Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Wendepunkte

Merke: Änderung des Krümmungsverhalten

Ein Wendepunkt beschreibt einen Punkt auf einem Funktionsgraphen, an dem sich das Krümmungsverhalten des Graphen ändert. Der Funktionsgraph ändert an dieser Stelle seine Krümmung von rechts nach links (Rechts-Links-Wendestelle, kurz: RLW) oder von links nach rechts (Links-Rechts-Wendestelle, kurz: LRW).

Tipp: Es kann helfen, wenn man sich vorstellt auf dem Graphen mit einem Fahrrad zu fahren, so ist der Wendepunkt genau an dem Punkt, wo sich die Richtung, in die man lenkt, ändert.

Aufgabe 1 - Wendepunkte angeben

Gib in der Grafik an, ob an den markierten Punkten jeweils ein Wendepunkt vorliegt oder nicht.

Merke: Lokales Extremum der Ableitung

An einem Wendepunkt einer Funktion $f(x)$ ist die Steigung in der näheren Umgebung maximal bzw. minimal. Somit folgt, dass die Ableitung an dieser Stelle ein lokales Extremum aufweist. Daraus ergibt sich das notwendige Kriterium für einen Wendepunkt. Wenn die Funktion $f'(x)$ an der Stelle $x_W$ ein Extremum aufweist, so ist die Ableitung dieser Funktion an der Stelle gleich 0: $f''(x_W)=0$ (Hinweis: Dies wurde im vorherigen Kapitel "Extema" bearbeitet).

Zusammenfassung:

• notwendiges Kriterium: $f''(x_W)=0$
• hinreichendes Kriterium: $f''(x_W)=0$ und $f'''(x_W) \neq 0$, wobei gilt: $f'''(x_W) > 0 \Rightarrow$RLW oder $f'''(x_W) < 0 \Rightarrow$LRW

Verfahren zur Berechnung eines Wendepunktes

• Notwendiges Kriterium: Nullstellen $x_W$ der zweiten Ableitung berechnen

• Hinreichendes Kriterium: Einsetzen der berechneten Wendestelle $x_W$ in die dritte Ableitung (RLW oder LRW?)

• Berechnen des Funktionswertes durch Einsetzen der Wendestelle $x_W$ in die ursprüngliche Funktion

Du kannst dir noch gerne das folgende Beispiel anschauen:

Beispiel: Gegeben sei die Funktion $f(x)=\frac{7}{12}x^4-5x^2$

$f'(x)=\frac{28}{12}x^3-10x=\frac{7}{3}x^3-10x$

$f''(x)=\frac{7\cdot 3}{3}x^2-10=7x^2-10$

$f'''(x)=14x$

• Notwendiges Kriterium: $f''(x_W)=0$

$f''(x_W)=7x_W^2-10=0$

$\Rightarrow x_W^2=\frac{10}{7}$

$\Rightarrow x_W=\pm\sqrt{\frac{10}{7}}$

$\Rightarrow x_{W_{1}}=+\sqrt{\frac{10}{7}}$ und $x_{W2}=-\sqrt{\frac{10}{7}}$

• Hinreichendes Kriterium: $f''(x_W)=0$ und $f'''(x_W)\neq 0$

$f'''(x_{W_{1}})\approx 16{,}73>0$ und $f'''(x_{W_{2}})\approx-16{,}73<0$

$\Rightarrow$An $x_{W_{1}}$ liegt eine Recht-links-Wendestelle und an $x_{W_{2}}$ eine Links-rechts-Wendestelle vor.

• Berechnen der Funktionswerte:

$f(x_{W_{1}})=\frac{7}{12}\cdot (\sqrt{\frac{10}{7}})^4-5\cdot (\sqrt{\frac{10}{7}})^2\approx -5{,}95$

$f(x_{W_{2}})=\frac{7}{12}\cdot (-\sqrt{\frac{10}{7}})^4-5\cdot (-\sqrt{\frac{10}{7}})^2\approx -5{,}95$

Lösung: An dem Punkt $(20|-5{,}95)$ liegt ein Rechts-links-Wendepunkt vor und an dem Punkt $(-20|-5{,}95)$ liegt ein Links-rechts-Wendepunkt vor.

Aufgabe 2 - Wendepunkt bestimmen

Berechne die Wendepunkte der folgenden Funktionen. Falls du Hilfe brauchst, schaue dir zunächst die Tipps an. Der Aufgabenteil b) geht über Funktionsscharen und ist nur für den LK gedacht.

a) $g(x) = \frac{2}{25} x^5-x^3+\frac{25}{8} x$

Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!

Versuche, die drei Ableitungen von der Funktion zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!

Um die Nullstelle eine Polynoms dritten Grades zu berechnen, kannst du hier ein $x$ ausklammern.

Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!

