Beschreibe in deinem Heft das Verhalten der nachfolgenden Funktionen und Funktionenscharen im Unendlichen und nahe Null. Gehe dazu vor wie in den Merkboxen oben.
a)
Gehe genauso vor wie im obigen Beispiel. Für das Verhalten im Unendlichen schau dir am besten noch einmal die vier möglichen Fälle an.
![{\displaystyle f}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7&mode=mathml)
verhält sich im Unendlichen wie
![{\displaystyle g(x)=7x^5}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=213941a3698c8efd70728f0f2f5cd100&mode=mathml)
. Da
![{\displaystyle n=5}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=44d21af66b0874d9b45905ea79807cb3&mode=mathml)
eine ungerade Zahl ist und
![{\displaystyle a_n=7>0}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=8d757604394ff6c7b2857c5adbc63770&mode=mathml)
, geht
![{\displaystyle f(x)\rightarrow-\infty}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=a8c2d0d2ab9777bb6003ea713ac7b215&mode=mathml)
für
![{\displaystyle x\rightarrow -\infty}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=176d51311f2222f2b14382ac6606632c&mode=mathml)
und
![{\displaystyle f(x)\rightarrow\infty}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=e0f5629cd8e28f7bf12bb259f3dea824&mode=mathml)
für
![{\displaystyle x\rightarrow\infty}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=ed808eb976bc917a718569aefc98db2e&mode=mathml)
. Der Graph von
![{\displaystyle f}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7&mode=mathml)
verläuft also von links unten nach rechts oben.
![{\displaystyle f}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7&mode=mathml)
verhält sich nahe Null wie
![{\displaystyle h(x)=-2x^2}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=23ebe9be1a0b716aa6a5d1b85e9b01b2&mode=mathml)
, also wie eine nach unten geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt im Ursprung, die um den Faktor zwei gestreckt ist.
b)
Beachte, dass du manchmal den Funktionsterm erst zusammenfassen musst.
Zusammengefasst ist
![{\displaystyle f(x)=-\frac{1}{3}x^2-3x+9}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=3058b16a8c8987bae14dbb753f23f0c1&mode=mathml)
.
![{\displaystyle f}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7&mode=mathml)
verhält sich daher im Unendlichen wie
![{\displaystyle g(x)=-\frac{1}{3}x^2}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=3da7e93cbf921011c216a6c08a2d9e4a&mode=mathml)
. Da
![{\displaystyle n=2}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=c303081f7a16f603112b0375bdc84883&mode=mathml)
eine gerade Zahl ist und
![{\displaystyle a_n=-\frac{1}{3}<0}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=6c6904164cc128d82b36dba149342bbf&mode=mathml)
, geht
![{\displaystyle f(x)\rightarrow-\infty}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=a8c2d0d2ab9777bb6003ea713ac7b215&mode=mathml)
für
![{\displaystyle x\rightarrow \pm\infty}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=a3b95b17fadfdecf86562ad3c687051b&mode=mathml)
. Der Graph von
![{\displaystyle f}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7&mode=mathml)
verläuft also von links unten nach rechts unten.
![{\displaystyle f}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7&mode=mathml)
verhält sich nahe Null wie
![{\displaystyle h(x)=-3x+9}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=987274c9c8c8c65fed22df549cd76584&mode=mathml)
, also wie eine fallende Gerade mit Steigung
![{\displaystyle -3}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=b3149ecea4628efd23d2f86e5a723472&mode=mathml)
und y-Achsenabschnitt
![{\displaystyle 9}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=45c48cce2e2d7fbdea1afc51c7c6ad26&mode=mathml)
.
c) ⭐
mit
Gehe bei Funktionenscharen genau so vor wie bei normalen Funktionen.
