Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Zinsrechnung/Zinsformel

Prozentformel und Zinsformel

Zinsen zu berechnen ist eigentlich einfach nur Prozentrechnung - mit etwas anderen Namen. Die Formel aus der Prozentrechnung kennst du ja schon:

$W = G \cdot \frac{p}{100}$.

Dabei ist $W$ der Prozentwert, $G$ der Grundwert und $p$ die Prozentzahl. Möchtest du zum Beispiel wissen, was Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 3%} von 250g Mehl sind, rechnest du das mit genau dieser Formel aus:

$W = 250\cdot \frac{3}{100} = 7{,}5 \text{ g}$.

In der Zinsrechnung berechnen wir nun ebenfalls die Prozente von einem bestimmten Geldbetrag. Statt Prozent sagen wir also Zinssatz und anstelle von Grundwert sprechen wir nun von Kapital. Zuletzt sind die Zinsen dann der Prozentwert. Statt die aufwändigen Worte kürzen wir diese Begriffe nun wie in der Mathematik üblich mit eine, Buchstaben ab:

Dabei sind $Z$ die Zinsen, $K$ das Kapital und $z$ der Zinssatz. Als Formel ergibt sich somit:

$Z = K\cdot \frac{z}{100}$.

Beispielaufgabe mit Lösung

Probieren wir die doch mal zusammen aus anhand einem Beispiel:

Katharina hat zum Geburtstag ein Sparkonto bekommen. Dort bekommt sie in einem Jahr Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 1%} Zinsen gezahlt. Sie zahlt direkt all ihr Geburtstagsgeld von $100$ Euro auf das Sparkonto. Wieviel Geld hat sie an ihrem nächsten Geburtstag auf diesem Konto?

Lösung:

Gegeben: K = $100$ Euro, z = Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 1%} .

Gesucht: Z und Kapital nach einem Jahr.

Rechnung: $Z = 100\text{ Euro}* \frac{1}{100} = 1\text{ Euro}$. Nach einem Jahr hat sie demnach $100\text{ Euro} + 1\text{ Euro} = 101\text{ Euro}$ auf dem Konto.

Antwort: Katharina hat an ihrem nächsten Geburtstag $101$ Euro auf dem Konto.

Das geht sogar noch schneller

In der Beispielaufgabe haben wir am Ende das Kapital noch mit den Zinsen verrechnet. Das können wir auch direkt in einer einzelnen Rechnung machen:

$100\text{ Euro} + 1\text{ Euro} = 101\text{ Euro } | \text{ Die 100 ersetzen wir durch ein K}$.

$K + 1\text{ Euro} = 101\text{ Euro } | \text{ Die 1 Euro ersetzen wir durch Z}$.

$K + Z = 101\text{ Euro } | \text{ Das Z ersetzen wir durch die Zinsformel}$.

$K + K\cdot \frac{z}{100} = 101\text{ Euro } | \text{ Vor dem K ist eine 1 Multipliziert}$.

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 1 \cdotK + 1 \cdot K \cdot \frac{z}{100} = 101\text{ Euro } | \text{ Das K können wir nun ausklammern} } .

$K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100}) = 101\text{ Euro } | \text{ Der 101 geben wir auch noch einen Namen}$.

$K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100}) = K_t$.

Probieren wir diese Formel doch direkt mal aus mit $K = 100$ und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle z=1%} aus der Beispielaufgabe aus.

$100\cdot(1 + 1\cdot \frac{1}{100}) = 101$. Es geht auf!