Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Abstände von Objekten im Raum: Unterschied zwischen den Versionen
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A. <math>h:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 15 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}</math> ist die zu <math>E: x_3=10</math> orthogonale Gerade durch einen Punkt von <math>g</math>. Wegen <math>15-3s=10</math>, also <math>s=\frac{5}{3}</math>, erhält man den Lotfußpunkt <math>(2|0|10)</math>. | A. <math>h:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 15 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}</math> ist die zu <math>E: x_3=10</math> orthogonale Gerade durch einen Punkt von <math>g</math>. Wegen <math>15-3s=10</math>, also <math>s=\frac{5}{3}</math>, erhält man den Lotfußpunkt <math>(2|0|10)</math>. | ||
B. | B. <math>g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 5 \\ -16 \\ 3 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \\ 31 \end{pmatrix}</math> und <math>P(30|22|-55)</math>. | ||
<math>\begin{pmatrix} 5 \\ -16 \\ 3 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} -10 \\ -22 \\ 86 \end{pmatrix} </math> ist die zu <math>g</math> orthogonale Gerade. Stellt man diese Gleichung nach <math>s</math> um, so kommt heraus, dass <math>s=6,75</math> ist. Setzte nun <math>s</math> in <math>g</math> ein, um den Lotfußpunkt zu bestimmen. | |||
C.<math>G(4|-10|19)</math> ist der Lotfußpunkt auf <math>g</math> und <math>H(-2|-12|22)</math> ist der Lotfußpunkt auf <math>h</math>. Der Abstand ist dann <math>d(g;h)=d(G;H)=\sqrt{(4-(-2))^2+(-10-(-12))^2+(22-19)^2}=\sqrt{36+4+9}=7</math>. | C.<math>G(4|-10|19)</math> ist der Lotfußpunkt auf <math>g</math> und <math>H(-2|-12|22)</math> ist der Lotfußpunkt auf <math>h</math>. Der Abstand ist dann <math>d(g;h)=d(G;H)=\sqrt{(4-(-2))^2+(-10-(-12))^2+(22-19)^2}=\sqrt{36+4+9}=7</math>. | ||
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{{Box | 1=Aufgabe 10: Dreieck | 2= | {{Box | 1=Aufgabe 10: Dreieck | 2= | ||
Es sind die Punkte <math>B(2|8|1) </math> und <math>C(0,5|3,5|7) </math> gegeben, durch sie verläuft die Gerade <math> g </math>. Die Strecke <math> \vec{BC} </math> bildet die Grundseite eines Dreiecks mit dem dritten Punkt <math>A</math>. <math>A</math> liegt auf der zu <math> g </math> parallelen Geraden <math> j:\vec{x}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} </math>. | Es sind die Punkte <math>B(2|8|1) </math> und <math>C(0,5|3,5|7) </math> gegeben, durch sie verläuft die Gerade <math> g </math>. Die Strecke <math> \vec{BC} </math> bildet die Grundseite eines Dreiecks mit dem dritten Punkt <math>A</math>. <math>A</math> liegt auf der zu <math> g </math> parallelen Geraden <math> j:\vec{x}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} </math>. | ||
'''a)''' Stimmt die Behauptung "Der Flächeninhalt des Dreiecks <math>ABC</math> ändert sich, je nachdem wo <math>A</math> auf der Geraden <math> | '''a)''' Stimmt die Behauptung "Der Flächeninhalt des Dreiecks <math>ABC</math> ändert sich, je nachdem wo <math>A</math> auf der Geraden <math>j</math> liegt"? Wenn ja, warum? Wenn nein, warum nicht? | ||
Du kannst mit der Maus den Punkt <math>A</math> verschieben. | Du kannst mit der Maus den Punkt <math>A</math> verschieben. |
Version vom 7. Mai 2021, 12:03 Uhr
Einstieg
Die richtigen Zuordnungen sind:
Abstand eines Punktes von einer Ebene
Das Lotfußpunktverfahren
Die Hesse´sche Normalenform
Um den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene zu bestimmen, gibt es neben dem Lotfußpunktverfahren auch die Möglichkeit, dies mit der Hesse´schen Normalenform zu berechnen. In diesem Abschnitt lernst du, wie du die Normalenform aufstellst und sie zur Abstandsberechnung anwendest.
Falls du noch nicht genug hast, kannst du auch versuchen, die Aufgaben vom Lotfußpunktverfahren mit der Hesse´schen Normalenform zu lösen.
Abstand eines Punktes von einer Geraden
Abstand zweier windschiefer Geraden
Verschiebe die Punkte und so, dass die kürzeste Verbindungsstrecke zwischen den windschiefen Geraden und ist. Du kannst die Grafik mit deiner Maus drehen, um die Geraden aus anderen Perspektiven zu betrachten.