Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lagebeziehungen und Winkel (Gerade und Ebene, 2 Ebenen): Unterschied zwischen den Versionen
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{{Box | Beispiel: Untersuchung der Lagebeziehung von zwei Ebenen in Parameterform | | {{Box | Beispiel: Untersuchung der Lagebeziehung von zwei Ebenen in Parameterform | | ||
Gegeben sind eine Ebene <math>E: \vec{x}=\left( \begin{matrix} 1\\ 4\\ 0 \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} 1\\ -2\\ 1 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 3\\ 1\\ -1 \end{matrix} \right) </math> und eine Ebene <math>F: \vec{x}=\left( \begin{matrix} 1\\ 2\\ 3 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} 2\\ 3\\ -2 \end{matrix} \right)+ u \cdot \left( \begin{matrix} 5\\ 4\\ -3 \end{matrix} \right)</math>. | Gegeben sind eine Ebene <math>E: \vec{x}=\left( \begin{matrix} 1\\ 4\\ 0 \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} 1\\ {-}2\\ 1 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 3\\ 1\\ {-}1 \end{matrix} \right) </math> und eine Ebene <math>F: \vec{x}=\left( \begin{matrix} 1\\ 2\\ 3 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} 2\\ 3\\ {-}2 \end{matrix} \right)+ u \cdot \left( \begin{matrix} 5\\ 4\\ {-}3 \end{matrix} \right)</math>. | ||
Untersuche die Lagebeziehung der beiden Ebenen. | Untersuche die Lagebeziehung der beiden Ebenen. | ||
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'''1. Schritt:''' Setze die beiden Ebenengleichungen gleich. | '''1. Schritt:''' Setze die beiden Ebenengleichungen gleich. | ||
<math>\left( \begin{matrix} 1\\ 4\\ 0 \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} 1\\ -2\\ 1 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 3\\ 1\\ -1 \end{matrix} \right)= \left( \begin{matrix} 1\\ 2\\ 3 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} 2\\ 3\\ -2 \end{matrix} \right)+ u \cdot \left( \begin{matrix} 5\\ 4\\ -3 \end{matrix} \right) </math> | <math>\left( \begin{matrix} 1\\ 4\\ 0 \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} 1\\ {-}2\\ 1 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 3\\ 1\\ {-}1 \end{matrix} \right)= \left( \begin{matrix} 1\\ 2\\ 3 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} 2\\ 3\\ {-}2 \end{matrix} \right)+ u \cdot \left( \begin{matrix} 5\\ 4\\ {-}3 \end{matrix} \right) </math> | ||
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'''2. Schritt:''' Stelle das zugehörige lineare Gleichungssystem auf. | '''2. Schritt:''' Stelle das zugehörige lineare Gleichungssystem auf. | ||
<math> \begin{vmatrix} 1+k+3l=1+2r+5s \\ 4-2k+l=2+3r+4s \\ k-l=3-2r-3s \end{vmatrix} \Leftrightarrow \begin{vmatrix} -k+3l-2r+5s=0 \\ -2k+l-3r-4s=-2 \\ k-l+2r+3s=3 \end{vmatrix}</math> | <math> \begin{vmatrix} 1+k+3l=1+2r+5s \\ 4-2k+l=2+3r+4s \\ k-l=3-2r-3s \end{vmatrix} \Leftrightarrow \begin{vmatrix} -k+3l-2r+5s=0 \\ {-}2k+l-3r-4s=-2 \\ k-l+2r+3s=3 \end{vmatrix}</math> | ||
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{{Lösung versteckt|1=Das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen. Da sich in jeder Zeile der Diagonalform Einträge befinden, ist nur ein Parameter frei wählbar und die Ebenen schneiden sich in einer Schnittgeraden.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | {{Lösung versteckt|1=Das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen. Da sich in jeder Zeile der Diagonalform Einträge befinden, ist nur ein Parameter frei wählbar und die Ebenen schneiden sich in einer Schnittgeraden.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | ||
'''b)''' <math>\begin{vmatrix} 1 & | '''b)''' <math>\begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & -3 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -5 \end{vmatrix}</math> | ||
