Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Steckbriefaufgaben

Konzept

Ziele:

• Die SuS stellen lineare Gleichungssysteme in Matrix-Vektor-Schreibweise dar,
• Die SuS beschreibenden Gauß-Algorithmus als Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme,
• Die SuS wenden den Gauß-Algorithmus ohne digitale Werkzeuge auf Gleichungssysteme mit maximal drei Unbekannten an, die mit geringem Rechenaufwand lösbar sind,
• Die SuS interpretieren die Lösungsmenge von linearen Gleichungssystemen,
• Die SuS wissen, was lineare, quadratische und ganzrationale Funktionen sind.
• Die SuS können diese Typen von Funktionen anhand ihres Funktionsgraphen erkennen und unterscheiden.
• Die SuS kennen Achsen- und Punktsymmetrie bezüglich der Eigenschaften von Funktionsterm und Funktionsgraph.
• Die SuS können Funktionsgraphen anhand von ablesbaren Eigenschaften beschreiben.
• Die SuS können Funktionsgraphen anhand von Eigenschaften rekonstruieren.
• Die SuS können Funktionsgraphen anhand des Funktionsterms konstruieren.
• Die SuS können Informationen zu Funktionseigenschaften in einen Text mit Realbezug erkennen und diese herausstellen.

Voraussetzungen oder weitere Ziele:

• Die SuS kennen die Bedeutung der Ableitung bezüglich der Grundvorstellungen (besonders der lokalen Änderungsrate und der Tangentensteigung).

Vorgehen bzw. Aufbau im Lernpfad:

• Eigenschaften von Funktionen werden in ausklappbaren Bereich wiederholt. Das soll relativ kompakt geschehen und durch Visualisierungen wie Terme und Graphen gestützt sein.
• Das Vorgehen der Informationserschließung bis zur Konstruktion von Term und Graph aus diesen oder dem je anderen wird anhand einer Anwendungsaufgabe schrittweise vorgestellt.
• Anschließend sind Anwendungsaufgaben zur eigenen Bearbeitung angefügt.
• Der Lernpfad endet mit einer Checkliste -> ggfs. interaktiv, falls eine sinnvolle Möglichkeit zu Umsetzung machbar ist.

• Verfahren zum Lösen der LGS in 2 Blöcke aufteilen und passende Anwendungsaufgaben jeweils darunter anfügen.
• Aufgaben ohne Anwendungsbezug und Erklärung der Verfahren ein- und ausklappbar machen, sodass die Seite übersichtlicher und weniger blockartig wird.

Allgemeine Hinweise

Lernpfad: Steckbriefaufgaben

In diesem Lernpfadkapitel kannst du ... Lernziele

• In Aufgaben, die gelb gefärbt sind, kannst du Gelerntes wiederholen und vertiefen.

• Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.

• Und Aufgaben mit grüner Hinterlegung sind Knobelaufgaben.

- Inhaltsverzeichnis -

- Einführung / Wiederholung: Eigenschaften von Funktionen -

- kleine Anwendungen und Applets zu Eigenschaften -

- