Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Steckbriefaufgaben: Unterschied zwischen den Versionen
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Wir empfehlen dir, dich bereits mit den Eigenschaften von Funktionen und der lokalen Änderungsrate beschäftigt zu haben, wenn du mit dieser Seite beginnst.|3=Kurzinfo}} | Wir empfehlen dir, dich bereits mit den Eigenschaften von Funktionen und der lokalen Änderungsrate beschäftigt zu haben, wenn du mit dieser Seite beginnst.|3=Kurzinfo}} | ||
==Das Einsetzungsverfahren== | ==Das Einsetzungsverfahren== |
Version vom 22. Mai 2020, 13:20 Uhr
In diesem Lernpfadkapitel lernst du Steckbriefaufgaben kennen. In Steckbriefaufgaben geht es darum, aus den Eigenschaften einer Funktion deren Funktionsterm und Funktionsgraphen herzuleiten.
- In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du Gelerntes wiederholen und vertiefen.
- Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
- Und Aufgaben mit grüner Hinterlegung sind Knobelaufgaben.
- Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.
Damit übst du das Modellieren und Mathematisieren , indem du mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten Lösungen innerhalb mathematischer Modelle erarbeitest. Dazu ist das Lösen von Gleichungssystemen mit mehr als einer Variablen notwendig. Du stellst lineare Gleichungssysteme in Matrix-Vektor-Schreibweise dar, löst sie mithilfe geeigneter Verfahren und interpretierst ihre Lösungsmenge.
Inhaltsverzeichnis
Das Einsetzungsverfahren
Das Einsetzungsverfahren verwendest du, um ein Gleichungssystem mit zwei Variablen zu lösen. Dabei versuchst du zuerst eine Variable allein auf eine Seite zu bringen und diese Gleichung dann in die zweite Gleichung einzusetzen.
Schau dir folgendes Gleichungssystem an:
Die Gleichung ist bereits nach der Variable aufgelöst. Diese fügen wir nun statt in die die Gleichung ein. Das sieht folgendermaßen aus:
1. Wir vereinfachen
2. Und stellen nach um
3. Dann teilen wir durch die Anzahl der Variable, hier 8 und es ergibt sich
4. Das können wir nun in eine der beiden Gleichungen einsetzen und nach umstellen. Gleichung eignet sich dafür natürlich am besten. Es gilt:
Aufgaben zum Einsetzungsverfahren
Die Schwierigkeit der Aufgaben steigt von oben nach unten.
a)
b)
Quadratische Funktionen im Sachzusammenhang
Jedes halbe Jahr veranstaltet eine Schule einen Elternsprechtag von 12 Uhr bis 18 Uhr. Den Eltern stehen auf dem Lehrerparkplatz aber nur eine begrenzte Anzahl an Parkplätzen zur Verfügung, sodass die Schulleitung rechtzeitig entscheiden muss, ob noch weitere Parkplätze angemietet werden müssen. Sie geht davon aus, dass der erste Parkplatz erst nach Beginn des Elternsprechtages belegt wird und spätestens um 18 Uhr das letzte Auto den Parkplatz verlassen hat. Diesen Elternsprechtag stehen den Eltern 50 Parkplätze zur Verfügung. Eine Zählung um 13 Uhr ergibt, dass bereits die Hälfte der zur Verfügung stehenden Parkplätze belegt ist.
a) Die Anzahl belegter Parkplätze lässt sich in Abhängigkeit zur Uhrzeit (mit in Stunden, wobei 12 Uhr repräsentiert) durch eine quadratische Funktion der Form beschreiben. Löse zunächst den unteren Lückentext.
b) Stelle mit Hilfe von Aufgabe a) die Gleichung von auf. Mit unterem Applet kannst du dein Ergebnis selbstständig überprüfen.
Insgesamt erhalten wir also folgendes Gleichungssystem:
Dieses Gleichungssystem lösen wir mit dem Einsetzungsverfahren:
Als erstes stellen wir Gleichung nach um und erhalten
Setzen wir diese (umgeformte) Gleichung in Gleichung ein, erhalten wir
Setzen wir in die (umgeformte) Gleichung ein, erhalten wir
und damit insgesamt
c) Entscheide, ob die 50 Parkplätze für die gesamte Dauer des Elternsprechtages ausreichend sind oder zusätzliche Parkplätze angemietet werden müssen.
