Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum: Unterschied zwischen den Versionen

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==Normalenform und Koordinatenform einer Ebenengleichung==
==Normalenform und Koordinatenform von Ebenengleichungen==
<div class="box ueben">
<br />{{Box | Merksatz: Normalen- und Koordinatenform | Bisher wurde eine Ebene mithilfe eines Aufpunkts A und zwei Spannvektoren u und v beschrieben. Eine andere Möglichkeit ist, sie durch einen Aufpunkt A und einen Normalenvektor zu beschreiben. Damit erhält man die Normalengleichung der Ebene. Sie hat die Form XYZXYZ. Zusätzlich lässt sich jede Ebene E ebenfalls beschreiben durch eine Koordinatengleichung der Form XYZXYZ, wobei XYZXYZ Dabei muss mindestens einer der Koeffizienten a, b, c ungleich null sein. Ist XYZXYZ eine Koordinatengleichung der Ebene E, so ist XYZ ein Normalenvektor dieser Ebene. | Merksatz}}
==Merksatz==
Bisher wurde eine Ebene mithilfe eines Aufpunkts A und zwei Spannvektoren .... und .... beschrieben. Eine andere Möglichkeit ist, sie durch einen Aufpunkt A und einen Normalenvektor zu beschreiben. Damit erhält man die '''Normalengleichung''' der Ebene. Sie hat die Form ........


Zusätzlich lässt sich jede Ebene E ebenfalls beschreiben durch eine '''Koordinatengleichung''' der Form ax_1 + bx_2 + cx_3 = d, wobei d = a * n ..... Dabei muss mindestens einer der Koeffizienten a, b, c ungleich null sein.
{{Box | Aufgabe 9: Aufstellen von Normalen- und Koordinatenform |
Eine Ebene durch P hat den Normalenvektor n


Ist ax_1 + bx_2 + cx_3 = d ....... eine Koordinatengleichung der Ebene E, so ist [Vektor](a b c) ein Normalenvektor dieser Ebene.
'''a)''' Gebe eine Normalengleichung der Ebene an.
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'''b)''' Bestimme aus der Normalengleichung eine Koordinatengleichung der Ebene
 
'''c)''' Liegt der Punkt A in der Ebene?
| Arbeitsmethode}}
 
{{Box | Aufgabe 10: Aufstellen der Normalenform | Bestimme für die Ebene in der Abbildung eine Gleichung. | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
 
{{Box | Aufgabe 11: Modellierung eines Tisches (Normalenform) | Ein Tischfuß zeigt von einem Punkt XYZXYZ des Fußbodens aus nach oben, die Tischplatte ist 8 Einheiten vom Boden entfernt. Bestimme eine Normalengleichung der Ebene, in der die Tischplatte liegt. | Arbeitsmethode}}
 
{{Box | Aufgabe 12: Marktplatzaufgabe (Koordinatenform) |
Die folgende Abbildung zeigt eine Karte des Marktplatzes in Bremen mit dem Rathaus, dem Dom und weiteren sehenswürdigen Gebäuden. Legt man ein Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung in der Mitte des Marktplatzes, sodass die x1-Achse nach Süden, x2-Achse nach Osten und die x3-Achse senkrecht zum Himmel zeigt.
Vor dem Rathaus nimmt Höhe des Marktplatzes nach Südwesten leicht ab. Dieser schräge Teil des Marktplatzes soll durch eine Ebene XYZXYZ beschrieben werden.
 
'''a)''' Berechne einen möglichen Normalenvektor der Ebene E.
 
'''b)''' Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E
 
Vor dem Rathaus steht das Denkmals „Roland von Bremen“ mit standhaftem Blick auf dem Dom. Sein Fußpunkt ist XYZXYZ. Er wurde genau vertikal, d.h. senkrecht auf der x1-x2-Ebene errichtet.
 
'''c)''' Berechne die Zahl z derart, dass R in der Ebene liegt.
| Arbeitsmethode}}
 
{{Box | Aufgabe 13: Schattenwurf (Gerade und Ebene in Koordinatenform) |Ein Baum mit dem Fußpunkt FXYZXYZ und der Spitze SXYZXYZ wird von der Sonne bestrahlt, deren Sonnenstrahlen parallel zum Vektor XYZXYZ verlaufen. Der Baum wirft einen Schatten auf einen Hang, der durch die Ebene XYZXYZ beschrieben wird.
Wo liegt der Schattenpunkt T der Baumspitze S auf dem Hang und wie lang ist der Schatten des Baumes? | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}
 
{{Box | Aufgabe 14: Reflexion zur Koordinatenform |
'''a)''' Warum muss bei einer Koordinatengleichung XYZXYZ einer Ebene E mindestens einer der Koeffizienten XYZXYZ ungleich null sein?
 
'''b)''' Begründe: Unterscheiden sich die Koordinatengleichungen der Form XYZXYZ von zwei Ebenen nur in der Konstanten d, dann sind die Ebenen zueinander parallel.
 
