Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lagebeziehungen und Winkel (Gerade und Ebene, 2 Ebenen): Unterschied zwischen den Versionen
Aus ZUM Projektwiki
< Digitale Werkzeuge in der Schule | Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum
Keine Bearbeitungszusammenfassung Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung |
Keine Bearbeitungszusammenfassung Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung |
||
Zeile 53: | Zeile 53: | ||
{{Box | Beispielaufgabe: Untersuchung der Lagebeziehung von Gerade und Ebene | | {{Box | Beispielaufgabe: Untersuchung der Lagebeziehung von Gerade und Ebene | | ||
Gegeben sind eine Ebene <math>E: \vec{x}=\left( \begin{matrix} 1\\ 0\\ 0 \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ 1\\ 0 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ 0\\ 1 \end{matrix} \right) </math> und eine Gerade <math>g: \vec{x}=\left( \begin{matrix} 2\\ 2\\ 2 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ | Gegeben sind eine Ebene <math>E: \vec{x}=\left( \begin{matrix} 1\\ 0\\ 0 \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ 1\\ 0 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ 0\\ 1 \end{matrix} \right) </math> und eine Gerade <math>g: \vec{x}=\left( \begin{matrix} 2\\ 2\\ 2 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ -4\\ 0 \end{matrix} \right) </math>. Untersuche die Lagebeziehung der Gerade und der Ebene und bestimme gegebenenfalls den Schnittpunkt. | ||
'''1. Schritt:''' Setze die Geraden- und Ebenengleichung gleich: <math>\left( \begin{matrix} 1\\ 0\\ 0 \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ 1\\ 0 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ 0\\ 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2\\ 2\\ 2 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ | '''1. Schritt:''' Setze die Geraden- und Ebenengleichung gleich: <math>\left( \begin{matrix} 1\\ 0\\ 0 \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ 1\\ 0 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ 0\\ 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2\\ 2\\ 2 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ -4\\ 0 \end{matrix} \right) </math> | ||
Zeile 72: | Zeile 72: | ||
'''5. Schritt:''' Da sich die Ebene <math>E</math> und die Gerade <math>g</math> schneiden, kannst du den Schnittpunkt der beiden berechnen. Setze dafür den Parameter <math>r</math> in die Geradengleichung ein: <math>\left( \begin{matrix} 2\\ 2\\ 2 \end{matrix} \right) + 1 \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ | '''5. Schritt:''' Da sich die Ebene <math>E</math> und die Gerade <math>g</math> schneiden, kannst du den Schnittpunkt der beiden berechnen. Setze dafür den Parameter <math>r</math> in die Geradengleichung ein: <math>\left( \begin{matrix} 2\\ 2\\ 2 \end{matrix} \right) + 1 \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ -4\\ 0 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1\\ -2\\ 2 \end{matrix} \right) </math> | ||
| Hervorhebung1}} | | Hervorhebung1}} | ||
Zeile 92: | Zeile 92: | ||
{{Box | Aufgabe <Nummer>: Schatten eines Sonnensegels | | {{Box | Aufgabe <Nummer>: Schatten eines Sonnensegels | | ||
