Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lagebeziehungen und Winkel (Gerade und Ebene, 2 Ebenen): Unterschied zwischen den Versionen
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{{Box | Beispielaufgabe: Untersuchung der Lagebeziehung von zwei Ebenen | | {{Box | Beispielaufgabe: Untersuchung der Lagebeziehung von zwei Ebenen in Parameterform | | ||
Gegeben sind eine Ebene <math>E: \vec{x}=\left( \begin{matrix} 2\\ 3 | Gegeben sind eine Ebene <math>E: \vec{x}=\left( \begin{matrix} 1\\ 2\\ 3 \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ 2\\ 3 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\ 1\\ 1 \end{matrix} \right) </math> und eine Ebene <math>F: \vec{x}=\left( \begin{matrix} 2\\ 0\\ 3 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ 2\\ 1 \end{matrix} \right)+ u \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ 1\\ 1 \end{matrix} \right) </math>. | ||
Untersuche die Lagebeziehung der beiden Ebenen. | |||
'''1. Schritt:''' Setze die beiden Ebenengleichungen gleich. <math>\left( \begin{matrix} 2\\ 3 | '''1. Schritt:''' Setze die beiden Ebenengleichungen gleich. | ||
<math>\left( \begin{matrix} 1\\ 2\\ 3 \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ 2\\ 3 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\ 1\\ 1 \end{matrix} \right)= \left( \begin{matrix} 2\\ 0\\ 3 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ 2\\ 1 \end{matrix} \right)+ u \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ 1\\ 1 \end{matrix} \right) </math> | |||
'''2. Schritt:''' Stelle das zugehörige lineare Gleichungssystem auf. <math> \begin{vmatrix} | '''2. Schritt:''' Stelle das zugehörige lineare Gleichungssystem auf. | ||
<math> \begin{vmatrix} 1-1k+l=2-r-s \\ 2+2k+l=2r+s \\ 3+3k+l=3+r+s \end{vmatrix} \Leftrightarrow \begin{vmatrix} -k+l+r+s=1 \\ 2k+l-2r-s=-2 \\ 3k+l-r-s=0 \end{vmatrix}</math> | |||
'''3. Schritt:''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gaußverfahren oder dem Taschenrechner: | |||
<math> \begin{vmatrix} -1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 6 & 2 & 9\end{vmatrix} </math> | |||
'''4. Schritt:''' Interpretiere die Lösung des Gleichungssystems: | |||
Aus der dritten Zeile folgt, dass <math> r=\left ( \frac{3}{2} \right )-\left( \frac{1}{3} \right )s </math>. | |||
'''5. Schritt:''' Bestimme die Schnittgerade der beiden Ebenen. | |||
Setze dazu den Parameter <math>r</math> in die Ebenengleichung von <math>F</math> ein. Somit erhälst du die Schnittgerade <math> g: \vec{x} = \left( \begin{matrix} 0{,}5\\ 3\\ 4{,}5 \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} -\left( \frac{2}{3} \right )\\ -\left( \frac{1}{3} \right )\\ \left( \frac{2}{3} \right )\end{matrix} \right) </math> | |||
| Hervorhebung1}} | | Hervorhebung1}} | ||
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{{Lösung versteckt|1=Das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen. Da sich in jeder Zeile der Diagonalform Einträge befinden, schneiden sich die Ebenen in einer Schnittgeraden.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | {{Lösung versteckt|1=Das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen. Da sich in jeder Zeile der Diagonalform Einträge befinden, schneiden sich die Ebenen in einer Schnittgeraden.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | ||
b) <math>\begin{vmatrix} 1 & | b) <math>\begin{vmatrix} 1 & 3 & -2 & 5 & 0 \\ 0 & 7 & -7 & -14 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -13 \end{vmatrix}</math> | ||
{{Lösung versteckt|1=Das Gleichungssystem besitzt keine Lösung. Die Ebenen liegen also parallel zueinander.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | {{Lösung versteckt|1=Das Gleichungssystem besitzt keine Lösung, da die dritte Zeile nicht lösbar ist. Die Ebenen liegen also parallel zueinander.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | ||
c) <math>\begin{vmatrix} 1 & | c) <math>\begin{vmatrix} 1 & 3 & -2 & -5 & 3 \\ 0 & 7 & -7 & 14 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix}</math> | ||
{{Lösung versteckt|1=Das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen. Da die | {{Lösung versteckt|1=Das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen. Da die dritte Zeile nur aus Nullen besteht, sind zwei Parameter frei wählbar und die Ebenen identisch.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | ||
|Arbeitsmethode}} | |Arbeitsmethode}} |
Version vom 7. Mai 2021, 15:54 Uhr
Hier entsteht das Lernpfadkapitel "Lagebeziehungen und Winkel (Gerade und Ebene, 2 Ebenen)".
Lagebeziehung Gerade-Ebene
Mögliche Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene
Untersuchung der Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene
⭐Berechnung des Winkels zwischen Gerade und Ebene
Lagebeziehung Ebene-Ebene
⭐Berechnung des Winkels zwischen Ebene und Ebene