser des Kuppeldaches zu beantworten, müssen wir herausfinden, wo die Parabel die x-Achse schneidet. Diese besonderen Stellen heißen Nullstellen der Funktion.
7.1 Anzahl der Nullstellen quadratischer Funktionen erkennen
Ist die Parabelgleichung in der Scheitelpunktform gegeben, kannst du die Anzahl der Nullstellen erkennen.
Je nach Lage des Scheitelpunktes und der Öffnung der Parabel hat diese keine, eine oder zwei Nullstellen:
Tipp: Bestimme zunächst die Lage des Scheitelpunktes und die Öffnungsrichtung der Parabel. Ordne dann passend zu:
keine | f(x) = x² + 3 | f(x) = -2x² - 5 | f(x) = (x+2)² + 1 |
eine | f(x) = x² | f(x) = (x - 4)² | f(x) = -(x+2)² |
zwei | f(x) = x² - 3 | f(x) = -2x² + 5 | f(x) = (x+2)² - 1 |
7.2 Nullstellen quadratischer Funktionen berechnen
Um den Durchmesser der Reichstagskuppel zu berechnen, müssen wir die Nullstellen der Funktion f(x) = -0,05875x² + 23,5 berechnen.
Da die y-Koordinate der Nullstellen immer 0 ist, setzen wir dies in die Gleichung ein:
f(x) = 0
-0,05875x² + 23,5 = 0 |-23,5
-0,05875x² = -23,5 |:(-0,05875)
x² = 400 |
x1 = - und x2 = +
x1 = -20 und x2 = +20
Die Nullstellen lauten also N1(-20|0) und N2(20|0).
Der Durchmesser der Kuppel beträgt also 20m+20m = 40m.
1. Form: f(x) = ax²
Beispiel: f(x) = 3x²
f(x) = 0
3x² = 0 |:3
x² = 0 |
x = 0
N(0|0)
Natürlich hat jede Parabel mit der Funktionsgleichung f(x) = ax² die Nullstelle N(0|0), denn sie ihr Scheitelpunkt liegt im Ursprung. Der Scheitelpunkt ist also die Nullstelle.
2. Form: f(x) = ax² + c
Beispiel: f(x) = 0,5x² - 8
f(x) = 0
0,5x² - 8 = 0 |+16
0,5x² = 8 |:0,5
x² = 16 |
x1 = - und x2 = +
x1 = -4 und x2 = +4
N1(-4|0) und N2(4|0)
3. Form: Scheitelpunktform f(x) = a(x+d)²+e
Beispiel: f(x) = (x + 2)² - 9
f(x) = 0
2(x + 2)² - 18 = 0 |+9
2(x + 2)² = 18 |2
(x + 2)² = 9 |
x1 + 2 = - | - 2 und x2 + 2 = + | - 2 br>
x1 = -5 und x2 = 1
N1(-5|0) und N2(1|0)
Der Scheitelpunkt der Parabel liegt immer in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen. Die x-Koordinate des Scheitelpunktes muss also -2 heißen. (x-Koordinate zwischen x = -5 und x = 1).
Dies passt zum Scheitelpunkt S(-2|-18), der aus der Parabelgleichung abgelesen werden kann.
Lies den Scheitelpunkt ab, gib dann die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform an und berechne die Nullstellen wie in Beispiel 3:
A: S(2|-1), also ist f(x) = (x-2)² - 1.
Nullstellen: f(x) = 0
...
Von der Normalform zur Scheitelpunktform: quadratische Ergänzung
f(x) = x² + 6x + 9 | 1. binomische Formel
f(x) = (x + 3)², also S(-3|0)
Nullstellen: f(x) = 0
(x + 3)² = 0 |
x + 3 = 0 |-3
x = -3
N(-3|0)
IDEENSAMMLUNG
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Aufgabe Basektball (mit Lösungsschritten)