Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lagebeziehungen und Winkel (Gerade und Ebene, 2 Ebenen): Unterschied zwischen den Versionen
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Eine Gerade <math>g</math> soll die <math>x_1-x_2-Ebene </math> in einem Winkel von <math>45 ^\circ</math> schneiden. Über die Gerade <math>g</math> ist nur bekannt, dass sie im Punkt <math>P (1|2|3) </math> beginnt und sie in Richtung des Vektors <math>\vec{x}=\begin{pmatrix} 3\\ 6\\ z \end{pmatrix}</math> verläuft. Stelle die Gerade <math>g</math> auf. | Eine Gerade <math>g</math> soll die <math>x_1-x_2-Ebene </math> in einem Winkel von <math>45 ^\circ</math> schneiden. Über die Gerade <math>g</math> ist nur bekannt, dass sie im Punkt <math>P (1|2|3) </math> beginnt und sie in Richtung des Vektors <math>\vec{x}=\begin{pmatrix} 3\\ 6\\ z \end{pmatrix}</math> verläuft. Stelle die Gerade <math>g</math> auf. | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1=Notiere dir alle Informationen aus dem Text. Was weißt du über die Berechnung des Winkels zwischen einer Gerade und einer Ebene?|2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1=Der Normalenvektor der <math>x_1-x_2</math> -Ebene verläuft nur in <math>x_3</math>-Richtung.|2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Um Gleichungen mit einer Unbekannten zu lösen, kannst du die nSolve-Funktion deines Taschenrechners nutzen.|2=Tipp 3 anzeigen|3=Tipp 3 verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Bisher wurde mit der Formel zu Winkelberechnung nur der Winkel berechnet. Die Formel kann jedoch auch genutzt werden, um bei einem vorgegebenen Winkel die Lage der Gerade oder Ebene zu bestimmen. | {{Lösung versteckt|1=Bisher wurde mit der Formel zu Winkelberechnung nur der Winkel berechnet. Die Formel kann jedoch auch genutzt werden, um bei einem vorgegebenen Winkel die Lage der Gerade oder Ebene zu bestimmen. | ||
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Dafür muss zuerst der Normalenvektor der Ebene bestimmt werden. Da es sich um die <math>x_1-x_2</math> -Ebene handelt, lautet der Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}</math>. | Dafür muss zuerst der Normalenvektor der Ebene bestimmt werden. Da es sich um die <math>x_1-x_2</math> -Ebene handelt, lautet der Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}</math>. | ||
Nun können der Normalenvektor der Ebene, der Richtungsvektor der Gerade und der vorgegebene Winkel in die Formel zur Berechnung eingesetzt werden: <math> sin( | Nun können der Normalenvektor der Ebene, der Richtungsvektor der Gerade und der vorgegebene Winkel in die Formel zur Berechnung eingesetzt werden: <math> sin(45)=\frac{ \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 3\\ 6\\ z \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3\\ 6\\ z \end{pmatrix}} \Leftrightarrow sin(45)=\frac{z}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{9+36 + z^{2}}} \Leftrightarrow sin(45)=\frac{z}{\sqrt{45+z^{2}}} </math> | ||
Löst man die Gleichung mithilfe des Taschenrechners, erhält man das Ergebnis: <math>z=3 \sqrt{5} \approx 6,71</math>. | Löst man die Gleichung mithilfe des Taschenrechners, erhält man das Ergebnis: <math>z=3 \sqrt{5} \approx 6,71</math>. | ||
Somit kann im letzten Schritt die Gerade <math>g</math> aufgestellt werden. Man erhält <math>g: \vec{x}= /begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot /begin{pmatrix} 3\\ 6\\ 3 | Somit kann im letzten Schritt die Gerade <math>g</math> aufgestellt werden. Man erhält <math>g: \vec{x}= /begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot /begin{pmatrix} 3\\ 6\\ 3 \sqrt{5} \end{pmatrix} </math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | ||
| Arbeitsmethode}} | | Arbeitsmethode}} |
Version vom 7. Mai 2021, 09:28 Uhr
Hier entsteht das Lernpfadkapitel "Lagebeziehungen und Winkel (Gerade und Ebene, 2 Ebenen)".
Lagebeziehung Gerade-Ebene
Mögliche Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene
{{Box | Aufgabe <Nummer>: Schatten eines Sonnensegels | Da es Frau Meier im Sommer auf ihrer Terrasse gerne schattig haben möchte, spannt sie ein dreieckiges Segeltuch auf. Die Eckpunkte des Segeltuchs sind und . Die Terrasse wird modelliert durch die -Ebene. Die Sonne scheint aus Richtung . In welchem Bereich hat Frau Meier nun Schatten?
Bestimme die Geraden der Lichtstrahlen durch die Eckpunkte des Sonnensegels und berechne, wo sie auf die Terrasse treffen. Vielleicht hilft dir eine Skizze.
Der Schatten liegt auf der -Ebene und du weißt, dass jeder Punkt auf dieser Ebene von der Form: ist. Du musst also die Ebenengleichung nicht aufstellen.
1. Schritt:
Hervorhebung1}}
⭐Berechnung des Winkels zwischen Gerade und Ebene
Lagebeziehung Ebene-Ebene
⭐Berechnung des Winkels zwischen Ebene und Ebene