{{Lösung versteckt|1=Das Gleichungssystem besitzt keine Lösung, da die dritte Zeile nicht lösbar ist. Die Ebenen liegen also parallel zueinander.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | {{Lösung versteckt|1=Das Gleichungssystem besitzt keine Lösung, da die dritte Zeile nicht lösbar ist. Die Ebenen liegen also parallel zueinander.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | ||
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{{Box | Beispiel: Untersuchung der Lagebeziehung von zwei Ebenen in Koordinatenform und Parameterform | | {{Box | Beispiel: Untersuchung der Lagebeziehung von zwei Ebenen in Koordinatenform und Parameterform | | ||
Gegeben sind eine Ebene <math>E: \vec{x}=\left( \begin{matrix} 2\\ 1\\ -3 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} 1\\ 0\\ -1 \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\ 1\\ 0 \end{matrix} \right) </math> und eine Ebene <math>F: -1{,}5x_1+3x_2-1{,}5x_3=4,5</math>. | Gegeben sind eine Ebene <math>E: \vec{x}=\left( \begin{matrix} 2\\ 1\\ {-}3 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} 1\\ 0\\ {-}1 \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\ 1\\ 0 \end{matrix} \right) </math> und eine Ebene <math>F: -1{,}5x_1+3x_2-1{,}5x_3=4,5</math>. | ||
Untersuche die Lagebeziehung der beiden Ebenen. | Untersuche die Lagebeziehung der beiden Ebenen. | ||
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Hierfür muss gelten, dass <math> \vec{n} \ast \vec{u}=0</math> und <math> \vec{n} \ast \vec{v}=0</math>. | Hierfür muss gelten, dass <math> \vec{n} \ast \vec{u}=0</math> und <math> \vec{n} \ast \vec{v}=0</math>. | ||
<math> \vec{n} \ast \vec{u}=\left( \begin{matrix} -1{,}5\\ 3\\ -1{,}5 \end{matrix} \right)\ast\left( \begin{matrix} 1\\ 0\\ -1 \end{matrix} \right)=-1,5+0+1,5=0</math> | <math> \vec{n} \ast \vec{u}=\left( \begin{matrix} {-}1{,}5\\ 3\\ {-}1{,}5 \end{matrix} \right)\ast\left( \begin{matrix} 1\\ 0\\ {-}1 \end{matrix} \right)=-1,5+0+1,5=0</math> | ||
<math> \vec{n} \ast \vec{v}=\left( \begin{matrix} -1{,}5\\ 3\\ -1{,}5 \end{matrix} \right)\ast\left( \begin{matrix} 2\\ 1\\ 0 \end{matrix} \right)=-3+3+0=0</math> | <math> \vec{n} \ast \vec{v}=\left( \begin{matrix} -1{,}5\\ 3\\ {-}1{,}5 \end{matrix} \right)\ast\left( \begin{matrix} 2\\ 1\\ 0 \end{matrix} \right)=-3+3+0=0</math> | ||
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'''a)''' <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> | '''a)''' <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}1 \\ 2 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> | ||
<math>F: 7x_1+x_2-3x_3-8=0 </math> | <math>F: 7x_1+x_2-3x_3-8=0 </math> | ||
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'''b)''' <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} </math> | '''b)''' <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 3 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} </math> | ||
<math>F: -3x_1-9x_2-x_3=5 </math> | <math>F: -3x_1-9x_2-x_3=5 </math> | ||
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{{Lösung versteckt|1= parallel|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | {{Lösung versteckt|1= parallel|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | ||
'''c)''' <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} </math> | '''c)''' <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ {-}2 \\ 1 \end{pmatrix} </math> | ||
<math>F: 12x_1+26x_4-3x_3=10 </math> | <math>F: 12x_1+26x_4-3x_3=10 </math> | ||
Zeile 467: | Zeile 467: | ||