Da es Frau Meier im Sommer auf ihrer Terrasse gerne schattig haben möchte, spannt sie ein dreieckiges Segeltuch auf. Die Eckpunkte des Segeltuchs sind <math> A = \left( \begin{matrix} 9\\ | Da es Frau Meier im Sommer auf ihrer Terrasse gerne schattig haben möchte, spannt sie ein dreieckiges Segeltuch auf. Die Eckpunkte des Segeltuchs sind <math> A = \left( \begin{matrix} 9\\ -5\\ 7 \end{matrix} \right), B= \left( \begin{matrix} 6\\ -5\\ 7 \end{matrix} \right)</math> und <math> C = \left( \begin{matrix} 7\\ -10\\ 11 \end{matrix} \right) </math>. Die Terrasse wird modelliert durch die <math>x_1- x_2</math>-Ebene. Die Sonne scheint aus Richtung <math> S = \left( \begin{matrix} -2\\ -2\\ -10 \end{matrix} \right) </math>. In welchem Bereich hat Frau Meier nun Schatten? | ||
{{Lösung versteckt|1= Bestimme die Geraden der Lichtstrahlen durch die Eckpunkte des Sonnensegels und berechne, wo sie auf die Terrasse treffen. Vielleicht hilft dir eine Skizze.|2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}} | {{Lösung versteckt|1= Bestimme die Geraden der Lichtstrahlen durch die Eckpunkte des Sonnensegels und berechne, wo sie auf die Terrasse treffen. Vielleicht hilft dir eine Skizze.|2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= [[Datei:Aufgabe Sonnensegel Spurpunkte.png|rahmenlos|500x500px]]|2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}} | {{Lösung versteckt|1= [[Datei:Aufgabe Sonnensegel Spurpunkte.png|rahmenlos|500x500px]]|2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= Der Schatten liegt auf der <math> x_1-x_2 </math>-Ebene und du weißt, dass jeder Punkt auf dieser Ebene von der Form: <math>P = \left( \begin{matrix} x\\ y\\ 0 \end{matrix} \right) </math> ist. Du musst also die Ebenengleichung nicht aufstellen.|2=Tipp 3 anzeigen|3=Tipp 3 verbergen}} | {{Lösung versteckt|1= Der Schatten liegt auf der <math> x_1-x_2 </math>-Ebene und du weißt, dass jeder Punkt auf dieser Ebene von der Form: <math>P = \left( \begin{matrix} x\\ y\\ 0 \end{matrix} \right) </math> ist. Du musst also die Ebenengleichung nicht aufstellen.|2=Tipp 3 anzeigen|3=Tipp 3 verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= '''1. Schritt:''' Stelle die Geradengleichungen durch die Eckpunkte des Sonnensegels in Richtung der Sonnenstrahlen auf: <math>f: \vec{x}=\left( \begin{matrix} 9\\ | {{Lösung versteckt|1= '''1. Schritt:''' Stelle die Geradengleichungen durch die Eckpunkte des Sonnensegels in Richtung der Sonnenstrahlen auf: <math>f: \vec{x}=\left( \begin{matrix} 9\\ -5\\ 7 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} -2\\ -2\\ -10 \end{matrix} \right) </math>, | ||
<math>g: \vec{x}=\left( \begin{matrix} 6\\ | <math>g: \vec{x}=\left( \begin{matrix} 6\\ -5\\ 7 \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} -2\\ -2\\ 10 \end{matrix} \right) </math>, | ||
<math>h: \vec{x}=\left( \begin{matrix} 7\\ | <math>h: \vec{x}=\left( \begin{matrix} 7\\ -10\\ 11 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} -2\\ -2\\ 10 \end{matrix} \right) </math> | ||
'''2. Schritt:''' Berechne die Schnittpunkte der Geraden mit der <math> x_1-x_2</math>-Ebene. Da du weißt, dass jeder Punkt in dieser Ebene von der Form <math>P = \left( \begin{matrix} | '''2. Schritt:''' Berechne die Schnittpunkte der Geraden mit der <math> x_1-x_2</math>-Ebene. Da du weißt, dass jeder Punkt in dieser Ebene von der Form <math>P = \left( \begin{matrix} x\\ y\\ 0 \end{matrix} \right) </math> ist, kannst du diesen Punkt mit der Geradengleichung gleichsetzen. | ||
Berechnung von <math> A' </math>: | Berechnung von <math> A' </math>: | ||
