Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in allgemeinen Dreiecken: Unterschied zwischen den Versionen
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Welche Gemeinsamkeiten bzw. Unterschiede entdeckt ihr?|Arbeitsmethode}} | Welche Gemeinsamkeiten bzw. Unterschiede entdeckt ihr?|Arbeitsmethode}} | ||
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* [https://www.realmath.de/Neues/10zwo/trigo/dreiecktrigo.html Übung (realmath)]|Üben}} | |||
{{Box|Übung 6|Löse die Aufgabe aus dem Buch. Notiere die Rechnungen übersichtlich und vollständig in deinem Heft. | |||
* S. 99 Nr. 3 | |||
* S. 100 Nr. 9|Üben}} | |||
{{Fortsetzung|weiter=4 Berechnungen in beliebigen Figuren|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in beliebigen Figuren}} | {{Fortsetzung|weiter=4 Berechnungen in beliebigen Figuren|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in beliebigen Figuren}} |
Version vom 11. März 2021, 13:50 Uhr
SEITE IM AUFBAU
1) Sinus, Kosinus, Tangens
2) Strecken- und Winkelberechnungen in rechtwinkligen Dreiecken
3 Strecken- und Winkelberechnungen in allgemeinen Dreiecken
Die Seitenverhältnisse Sinus, Kosinus und Tanges gelten nur für rechtwinklige Dreiecke.
Um in allgemeinen Dreiecken Strecken und Winkel berechnen zu können, zerlege das Dreieck mithilfe einer Höhe in zwei rechtwinklige Dreiecke.
3.1 Beispiel 1: Eine Seite und zwei Winkel sind gegeben
1. Möglichkeit: Zerlege das Dreieck durch die Höhe ha ein zwei rechtwinklige Dreiecke.
① Bestimme γ:
Winkelsummensatz
γ = 180° - α - β
= 180° - 42° - 62°
= 76°
② Berechne ha:
sin β = | ·c
c · sin β = ha
8,5 · sin(42°) = ha
5,7 (cm) ha
③ Berechne b:
sin γ = | ·b
b · sin γ = ha | : sin γ
b =
b =
b 5,9 (cm)
④ Berechne a:
cos β = | ·c
c · cos β = a1
8,5 · cos (42°) = a1
cos γ = | ·c
b · cos γ = a2
5,9 · cos (76°) = a2
= 6,3 + 1,4
2. Möglichkeit: Zerlege das Dreieck durch die Höhe hb ein zwei rechtwinklige Dreiecke.
① Bestimme γ:
Winkelsummensatz
γ = 180° - α - β
= 180° - 42° - 62°
= 76°
② Berechne hb:
sin α = | ·c
c · sin α = hb
8,5 · sin(62°) = hb
7,5 (cm) hb
③ Berechne a:
sin γ = | ·a
a · sin γ = hb | : sin γ
a =
a =
a 7,7 (cm)
④ Berechne b:
cos α = | ·c
c · cos α = b1
8,5 · cos (62°) = b1
cos γ = | ·c
a · cos γ = b2
7,7 · cos (76°) = b2
= 4,0 + 1,9
3.2 Beispiel 2: Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind gegeben
1. Möglichkeit: Zerlege das Dreieck durch die Höhe ha ein zwei rechtwinklige Dreiecke.
① Bestimme ha:
sin γ = |·b
b · sin γ = ha
5,8 · sin(65°) = ha
5,2 (cm) ha
② Bestimme a2
cos γ = |·b
b · cos γ = a2
5,8 · cos(65°) = a2
2,5 (cm) a2
③ Bestimme a1
a – a2= a1
8,2 - 3,8 = a1
5,7 (cm) = a1
④ Bestimme β
tan β =
tan β = |tan-1
β 42,4°
⑤ Bestimme c
sin β = |·c
c · sin β = ha |: sin β
c =
c =
c=
c =
c 7,7 (cm)
⑥ Bestimme den letzten Winkel α
Winkelsumme
α + β + γ = 180° |- β; -γ
α = 180° - β - γ
α = 180° - 42,4° - 65°
α = 72,6°
2. Möglichkeit: Zerlege das Dreieck durch die Höhe hb ein zwei rechtwinklige Dreiecke.
① Bestimme hb:
sin γ = |·a
a · sin γ = hb
8,2 · sin(65°) = hb
7,4 (cm) hb
② Bestimme b2
cos γ = |·a
a · cos γ = b2
8,2 · cos(65°) = b2
3,5 (cm) b2
③ Bestimme b1
b – b2= b1
5,8 - 3,5 = b1
2,3 (cm) = b1
④ Bestimme α
tan α =
tan α = |tan-1
α 72,7°
⑤ Bestimme c
sin α = |·c
c · sin α = hb |: sin α
c =
c =
c=
c =
c 7,7 (cm)
⑥ Bestimme den letzten Winkel β
Winkelsumme
α + β + γ = 180° |- α; -γ
β = 180° - α - γ
β= 180° - 72,7° - 65°
β = 42,3°
Du merkst, es kommt zu Rundungsungenauigkeiten.
3.3 Beispiel 3: Zwei Seiten und ein anliegender Winkel sind gegeben
NOCH ERGÄNZEN (nur eine Höhe ist möglich)
3.4 Anwendungsaufgaben
3.5 Formel für den Flächeninhalt beliebiger Dreiecke (mit Sinus)