'''1. Schritt:''' Prüfe, ob der Normalenvektor <math> \vec{n}</math> der Ebene <math>E </math> ein Vielfaches des Normalenvektors <math> \vec{m} </math> der Ebene <math>F</math> ist. | '''1. Schritt:''' Prüfe, ob der Normalenvektor <math> \vec{n}</math> der Ebene <math>E </math> ein Vielfaches des Normalenvektors <math> \vec{m} </math> der Ebene <math>F</math> ist. | ||
<math> r\cdot\vec{n}=\vec{m} \Leftrightarrow r\cdot\left( \begin{matrix} 3\\ -4\\ -1 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 1\\ 0\\ -1 \end{matrix} \right)</math> | <math> r\cdot\vec{n}=\vec{m} \Leftrightarrow r\cdot\left( \begin{matrix} 3\\ {-}4\\ {-}1 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 1\\ 0\\ {-}1 \end{matrix} \right)</math> | ||
Zeile 489: | Zeile 489: | ||
Stelle die Geradengleichung auf. | Stelle die Geradengleichung auf. | ||
<math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -\frac{7}{3} \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} </math>| Hervorhebung1}} | <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ {-}1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -\frac{7}{3} \\ {-}2 \\ 1 \end{pmatrix} </math>| Hervorhebung1}} | ||
{{Box|Aufgabe 11: Untersuchung der Lagebeziehung zwischen zwei Ebenen in Koordinatenform | | {{Box|Aufgabe 11: Untersuchung der Lagebeziehung zwischen zwei Ebenen in Koordinatenform | | ||
Zeile 509: | Zeile 509: | ||
{{Box|Aufgabe 12: Schnitt von zwei Zeltflächen| | {{Box|Aufgabe 12: Schnitt von zwei Zeltflächen| | ||
Die beiden Seitenflächen eines Zeltes liegen in den Ebenen <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4\end{pmatrix} </math> und <math>F: \vec{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+ u \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. Der Erdboden wird durch die <math>x_1</math>-<math>x_2</math> -Ebene aufgespannt. In welcher Höhe befindet sich die obere Zeltkante, wenn eine Einheit im Koordinatensystem <math>1</math> m entspricht? | Die beiden Seitenflächen eines Zeltes liegen in den Ebenen <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4\end{pmatrix} </math> und <math>F: \vec{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+ u \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. Der Erdboden wird durch die <math>x_1</math>-<math>x_2</math> -Ebene aufgespannt. In welcher Höhe befindet sich die obere Zeltkante, wenn eine Einheit im Koordinatensystem <math>1</math> m entspricht? | ||
{{Lösung versteckt|1= Mache dir zunächst eine Skizze von der Situation. Überlege dir, womit die obere Zeltkante beschrieben werden kann.|2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}} | {{Lösung versteckt|1= Mache dir zunächst eine Skizze von der Situation. Überlege dir, womit die obere Zeltkante beschrieben werden kann.|2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}} |
Version vom 9. Mai 2021, 10:58 Uhr
Hier entsteht das Lernpfadkapitel "Lagebeziehungen und Winkel (Gerade und Ebene, 2 Ebenen)".
Das Lernpfadkapitel ist so aufgebaut, dass ihr in jedem Abschnitt zuerst grundlegende Inhalte mithilfe der Merkkästen wiederholen könnt. Anschließend findet ihr eine Beispielaufgabe, in der die Inhalte veranschaulicht werden. Am Ende jedes Abschnittes gibt es Übungsaufgaben mit Tipps und Lösungen, sodass ihr üben und euch selbst überprüfen könnt.
Lagebeziehung Gerade-Ebene
Mögliche Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene
Untersuchung der Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene
⭐Berechnung des Winkels zwischen Gerade und Ebene
Lagebeziehung Ebene-Ebene
Mögliche Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen
Untersuchung der Lagebeziehung von zwei Ebenen
Beide Ebenengleichungen in Parameterform
⭐Ebenengleichungen in Parameter- und Koordinatenform
⭐Beide Ebenengleichungen in Koordinatenform
⭐Berechnung des Winkels zwischen Ebene und Ebene