$g'(x)=\frac{10}{25}x^4-3x^2+\frac{25}{8}=\frac{2}{5}x^4-3x^2+\frac{25}{8}$

$g''(x)=\frac{8}{5}x^3-6x$

$g'''(x)=\frac{24}{5}x^2-6$

• Notwendiges Kriterium: $g''(x_W)=0$

$g''(x_W)=\frac{8}{5}x_W^3-6x_W=0$ Polynom dritten Grades: $x_W$ ausklammern.

$\Rightarrow x_W\cdot(\frac{8}{5}x_W^2-6)=0$ Wir erhalten drei Lösungen ...

$\Rightarrow x_{W_{1}}=0$ und $(\frac{8}{5}x_{W_{2/3}}^2-6)=0$ Die Gleichung kann in die Form $x^2+px+q$ gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

$\Rightarrow (x_{W_{2/3}}^2-6\cdot \frac{5}{8})=0$, also $\Rightarrow p=0, q=-\frac{30}{8}=-\frac{15}{4}$

$\Rightarrow x_{W_{2/3}}=-\frac{0}{2}\pm\sqrt{(\frac{0}{2})^2+\frac{15}{4}}$

$\Rightarrow x_{W_{2/3}}=\pm\sqrt{\frac{15}{4}}$

$\Rightarrow x_{W_{2}}=+\sqrt{\frac{15}{4}}$ und $x_{W_{3}}=-\sqrt{\frac{15}{4}}$

• Hinreichendes Kriterium: $f'''(x_W)\neq 0$

$g'''(x_{W_{1}})=\frac{24}{5}\cdot 0^2-6=-6<0$

$g'''(x_{W_{2}})=\frac{24}{5}\cdot(\sqrt{\frac{15}{4}})^2-6=12>0$

$g'''(x_{W_{3}})=\frac{24}{5}\cdot (-\sqrt{\frac{15}{4}})^2-6=12>0$

$\Rightarrow$An $x_{W_{1}}$ liegt eine Links-rechts-Wendestelle und an $x_{W_{2}}$ und $x_{W_{3}}$ eine Rechts-links-Wendestelle vor.

• Berechnen der Funktionswerte:

$g(x_{W_{1}}) = \frac{2}{25}\cdot 0^5-0^3+\frac{25}{8}\cdot 0=0$

$g(x_{W_{2}}) = \frac{2}{25}\cdot (\sqrt{\frac{15}{4}})^5-(\sqrt{\frac{15}{4}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{\frac{15}{4}}\approx 0{,}97$ $g(x_{W_{3}}) = \frac{2}{25}\cdot (-\sqrt{\frac{15}{4}})^5-(-\sqrt{\frac{15}{4}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{-\frac{15}{4}}\approx -0{,}97$

Lösung: An dem Punkt $(0|0)$ liegt ein Links-rechts-Wendepunkt vor und an den Punkten $(\sqrt{\frac{15}{4}}|0{,}97)$ und $(-\sqrt{\frac{15}{4}}|-0{,}97)$ liegen Rechts-links-Wendepunkte vor.

b) ⭐ $h(x) = x^3-\frac{a}{2}x^2-a$

Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!

Versuche die drei Ableitungen von der Funktionsschar zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!

Die Variable $a$ kannst du wie eine Zahl behandeln!

Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!

$h'(x) = 3x^2-ax$

$h''(x) = 6x-a$

$h'''(x) = 6$

• Notwendiges Kriterium: $h''(x_W)=0$

$h''(x_{W}) = 6x_W-a =0$

$\Rightarrow x_{W}=\frac{a}{6}$

• Hinreichendes Kriterium: $f'''(x_W)\neq 0$

$h'''(x_{W}) = 6 > 0$

$\Rightarrow$ Bei dem Wendepunkt handelt es sich um einen Recht-links-Wendepunkt.

• Berechnen des Funktionswertes:

$h(x_{W}) = (\frac{a}{6})^3-\frac{a}{2}\cdot(\frac{a}{6})^2-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{1}{2\cdot 6^2})-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{3}{3\cdot 2\cdot 6^2})-a=-\frac{2}{6^3}a^3-a$

Lösung: Die Rechts-links-Wendepunkte der Funktionsscharen liegen an den Punkten: $(\frac{a}{6}|-\frac{2}{6^3}a^3-a)$.

Aufgabe 3 - Die schnelle Achterbahn

Achterbahn

Im Europa Park in Baden-Württemberg soll eine schnelle Achterbahn gebaut werden. Kurz vor Schluss soll die Bahn über zwei hohe Punkte fahren und dort die Höchstgeschwindigkeiten erreichen. Die Mitarbeiter des Parks haben eine Simulation der Achterbahn erstellt und haben somit die Geschwindigkeit der Achterbahn gegen die Zeit in Sekunden aufgenommen. Die Funktion $v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10$ (siehe Abbildung) beschreibt im Intervall $[-3, 3]$ Sekunden sehr gut die Geschwindigkeit der Achterbahn am Ende der Fahrt, wobei $t$ für die Zeit und $s$ für die Sekunden der Fahrt steht. Zum Zeitpunkt $t=0$ schießt eine Kamera ein Foto von den Passagieren.