![{\displaystyle f_t}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=bae155438877126b42cbddee193c048a&mode=mathml)
verhält sich im Unendlichen wie
![{\displaystyle g(x)=-7x^5}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=d9d3d2d3a1f5ea8190b5fb27da9bdfdd&mode=mathml)
. Da
![{\displaystyle n=5}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=44d21af66b0874d9b45905ea79807cb3&mode=mathml)
eine ungerade Zahl ist und
![{\displaystyle a_n=-7<0}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=0e8ee2e8e74a843c41363ba250333e3c&mode=mathml)
, geht
![{\displaystyle f_t(x)\rightarrow\infty}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=588d0a10762bee341af51624e251e52d&mode=mathml)
für
![{\displaystyle x\rightarrow -\infty}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=176d51311f2222f2b14382ac6606632c&mode=mathml)
und
![{\displaystyle f_t(x)\rightarrow-\infty}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=715bb20902e087297fffca6bd0eb09df&mode=mathml)
für
![{\displaystyle x\rightarrow \infty}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=be8004936cefab400798858bce1d2b54&mode=mathml)
. Der Graph von
![{\displaystyle f_t}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=bae155438877126b42cbddee193c048a&mode=mathml)
verläuft also von links oben nach rechts unten.
![{\displaystyle f_t}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=bae155438877126b42cbddee193c048a&mode=mathml)
verhält sich nahe Null wie
![{\displaystyle h_t(x)=tx^3}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=796ea4c7c9693bf1f7fb9b72027c9cec&mode=mathml)
, also wie eine Funktion dritten Gerades, die von links unten nach rechts oben geht, da
![{\displaystyle t}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=e358efa489f58062f10dd7316b65649e&mode=mathml)
positiv ist. Der y-Achsenabschnitt ist
![{\displaystyle 0}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da&mode=mathml)
, da das absolute Glied im Funktionsterm von
![{\displaystyle f_t}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=bae155438877126b42cbddee193c048a&mode=mathml)
nicht auftaucht und daher Null ist.
d) ⭐
mit
Überlege dir zunächst, welches Vorzeichen
![{\displaystyle a_n}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=825b3fd5bafbc46b9a560ea9f16b21dd&mode=mathml)
hat, wenn
![{\displaystyle t}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=e358efa489f58062f10dd7316b65649e&mode=mathml)
negativ ist.
![{\displaystyle f_t}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=bae155438877126b42cbddee193c048a&mode=mathml)
verhält sich im Unendlichen wie
![{\displaystyle g_t(x)=-tx^3}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=4f0047fdf6d2fe739c8bb33793fdbc96&mode=mathml)
. Da
![{\displaystyle n=3}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=f4b339682e05755eb7408448ef87e1ca&mode=mathml)
eine ungerade Zahl ist und
![{\displaystyle a_n=-t>0}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=12368ec9cba8c050182163979211fb66&mode=mathml)
, da
![{\displaystyle t<0}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=ff7fa304ecf57b573120bafee2b1cb58&mode=mathml)
ist, geht
![{\displaystyle f_t(x)\rightarrow-\infty}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=715bb20902e087297fffca6bd0eb09df&mode=mathml)
für
![{\displaystyle x\rightarrow -\infty}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=176d51311f2222f2b14382ac6606632c&mode=mathml)
und
![{\displaystyle f_t(x)\rightarrow\infty}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=588d0a10762bee341af51624e251e52d&mode=mathml)
für
![{\displaystyle x\rightarrow \infty}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=be8004936cefab400798858bce1d2b54&mode=mathml)
. Der Graph von
![{\displaystyle f_t}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=bae155438877126b42cbddee193c048a&mode=mathml)
verläuft also von links unten nach rechts oben.
![{\displaystyle f_t}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=bae155438877126b42cbddee193c048a&mode=mathml)
verhält sich nahe Null wie
![{\displaystyle h(x)=2x^2-\frac{4}{7}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=829f304f570b89550796f2752520e62e&mode=mathml)
, also wie eine nach oben geöffnete Parabel mit y-Achsenabschnitt
![{\displaystyle -\frac{4}{7}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=d62350a558d8e2c6845637164f743c7f&mode=mathml)
.