Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lagebeziehungen und Winkel (Gerade und Ebene, 2 Ebenen): Unterschied zwischen den Versionen
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|1=Info | |1=Info | ||
|2=In diesem Lernpfadkapitel geht es um die Lagebeziehung zwischen einer Gerade und einer Ebene oder zwischen zwei Ebenen inklusive der Berechnung der Schnittwinkel. | |2=In diesem Lernpfadkapitel geht es um die Lagebeziehung zwischen einer Gerade und einer Ebene oder zwischen zwei Ebenen inklusive der Berechnung der Schnittwinkel. Das Lernpfadkapitel ist so aufgebaut, dass ihr in jedem Abschnitt zuerst grundlegende Inhalte mithilfe der Merkkästen wiederholen könnt. Anschließend findet ihr eine Beispielaufgabe, in der die Inhalte veranschaulicht werden. Am Ende jedes Abschnittes gibt es Übungsaufgaben mit Tipps und Lösungen, sodass ihr üben und euch selbst überprüfen könnt. | ||
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen: | Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen: | ||
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==Lagebeziehung Gerade-Ebene== | ==Lagebeziehung Gerade-Ebene== | ||
===Mögliche Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene=== | ===Mögliche Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene=== | ||
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'''3. Schritt:''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gaußverfahren oder dem Taschenrechner: <math>s=-1 | '''3. Schritt:''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gaußverfahren oder dem Taschenrechner: <math>s=-1, t=2, r=1 </math> | ||
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{{Box | Aufgabe 3: Schatten eines Sonnensegels | | {{Box | Aufgabe 3: Schatten eines Sonnensegels | | ||
Da es Frau Meier im Sommer auf ihrer Terrasse gerne schattig haben möchte, spannt sie ein dreieckiges Segeltuch auf. Die Eckpunkte des Segeltuchs sind <math>A | Da es Frau Meier im Sommer auf ihrer Terrasse gerne schattig haben möchte, spannt sie ein dreieckiges Segeltuch auf. Die Eckpunkte des Segeltuchs sind <math>A (9|{-}5|7), B (6|{-}5|7)</math> und <math>C (7|{-}10|11)</math>. Die Terrasse wird modelliert durch die <math>x_1 x_2</math>-Ebene. Die Richtung der Sonnenstrahlen entspricht dem Vektor <math>\vec{s} = \left( \begin{matrix} -2\\ {-}2\\ {-}10 \end{matrix} \right)</math>. In welchem Bereich hat Frau Meier nun Schatten? | ||
{{Lösung versteckt|1= Bestimme die Geraden der Lichtstrahlen durch die Eckpunkte des Sonnensegels und berechne, wo sie auf die Terrasse treffen. Vielleicht hilft dir eine Skizze.|2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}} | {{Lösung versteckt|1= Bestimme die Geraden der Lichtstrahlen durch die Eckpunkte des Sonnensegels und berechne, wo sie auf die Terrasse treffen. Vielleicht hilft dir eine Skizze.|2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= [[Datei:Aufgabe Sonnensegel Spurpunkte.png|rahmenlos|500x500px]]|2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}} | {{Lösung versteckt|1= Hier siehst du eine Skizze, die die oben beschriebene Situation abbildet. Überlege dir, welche Punkte du für die Aufgabe bestimmen musst. [[Datei:Aufgabe Sonnensegel Spurpunkte.png|rahmenlos|500x500px]]|2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= Der Schatten liegt auf der <math>x_1 | {{Lösung versteckt|1= Der Schatten liegt auf der <math>x_1 x_2 </math>-Ebene und du weißt, dass jeder Punkt auf dieser Ebene von der Form: <math>P (p_1|p_2|0)</math> ist. Du musst also die Ebenengleichung nicht aufstellen.|2=Tipp 3 anzeigen|3=Tipp 3 verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= '''1. Schritt:''' Stelle die Geradengleichungen durch die Eckpunkte des Sonnensegels in Richtung der Sonnenstrahlen auf: <math>f\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} 9\\ {-}5\\ 7 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} -2\\ {-}2\\ {-}10 \end{matrix} \right)</math>, | {{Lösung versteckt|1= '''1. Schritt:''' Stelle die Geradengleichungen durch die Eckpunkte des Sonnensegels in Richtung der Sonnenstrahlen auf: <math>f\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} 9\\ {-}5\\ 7 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} -2\\ {-}2\\ {-}10 \end{matrix} \right)</math>, | ||
