Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen/Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate

Dieser Lernpfad beschäftigt sich mit der mittleren und lokalen Änderungsrate. In Aufgabe 1 geht es darum, die mittlere Änderungsrate zu berechnen. Dies erfolgt in Teilaufgabe a) anhand von Rechenbeispielen. In b) hingegen übst du mittlere Änderungsraten im Sachzusammenhang zu berechnen. Dies ist eine Förderaufgabe. Wenn du schon sicher im Umgang mit mittleren Änderungsraten bist, kannst du diese Aufgabe auch überspringen. In Aufgabe 2 beschäftigst du dich mit der Unterscheidung der mittleren und lokale Änderungsrate. In Teilaufgaben a) und b) geht es darum, festzustellen, wie sich die beiden Änderungsraten unterscheiden. In Teilaufgabe c) musst du im Sachzusammenhang unterscheiden, welche der beiden Änderungsraten berechnet werden soll. Diese Aufgabe ist eine Förderaufgabe. Den Zusammenhang von mittlerer und lokaler Änderungsrate erarbeitest du in Aufgabe 5.Dies ist eine Förderaufgabe. In Aufgabe 6 geht es um die geometrischen Zusammenhänge. Dies ist eine Forderaufgabe. Viel Spaß beim Bearbeiten! :)

Merke

Sekante: Eine Sekante ist eine Gerade zwischen zwei Punkten. Ihre Steigung heißt Sekantensteigung und gibt die mittlere Änderungsrate zwischen diesen beiden Punkten an.

Merke

Tangente: Eine Tangente ist eine Gerade, die eine Kurve in einem bestimmten Punkt berührt. Dort haben die Kurve und die Tangente dieselbe Steigung. Diese Steigung entspricht der Ableitung der Funktion in diesem Punkt.

Merke

Die lokale Änderungsrate

Die lokale Änderungsrate einer Funktion $f$ gibt die Steigung in einem Punkt an. Anders gesagt, gibt die lokale Änderungsrate die Steigung der Tangente an der Stelle $x$ an. Die Steigung der Tangente entspricht der Ableitung der Funktion $f$. Somit lässt sich die lokale Änderungsrate mit Hilfe der Ablteitung $f'(x)$ berechnen. Eine weitere Methode zur Bestimmung der lokalen Änderungsrate ist, den Grenzwert des Differenzenquotienten zu bilden.

Der Grenzwert $\overrightarrow{h \rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)} {h}$ heißt Differenzialquotient.

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Bestimmung von mittleren Änderungsraten

Aufgabe 1: Berechnung der mittleren Änderungsrate

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Aufgabe 2: Berechnung der mittleren Änderungsrate im Sachkontext

Dein Sportverein feiert dieses Jahr seinen 25. Geburtstag. Zu diesem Anlass wird eine Tabelle mit den Mitgliederzahlen der letzten Jahre veröffentlicht (leider gab es vor dem Jahr 2010 keine Statistik über die Anzahl der Mitglieder):

Datei:Diwerspng.PNG

Leider ist der Vorstand wegen der Vorbereitung der Jubiläumsfeier sehr beschäftigt und bittet dich, ihm bei der Beantwortung einiger Fragen zu helfen.

a) Wie viele Mitglieder sind seit 2010 im Durchschnitt pro Jahr in deinem Verein hinzugekommen?

(!30) (!2,4) (!24) (!29,71) (26)

<popup name="Tipp "> In dieser Aufgabe wird die mittlere Änderungsrate im Intervall $[2010, 2018]$ gesucht. Wenn du nicht mehr weißt, wie du diese berechnen kannst, lies in den Tipps zu Aufgabe 1 nach. </popup> <popup name="Lösung"> Um herauszufinden, wie viele Mitglieder seit 2010 in deinem Verein durchschnittlich pro Jahr hinzugekommen sind, musst du die mittlere Änderungsrate im Intervall [2010, 2018] bestimmen. Wir können sagen, dass f(x) die Funktion ist, die jeder Jahreszahl ab 2010 die Anzahl der Mitglieder in diesem Jahr zuordnet. Dann ist f(2010)=210 und f(2018)=418. Mit diesen Werten kannst du jetzt die mittlere Änderungsrate bestimmen:

$\frac {f(2018)-f(2010)} {2018-2010}= \frac {418-210} {2018-2010}= \frac {208} {8}= 26$

Aus der mittleren Änderungsrate kannst du nun ablesen, dass seit 2010 im Durchschnitt pro Jahr 26 Mitglieder in deinem Verein hinzugekommen sind. </popup>

b) Der aktuelle Vorstand arbeitet seit 2016 zusammen. Sein Ziel war eine Steigerung der Mitgliedszahlen. Diese sollte im Mittel größer sein als der durchschnittliche Mitgliederzuwachs in den Jahren davor (also von Beginn der Mitgliedererfassung bis zur Wahl des neuen Vorstands 2016). Ist es Ihnen gelungen ihr Ziel zu erreichen?

(Ja, es ist Ihnen gelungen ihr Ziel zu erreichen.) (!Nein, sie haben ihr Ziel nicht erreicht.) (!Sowohl vor der Wahl als auch nach der Wahl des neuen Vorstands sind im Durchschnitt pro Jahr genau gleich viele Mitglieder dem Verein beigetreten.)

<popup name="Tipp"> Vergleiche die mittlere Änderungsrate in den Jahren vor der Wahl des neuen Vorstands (2010-2016) und nach der Wahl des neuen Vorstands (2016-2018). Wenn du nicht mehr weißt, wie du die mittlere Änderungsrate berechnen kannst, schaue dir die Tipps zu Aufgabe 1 und 2a) nochmal an. </popup> <popup name="Lösung"> Ja, ihnen ist es knapp gelungen ihr Ziel zu erreichen.

Um auf diese Lösung zu kommen, musst du die mittleren Änderungsraten in den Jahren vor und nach der Wahl des neuen Vorstands vergleichen.

durchschnittliche Änderungsrate vor der Wahl: $\frac{f(2016)-f(2010)} {2016-2010}=\frac {365-210} {2016-2010}=\frac {155} {6}=25,83$

durchschnittliche Änderungsrate nach der Wahl: $\frac{f(2018)-f(2016)} {2018-2016}=\frac {418-365} {2016-2010}=\frac {53} {2}=26,5$

Die mittlere Änderungsrate der letzten zwei Jahren ist also höher als die der Jahre davor. Daraus lässt sich schließen, dass der durchschnittliche Mitgliedszuwachs im Verein pro Jahr seit 2016 ein wenig höher ist als es in den Jahren davor der Fall war. </popup>

Unterscheidung der Änderungsraten

Aufgabe 3: Unterscheidung der mittleren und lokalen Änderungsrate

$f(x_0)$) und Q($x_1$

Änderungsraten im Sachzusammenhang

Aufgabe 4: Änderungsraten im Sachzusammenhang

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Zusammenhang von mittlerer und lokaler Änderungsrate

Aufgabe 5: Zusammenhang von mittleren und lokalen Änderungsrate

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Geometrischer Zusammenhang von mittlerer und lokaler Änderungsrate

Aufgabe 6: Geometrischer Zusammenhang von mittleren und lokalen Änderungsrate (Forder-Aufgabe)

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