An einem Wanderweg soll eine Holzbank aufgestellt werden. Die Bank wird so ausgerichtet, dass die Sitzfläche durch die Ebene
und die Rückenlehne durch die Ebene
beschrieben werden kann.
a) Um eine bequeme Sitzposition zu ermöglichen, sollte der Winkel zwischen Rückenlehne und Sitzfläche zwischen 100 und 110 liegen. Überprüfe, ob die auf die neue Bank zutrifft.
Überlege genau, welchen Winkel du berechnet hast. Vielleicht kann dir eine Skizze helfen.
Als Normalenvektor der Ebene
erhält man
und als Normalenvektor der Ebene
.
Einsetzen in die Formel liefert:
Umstellen der Formel ergibt:
Wie in Abbildung ... zu sehen wurde der Winkel
![{\displaystyle \alpha }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=9845198045ec71aa8304372c28b24630&mode=mathml)
berechnet. Der Winkel zwischen der Sitzfläche und der Rückenlehne wird aber durch den Winkel
![{\displaystyle \beta }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=2fa6e1a5937d65ac9e67f692cebcddef&mode=mathml)
beschrieben.
![{\displaystyle \beta}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=b0603860fcffe94e5b8eec59ed813421&mode=mathml)
erhält man, indem man
![{\displaystyle 180 ^\circ - \alpha }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=64113c6facef186d82f1b08563d65fb6&mode=mathml)
berechnet:
![{\displaystyle 180 ^\circ - 68,2 ^\circ = 111,8 ^\circ }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=e320b5b1e0e0e0b7963bbf7e46f67cbe&mode=mathml)
. Mit einem Wert von
![{\displaystyle 111,8 ^\circ }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=d8210e67c1ce9bd5d7d602b89c91dda5&mode=mathml)
liegt der Winkel zwischen Rückenlehne und Sitzfläche etwas über dem optimalen Winkel.
b) Da der Wanderweg sehr beliebt ist, soll noch eine zweite Bank aufgestellt werden. Sie wird so ausgerichtet, dass beide Bänke mit den Rückenlehnen aneinander stehen. Auch bei der zweiten Bank können die Sitzfläche und die Rückenlehne durch Ebenen beschrieben werden. Die Sitzfläche entspricht der Ebene
und die Rückenlehne der Ebene
Berechne den Winkel, unter dem die beiden Rückenlehnen der Bänke aufeinander treffen.
Gesucht ist der Winkel zwischen der Ebene
![{\displaystyle R_1}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=b7000dd9eb57a731c41f8c85a55ff36a&mode=mathml)
und der Ebene
![{\displaystyle R_2}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=dcaf993833e8825e80c88a3a9eef9ed3&mode=mathml)
. Nutze zur Berechnung die Normalenvektoren der Ebenen.
Es soll der Winkel zwischen den beiden Rückenlehnen
und
berechnet werden. Die Normalenvektoren der Ebenen lauten
und
.
Einsetzen in die Formel liefert:
Umstellen der Formel ergibt:
![{\displaystyle \alpha=cos^{-1} \left( \frac{21}{29} \right) \Leftrightarrow \alpha \approx 43,6 ^\circ }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=d6a91da576d9b56ec41979b8d0467734&mode=mathml)
. Der Winkel zwischen den beiden Rückenlehnen beträgt
![{\displaystyle 43,6 ^\circ }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=5dd252175acbd5ecebd0dde248db64b3&mode=mathml)
.