<math>\left( \begin{matrix} | <math>\left( \begin{matrix} x\\ y\\ 0 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 9\\ -5\\ 7 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} -2\\ -2\\ -10 \end{matrix} \right) \Rightarrow \begin{vmatrix} x=9-2r \\ y=-5-2r \\ 0=7-10r \end{vmatrix} \Rightarrow x=-12,6, y = -6,4, r= 0,7 \Rightarrow A'=\left( \begin{matrix} -12,6\\ -6,4\\ 0 \end{matrix} \right)</math>. | ||
Berechnung von <math> B' </math>: | Berechnung von <math> B' </math>: | ||
<math>\left( \begin{matrix} | <math>\left( \begin{matrix} x\\ y\\ 0 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 6\\ -5\\ 7 \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} -2\\ -2\\ 10 \end{matrix} \right) \Rightarrow \begin{vmatrix} x=6-2s \\ y=-5-2s \\ 0=7-10r \end{vmatrix} \Rightarrow x=-8,4, y = -6,4, r= 0,7 \Rightarrow B'=\left( \begin{matrix} -8,4\\ -6,4\\ 0 \end{matrix} \right)</math>. | ||
Berechnung von <math> C' </math>: | Berechnung von <math> C' </math>: | ||
<math>\left( \begin{matrix} | <math>\left( \begin{matrix} x\\ y\\ 0 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 7\\ -10\\ 11 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} -2\\ -2\\ 10 \end{matrix} \right) \Rightarrow \begin{vmatrix} x=7-2s \\ y=-10-2s \\ 0=11-10r \end{vmatrix} \Rightarrow x=-15,4, y = -12,2, r= 1,1 \Rightarrow C'=\left( \begin{matrix} -15,4\\ -12,2\\ 0 \end{matrix} \right)</math>. | ||
Die Schattenfläche wird also durch das Dreieck mit den Eckpunkten <math> A'=\left( \begin{matrix} -12 | Die Schattenfläche wird also durch das Dreieck mit den Eckpunkten <math> A'=\left( \begin{matrix} -12,6\\ -6,4\\ 0 \end{matrix} \right), B'=\left( \begin{matrix} -8,4\\ -6,4\\ 0 \end{matrix} \right) </math> und <math> C'=\left( \begin{matrix} -15,4\\ -12,2\\ 0 \end{matrix} \right)</math> begrenzt. | ||
|2= Lösung anzeigen| 3= Lösung verbergen}} | |2= Lösung anzeigen| 3= Lösung verbergen}} | ||
Zeile 148: | Zeile 148: | ||
{{Box | Beispiel: Lagebeziehung einer Gerade und einer Ebene in Koordinatenform | | {{Box | Beispiel: Lagebeziehung einer Gerade und einer Ebene in Koordinatenform | | ||
Gegeben sind eine Ebene <math> E: 2x_1 + x_2 - x_3 = 5 </math> und eine Gerade <math> g: \vec{x}=\left( \begin{matrix} 3\\ 0\\ 2 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} -3\\ 5\\ -1 \end{matrix} \right) </math>. Bestimme die Lagebeziehung von Gerade und Ebene. | Gegeben sind eine Ebene <math> E: 2x_1 + x_2 - x_3 = 5 </math> und eine Gerade <math> g: \vec{x}=\left( \begin{matrix} 3\\ 0\\ 2 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} -3\\ 5\\ {-}1 \end{matrix} \right) </math>. Bestimme die Lagebeziehung von Gerade und Ebene. | ||
1. Prüfe, ob der Richtungsvektor der Gerade orthogonal zum Normalenvektor der Ebene liegt: <math> \vec{n} \ | 1. Prüfe, ob der Richtungsvektor der Gerade orthogonal zum Normalenvektor der Ebene liegt: <math> \vec{n} \ast \vec{u} = \left( \begin{matrix} 2\\ 1\\ {-}1 \end{matrix} \right) \circ \left( \begin{matrix} -3\\ 5\\ {-}1 \end{matrix} \right) = 2 \cdot (-3) + 1 \cdot 5 -1 \cdot (-1) = 0</math><math>\Rightarrow \vec{n} \perp \vec{u}</math> | ||
Zeile 170: | Zeile 170: | ||
{{Lösung versteckt|1=Damit die Gerade <math>g</math> und die Ebene <math>E</math> parallel zueinander sind, müssen der Richtungsvektor von <math>g</math> und der Normalenvektor von <math>E</math> orthogonal zueinander sein. |2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}} | {{Lösung versteckt|1=Damit die Gerade <math>g</math> und die Ebene <math>E</math> parallel zueinander sind, müssen der Richtungsvektor von <math>g</math> und der Normalenvektor von <math>E</math> orthogonal zueinander sein. |2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= <math> \vec{u} \ | {{Lösung versteckt|1= <math> \vec{u} \ast \vec{n} = \left( \begin{matrix} 0,5\\ 3\\ m \end{matrix} \right) \circ \left( \begin{matrix} -2\\ 3\\ {-}1 \end{matrix} \right) = 8-m </math>. | ||