Die Zeitpunkte, an denen die Achterbahn stark abbremst oder beschleunigt, sind sicherheitsrelevanten Momente der Fahrt. Zu diesen Zeitpunkten sollen deshalb besondere Sicherheitssysteme arbeiten. Zu welchen Zeitpunkten ist die Beschleunigung minimal bzw. maximal? Beachte: Es ist nur der Zeitpunkt gesucht, du musst also nicht den Funktionswert bzw. die Geschwindigkeit berechnen. Der letzte Schritt aus dem obigen Beispiel bleibt also aus.

Die Beschleunigung $a(t)$ kann man berechnen, da sie der Ableitung der Geschwindigkeit entspricht also: $a(t)=v'(t)$. Die Geschwindigkeit ist angegeben. Was gilt für die Punkte, an denen die Beschleunigung maximal oder minimal ist? Lösung zu der Frage findest du in Tipp 2.

Zu dem Zeitpunkt $t_{W}$, an dem die Beschleunigung maximal bzw. minimal ist gilt: $a'(t_{W})=0$, da zu diesem Zeitpunkt die Beschleunigung eine Extremstelle und somit die Geschwindigkeit einen Wendepunkt aufweist.

Hier soll also nur wieder der Wendepunkt berechnet werden. Für weitere Tipps kannst du in der Aufgabe 2 und dem Beispiel schauen!

Eine Substitution: $t_{W}^2= z$ ist zur Berechnung der Nullstellen der zweiten Ableitung möglich!

Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!

$v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10$

$v'(t)=a(t)=3t^5-30t^3+60t$

$v''(t)=a'(t)=15t^4-90t^2+60$

$v'''(t)=a''(t)=60t^3-180t$

• Notwendiges Kriterium: $v''(t_{W})=a'(t_{W})=0$, wobei $a(t)$ die Beschleunigung der Bahn beschreibt.

$0=v''(t_{W})=a'(t_{W})=15t_{W}^4-90t_{W}^2+60$ Substitution: $t_{W}^2= z$

$\Rightarrow 0=15z^2-90z+60$ Die Gleichung kann in die Form $x^2+px+q$ gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

$\Rightarrow 0=z^2-6z+4$ pq-Formel anwenden mit $p=-6$ und $q=4$

$\Rightarrow z_{1/2}=\frac{6}{2}\pm \sqrt {(\frac{6}{2})^2-4}$

$\Rightarrow z_{1/2}=3\pm \sqrt {5}$

$\Rightarrow z_{1}=3 + \sqrt {5}$ und $\Rightarrow z_{2}=3 - \sqrt {5}$ Nun müssen wir zurück substituieren $\pm\sqrt{z}=t_{W}$

$\Rightarrow t_{W_{1/2}}=\pm \sqrt{3 + \sqrt {5}}$ und $\Rightarrow t_{W_{3/4}}=\pm \sqrt{3 - \sqrt {5}}$

$\Rightarrow t_{W_{1}}=\sqrt{3 + \sqrt {5}}$, $\Rightarrow t_{W_{2}}=-\sqrt{3 + \sqrt {5}}$, $\Rightarrow t_{W_{3}}=\sqrt{3 - \sqrt {5}}$ und $\Rightarrow t_{W_{4}}=-\sqrt{3 - \sqrt {5}}$

• Hinreichendes Kriterium: $v'''(t_W)=a''(t_{W})\neq 0$

$f'''(t_{W_{1}})=60t_{W_{1}}^3-180t_{W_{1}}=60\cdot(\sqrt{3 + \sqrt {5}})^3-180\cdot \sqrt{3 + \sqrt {5}}\approx 307 > 0 \Rightarrow RLW$

$f'''(t_{W_{2}}) \approx -307 < 0 \Rightarrow LRW$

$f'''(t_{W_{3}})\approx -117 < 0 \Rightarrow LRW$

$f'''(t_{W_{4}})\approx 117 > 0 \Rightarrow RLW$

An Rechts-links-Wendepunkten wird die Beschleunigung minimal und an den Links-rechts Wendepunkten maximal.

Lösung: Die Achterbahn bremst zu den Zeitpunkten $\sqrt{(3 + \sqrt {5})}$ Sekunden und $-\sqrt{(3 - \sqrt {5})}$ Sekunden am stärksten ab. Die Achterbahn beschleunigt zu den Zeitpunkten $-\sqrt{(3 + \sqrt {5})}$ Sekunden und $\sqrt{(3 - \sqrt {5})}$ Sekunden am stärksten.

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Verhalten im Unendlichen und nahe Null