Der Graph der Funktion hat den Hochpunkt . Die maximale Anzahl belegter Parkplätze ist also um 15 Uhr nachzuweisen. Zu der Zeit sind 45 Parkplätze belegt, sodass die vorhandenen 50 Parkplätze ausreichen.
d) Skizziere nun den Graphen von anhand der Informationen auf einem Blatt. Beachte hierbei die geeignete Beschriftung der Koordinatenachsen. Für welchen Zeitraum ist dieser Graph als mathematische Modellierung der Parkplatzsituation geeignet?
Das Gauß-Verfahren
Das Gauß-Verfahren verwendest du bei Gleichungssystemen mit 2 oder mehr Variablen. Dabei versuchst du die Gleichungen so zu vereinfachen, dass eine obere Dreiecksmatix entsteht.
Schaue dir folgende Gleichungen an:
In Matrix-Vektor-Schreibweise sieht das so aus:
1. Um die -Variable in Gleichung zu eliminieren rechnen wir :
In Matrix-Vektor-Schreibweise:
2. Um die -Variable in Gleichung zu eliminieren rechnen wir :
In Matrix-Vektor-Schreibweise:
3. Nun soll auch die -Variable in Gleichung eliminiert werden. Dazu rechnen wir
Unsere Gleichungen sehen nun folgendermaßen aus:
In Matrix-Vektor-Schreibweise:
Wir können Gleichung nun nach auflösen. Dann setzen wir den -Wert in Gleichung ein und lösen nach auf. Zuletzt setzten wir jeweils den berechneten - und -Wert in Gleichung ein und lösen nach auf. Wir erhalten so unsere dritte Variable.
Es folgt also:
, ,
Aufgaben zum Gauß-Verfahren
Die Schwierigkeit der Aufgaben steigt von oben nach unten.
a)
b) ⭐
Kubische Funktionen im Sachzusammenhang
Anmerkung: alle unteren Angaben sind frei erfunden
Im Januar befällt ein neuartiges Virus Deutschland. Mittlerweile ist es Oktober und du suchst im Internet nach Informationen über die Infektionszahlen. Dort triffst du auf folgende Informationen:
- Im Dezember des Vorjahres befinden sich noch keine infizierten Personen in Deutschland
- Im April leben 2.000.000 infizierte Personen in Deutschland
- Im August leben 4.000.000 infizierte Personen in Deutschland
- Durch entsprechende Maßnahmen ist die Zahl infizierter Personen ab August rückläufig
a) Die Anzahl infizierter Personen lässt sich durch eine kubische Funktion (Funktion dritten Grades) der Form beschreiben. Löse zunächst unteren Lückentext.
b) Stelle mit Hilfe von Aufgabe a) die Gleichung von auf. Mit unterem Applet kannst du dein Ergebnis selbstständig überprüfen.
Insgesamt erhalten wir also folgendes Gleichungssystem:
Dieses Gleichungssystem lösen wir mit dem Gauß-Verfahren:
Gleichung liefert uns nun
Setzen wir in Gleichung ein, erhalten wir
Setzen wir und in Gleichung ein, erhalten wir
und damit insgesamt
c) Wissenschaftler behaupten, dass die milden Temperaturen im Frühling dafür sorgen, dass sich der temperaturempfindliche Virus optimal ausbreiten kann und deshalb die stärkste Zunahme infizierter Personen im Frühling nachzuweisen ist. Prüfe diese Behauptung anhand der Informationen.
Der Graph der Funktion hat einen Wendepunkt bei . Die stärkste Zunahme infizierter Personen ist also im April (bzw. im Frühling) nachzuweisen. Die Behauptung ist demnach richtig.
d) Skizziere nun den Graphen von anhand der Informationen auf einem Blatt. Beachte hierbei die geeignete Beschriftung der Koordinatenachsen. Für welchen Zeitraum ist dieser Graph als mathematische Modellierung der Virusinfektion geeignet?
Bearbeite den Lückentext