<math>g\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} 6\\ {-}5\\ 7 \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} -2\\ {-}2\\ {-}10 \end{matrix} \right)</math>, | <math>g\colon \vec{x}=\left( \begin{matrix} 6\\ {-}5\\ 7 \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} -2\\ {-}2\\ {-}10 \end{matrix} \right)</math>, | ||
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Berechnung von <math>A' </math>: | Berechnung von <math>A' </math>: | ||
<math>\left( \begin{matrix} | <math>\left( \begin{matrix} p_1\\ p_2\\ 0 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 9\\ {-}5\\ 7 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} -2\\ {-}2\\ {-}10 \end{matrix} \right) \Rightarrow \begin{vmatrix} x_1=9-2r \\ x_2=-5-2r \\ 0=7-10r \end{vmatrix} \Rightarrow x_1=\frac{-63}{5}, x_2 = \frac{-32}{5}, r= \frac{7}{10} \Rightarrow A'=\left( \begin{matrix} \frac{-63}{5}\\ \frac{-32}{5}\\ 0 \end{matrix} \right)</math>. | ||
Berechnung von <math>B'</math>: | Berechnung von <math>B'</math>: | ||
<math>\left( \begin{matrix} | <math>\left( \begin{matrix} p_1\\ p_2\\ 0 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 6\\ {-}5\\ 7 \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} -2\\ {-}2\\ {-}10 \end{matrix} \right) \Rightarrow \begin{vmatrix} x_1=6-2s \\ x_2=-5-2s \\ 0=7-10s \end{vmatrix} \Rightarrow x_1=\frac{-42}{5}, x_2 = \frac{-32}{5}, r= \frac{7}{10} \Rightarrow B'=\left( \begin{matrix} \frac{-42}{5}\\ \frac{-32}{5}\\ 0 \end{matrix} \right)</math>. | ||
Berechnung von <math>C'</math>: | Berechnung von <math>C'</math>: | ||
<math>\left( \begin{matrix} | <math>\left( \begin{matrix} p_1\\ p_2\\ 0 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 7\\ {-}10\\ 11 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} -2\\ {-}2\\ {-}10 \end{matrix} \right) \Rightarrow \begin{vmatrix} x_1=7-2t \\ x_2=-10-2t \\ 0=11-10t \end{vmatrix} \Rightarrow x_1=\frac{-77}{5}, x_2 = \frac{-61}{5}, t= \frac{11}{10} \Rightarrow C'=\left( \begin{matrix} \frac{-77}{5}\\ \frac{-61}{5}\\ 0 \end{matrix} \right)</math>. | ||
Die Schattenfläche wird also durch das Dreieck mit den Eckpunkten <math>A'=\left( \begin{matrix} \frac{-63}{5}\\ \frac{-32}{5}\\ 0 \end{matrix} \right), B'=\left( \begin{matrix} \frac{-42}{5}\\ \frac{-32}{5}\\ 0 \end{matrix} \right)</math> und <math>C'=\left( \begin{matrix} \frac{-77}{5}\\ \frac{-61}{5}\\ 0 \end{matrix} \right)</math> begrenzt. | Die Schattenfläche wird also durch das Dreieck mit den Eckpunkten <math>A'=\left( \begin{matrix} \frac{-63}{5}\\ \frac{-32}{5}\\ 0 \end{matrix} \right), B'=\left( \begin{matrix} \frac{-42}{5}\\ \frac{-32}{5}\\ 0 \end{matrix} \right)</math> und <math>C'=\left( \begin{matrix} \frac{-77}{5}\\ \frac{-61}{5}\\ 0 \end{matrix} \right)</math> begrenzt. |
Version vom 18. Mai 2021, 09:22 Uhr
Lagebeziehung Gerade-Ebene
Mögliche Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene
Untersuchung der Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene
⭐Berechnung des Winkels zwischen Gerade und Ebene
Lagebeziehung Ebene-Ebene
Mögliche Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen
Untersuchung der Lagebeziehung von zwei Ebenen
Beide Ebenengleichungen in Parameterform
⭐Ebenengleichungen in Parameter- und Koordinatenform
⭐Beide Ebenengleichungen in Koordinatenform
⭐Berechnung des Winkels zwischen Ebene und Ebene