Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Abstände von Objekten im Raum: Unterschied zwischen den Versionen
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Die Gerade <math>h:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 15 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}</math> ist orthogonal zur Ebene <math>E: x_3=10</math> und verläuft durch den Punkt <math>(2|0|15)</math> auf der Geraden <math>g</math>. Wegen <math>15-3s=10</math>, also <math>s=\frac{5}{3}</math>, erhält man den Lotfußpunkt <math>(2|0|10)</math>. | Die Gerade <math>h:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 15 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}</math> ist orthogonal zur Ebene <math>E: x_3=10</math> und verläuft durch den Punkt <math>(2|0|15)</math> auf der Geraden <math>g</math>. Wegen <math>15-3s=10</math>, also <math>s=\frac{5}{3}</math>, erhält man den Lotfußpunkt <math>(2|0|10)</math>. | ||
Der Vektor <math>\vec{v_s}\begin{pmatrix} 25-20s \\ 38 \\ -58-31s \end{pmatrix}</math> ist der Verbindungsvektor (in Abhängigkeit vom Geradenparameter <math>s</math>) zwischen dem Punkt <math>P(30|22|-55)</math> und einem allgemeinen Punkt <math>L</math> auf der Geraden <math>g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 5 \\ -16 \\ 3 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \\ 31 \end{pmatrix}</math>. | Der Vektor <math>\vec{v_s}=\begin{pmatrix} 25-20s \\ 38 \\ -58-31s \end{pmatrix}</math> ist der Verbindungsvektor (in Abhängigkeit vom Geradenparameter <math>s</math>) zwischen dem Punkt <math>P(30|22|-55)</math> und einem allgemeinen Punkt <math>L</math> auf der Geraden <math>g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 5 \\ -16 \\ 3 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \\ 31 \end{pmatrix}</math>. | ||
Der Punkt <math>G(4|-10|19)</math> ist der Lotfußpunkt auf der Geraden <math>g</math> und <math>H(-2|-12|22)</math> ist der Lotfußpunkt auf <math>h</math>. Der Abstand ist dann <math>d(g;h)= |\vec{GH}|=\sqrt{(4-(-2))^2+(-10-(-12))^2+(22-19)^2}</math><math>=\sqrt{36+4+9}=7</math>. | Der Punkt <math>G(4|-10|19)</math> ist der Lotfußpunkt auf der Geraden <math>g</math> und <math>H(-2|-12|22)</math> ist der Lotfußpunkt auf <math>h</math>. Der Abstand ist dann <math>d(g;h)= |\vec{GH}|=\sqrt{(4-(-2))^2+(-10-(-12))^2+(22-19)^2}</math><math>=\sqrt{36+4+9}=7</math>. |
Version vom 24. Mai 2021, 13:30 Uhr
Einstieg
Die richtigen Zuordnungen sind:
1 und C (windschiefe Geraden)
2 und A (Punkt-Ebene)
3 und B (Punkt-Gerade)
Wenn du hier noch Schwierigkeiten hast oder einfach üben willst, schaue dir den jeweiligen Abschnitt des Lernpfadkapitels an.
Abstand eines Punktes von einer Ebene
Das Lotfußpunktverfahren
Die Hesse´sche Normalenform
Um den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene zu bestimmen, gibt es neben dem Lotfußpunktverfahren auch die Möglichkeit, dies mit der Hesse´schen Normalenform zu berechnen. In diesem Abschnitt lernst du, wie du die Normalenform aufstellst und sie zur Abstandsberechnung anwendest.
Wenn du willst, kannst du auch versuchen, die Aufgaben vom Lotfußpunktverfahren mit der Hesse´schen Normalenform zu lösen.
Abstand eines Punktes von einer Geraden
Abstand zweier windschiefer Geraden
Verschiebe die Punkte und so, dass die kürzeste Verbindungsstrecke zwischen den windschiefen Geraden und ist. Du kannst die Grafik mit deiner Maus drehen, um die Geraden aus anderen Perspektiven zu betrachten.