Damit die beiden Vektoren orthogonal zueinander sind, muss das Skalarprodukt <math> 0 </math> sein: <math> 8-m = 0 \Rightarrow m = 8 </math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Damit die beiden Vektoren orthogonal zueinander sind, muss das Skalarprodukt <math> 0 </math> sein: <math> 8-m = 0 \Rightarrow m = 8 </math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | ||
Zeile 177: | Zeile 177: | ||
{{Lösung versteckt|1= Damit die Gerade <math>g</math> in der Ebene <math>E</math> liegt, muss der Richtungsvektor von <math>g</math> und der Normalenvektor von <math>E</math> orthogonal zueinander sein. |2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}} | {{Lösung versteckt|1= Damit die Gerade <math>g</math> in der Ebene <math>E</math> liegt, muss der Richtungsvektor von <math>g</math> und der Normalenvektor von <math>E</math> orthogonal zueinander sein. |2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= Wenn die Gerade <math>g</math> in der Ebene <math>E</math> liegt, liegt jeder Punkt auf der Gerade <math>g</math> auch in der Ebene <math>E</math>. Prüfe mit der Punktprobe, ob der Stützvektor von <math>g</math> in der Ebene <math>E</math> liegt.|2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}} | {{Lösung versteckt|1= Wenn die Gerade <math>g</math> in der Ebene <math>E</math> liegt, liegt jeder Punkt auf der Gerade <math>g</math> auch in der Ebene <math>E</math>. Prüfe mit der Punktprobe, ob der Stützvektor von <math>g</math> in der Ebene <math>E</math> liegt.|2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= '''Finde zuerst m:''' <math> \vec{u} \ | {{Lösung versteckt|1= '''Finde zuerst m:''' <math> \vec{u} \ast \vec{n} = \left( \begin{matrix} 3\\ m\\ 3,6 \end{matrix} \right) \circ \left( \begin{matrix} -2\\ 3\\ {-}1 \end{matrix} \right) = 3m - 9,6 </math>. | ||
Damit die beiden Vektoren orthogonal zueinander sind, muss das Skalarprodukt <math> 0 </math> sein: <math> 3m - 9,6 = 0 \Rightarrow m = 3,2 </math>. | Damit die beiden Vektoren orthogonal zueinander sind, muss das Skalarprodukt <math> 0 </math> sein: <math> 3m - 9,6 = 0 \Rightarrow m = 3,2 </math>. | ||
'''Finde danach <math>l</math> durch eine Punktprobe:''' Setze <math> \vec(a) = \left( \begin{matrix} l\\ 5,1\\ 0,4 \end{matrix} \right) </math> in die Ebenengleichung ein und löse nach l auf: <math> -2l + 3 \cdot 5,1 - 0,4 = 3 \Leftrightarrow l = 5,95</math>. |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | '''Finde danach <math>l</math> durch eine Punktprobe:''' Setze <math> \vec(a) = \left( \begin{matrix} l\\ 5,1\\ 0,4 \end{matrix} \right) </math> in die Ebenengleichung ein und löse nach l auf: <math> -2l + 3 \cdot 5,1 - 0,4 = 3 \Leftrightarrow l = 5,95</math>. |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | ||
c) Die Gerade <math> i: \vec{x} = \left( \begin{matrix} 3\\ 0\\ 2 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} -3\\ 5\\ -1 \end{matrix} \right) </math> soll die Ebene <math> E </math> schneiden. | c) Die Gerade <math> i: \vec{x} = \left( \begin{matrix} 3\\ 0\\ 2 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} -3\\ 5\\ {-}1 \end{matrix} \right) </math> soll die Ebene <math> E </math> schneiden. | ||