'''c)''' Beurteile: Alle Ebenen, bei denen in der Koordinatengleichung XYZXYZ die Koeffizienten a und b ungleich Null, aber XYZXYZ ist, haben eine Gemeinsamkeit.
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />
==Überführung der Parameterform in die Koordinatenform==
<br />{{Box | Beispiel: Von der Parameter- zur Koordinatenform einer Ebenengleichung | XYZXYZ | Hervorhebung1}}
 
{{Box | Aufgabe 15: Koordinatengleichung aus Parametergleichung | Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene EXYZXYZ. | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
 
{{Box | Aufgabe 16: Parameter-, Normalen- und Koordinatengleichung | Die Ebene E ist durch die drei Punkte XYZXYZ festgelegt. Bestimme eine Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene E. | Arbeitsmethode}}

Version vom 8. Mai 2021, 18:57 Uhr

Normalenform und Koordinatenform von Ebenengleichungen


Merksatz: Normalen- und Koordinatenform
Bisher wurde eine Ebene mithilfe eines Aufpunkts A und zwei Spannvektoren u und v beschrieben. Eine andere Möglichkeit ist, sie durch einen Aufpunkt A und einen Normalenvektor zu beschreiben. Damit erhält man die Normalengleichung der Ebene. Sie hat die Form XYZXYZ. Zusätzlich lässt sich jede Ebene E ebenfalls beschreiben durch eine Koordinatengleichung der Form XYZXYZ, wobei XYZXYZ Dabei muss mindestens einer der Koeffizienten a, b, c ungleich null sein. Ist XYZXYZ eine Koordinatengleichung der Ebene E, so ist XYZ ein Normalenvektor dieser Ebene.


Aufgabe 9: Aufstellen von Normalen- und Koordinatenform

Eine Ebene durch P hat den Normalenvektor n

a) Gebe eine Normalengleichung der Ebene an.

b) Bestimme aus der Normalengleichung eine Koordinatengleichung der Ebene

c) Liegt der Punkt A in der Ebene?


Aufgabe 10: Aufstellen der Normalenform
Bestimme für die Ebene in der Abbildung eine Gleichung.


Aufgabe 11: Modellierung eines Tisches (Normalenform)
Ein Tischfuß zeigt von einem Punkt XYZXYZ des Fußbodens aus nach oben, die Tischplatte ist 8 Einheiten vom Boden entfernt. Bestimme eine Normalengleichung der Ebene, in der die Tischplatte liegt.


Aufgabe 12: Marktplatzaufgabe (Koordinatenform)

Die folgende Abbildung zeigt eine Karte des Marktplatzes in Bremen mit dem Rathaus, dem Dom und weiteren sehenswürdigen Gebäuden. Legt man ein Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung in der Mitte des Marktplatzes, sodass die x1-Achse nach Süden, x2-Achse nach Osten und die x3-Achse senkrecht zum Himmel zeigt. Vor dem Rathaus nimmt Höhe des Marktplatzes nach Südwesten leicht ab. Dieser schräge Teil des Marktplatzes soll durch eine Ebene XYZXYZ beschrieben werden.

a) Berechne einen möglichen Normalenvektor der Ebene E.

b) Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E

Vor dem Rathaus steht das Denkmals „Roland von Bremen“ mit standhaftem Blick auf dem Dom. Sein Fußpunkt ist XYZXYZ. Er wurde genau vertikal, d.h. senkrecht auf der x1-x2-Ebene errichtet.

c) Berechne die Zahl z derart, dass R in der Ebene liegt.


Aufgabe 13: Schattenwurf (Gerade und Ebene in Koordinatenform)

Ein Baum mit dem Fußpunkt FXYZXYZ und der Spitze SXYZXYZ wird von der Sonne bestrahlt, deren Sonnenstrahlen parallel zum Vektor XYZXYZ verlaufen. Der Baum wirft einen Schatten auf einen Hang, der durch die Ebene XYZXYZ beschrieben wird.

Wo liegt der Schattenpunkt T der Baumspitze S auf dem Hang und wie lang ist der Schatten des Baumes?


Aufgabe 14: Reflexion zur Koordinatenform

a) Warum muss bei einer Koordinatengleichung XYZXYZ einer Ebene E mindestens einer der Koeffizienten XYZXYZ ungleich null sein?

b) Begründe: Unterscheiden sich die Koordinatengleichungen der Form XYZXYZ von zwei Ebenen nur in der Konstanten d, dann sind die Ebenen zueinander parallel.

c) Beurteile: Alle Ebenen, bei denen in der Koordinatengleichung XYZXYZ die Koeffizienten a und b ungleich Null, aber XYZXYZ ist, haben eine Gemeinsamkeit.


Überführung der Parameterform in die Koordinatenform


Beispiel: Von der Parameter- zur Koordinatenform einer Ebenengleichung
XYZXYZ


Aufgabe 15: Koordinatengleichung aus Parametergleichung
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene EXYZXYZ.


Aufgabe 16: Parameter-, Normalen- und Koordinatengleichung
Die Ebene E ist durch die drei Punkte XYZXYZ festgelegt. Bestimme eine Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene E.
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