{{Lösung versteckt|1=Es gibt keine eindeutige Lösung! Der Richtungsvektor <math> \vec{u} </math> von <math>g</math> darf nur nicht orthogonal zum Normalenvektor von <math>E</math> liegen. |2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}} | {{Lösung versteckt|1=Es gibt keine eindeutige Lösung! Der Richtungsvektor <math> \vec{u} </math> von <math>g</math> darf nur nicht orthogonal zum Normalenvektor von <math>E</math> liegen. |2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}} | ||
Zeile 189: | Zeile 189: | ||
{{Box | Aufgabe <Nummer>: Beamer | | {{Box | Aufgabe <Nummer>: Beamer | | ||
Luca hält einen Vortrag vor seiner Klasse. Mit einem Laserpointer möchte er auf einer Karte an der Wand etwas zeigen. Die Wand des Klassenraums wird durch die Ebene <math> E: x_2 + 3x_3 = 2 </math> dargestellt. Der Strahl des Laserpointes wird durch die Gerade <math> j: \vec{x} = \left( \begin{matrix} | Luca hält einen Vortrag vor seiner Klasse. Mit einem Laserpointer möchte er auf einer Karte an der Wand etwas zeigen. Die Wand des Klassenraums wird durch die Ebene <math> E: x_2 + 3x_3 = 2 </math> dargestellt. Der Strahl des Laserpointes wird durch die Gerade <math> j: \vec{x} = \left( \begin{matrix} {-}5\\ 1,5 \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} 1\\ 2\\ 0,5 \end{matrix} \right) </math> modelliert. | ||
Berechne ohne Taschenrechner, wo der Strahl aus Lucas Laserpointer auf die Karte an der Wand trifft. | Berechne ohne Taschenrechner, wo der Strahl aus Lucas Laserpointer auf die Karte an der Wand trifft. | ||
{{Lösung versteckt|1= Berechne den Schnittpunkt der Gerade mit der Ebene, indem die die einzelnen Koordinaten der Gerade in die Ebenengleichung einsetzt.|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}} | {{Lösung versteckt|1= Berechne den Schnittpunkt der Gerade mit der Ebene, indem die die einzelnen Koordinaten der Gerade in die Ebenengleichung einsetzt.|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= <math> -5 + 2s + 3(1,5 + 0,5s) = 2 \Leftrightarrow s \approx 0,71 </math> | {{Lösung versteckt|1= <math> -5 + 2s + 3(1,5 + 0,5s) = 2 \Leftrightarrow s \approx 0,71 </math> | ||
Berechne den Schnittpunkt, indem du s in die Geradengleichung einsetzt: <math>\left( \begin{matrix} 7\\ -5\\ 1,5 \end{matrix} \right) + 0,71 \cdot \left( \begin{matrix} 1\\ 2\\ 0,5 \end{matrix} \right) \approx \left( \begin{matrix} 7,71\\ -3,58\\ 1,86 \end{matrix} \right)</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Berechne den Schnittpunkt, indem du s in die Geradengleichung einsetzt: <math>\left( \begin{matrix} 7\\ {-}5\\ 1,5 \end{matrix} \right) + 0,71 \cdot \left( \begin{matrix} 1\\ 2\\ 0,5 \end{matrix} \right) \approx \left( \begin{matrix} 7,71\\ -3,58\\ 1,86 \end{matrix} \right)</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | ||
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}}}} | | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}}}} | ||
Version vom 8. Mai 2021, 09:36 Uhr
Hier entsteht das Lernpfadkapitel "Lagebeziehungen und Winkel (Gerade und Ebene, 2 Ebenen)".
Lagebeziehung Gerade-Ebene
Mögliche Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene
Untersuchung der Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene
⭐Berechnung des Winkels zwischen Gerade und Ebene
Lagebeziehung Ebene-Ebene
⭐Berechnung des Winkels zwischen Ebene und Ebene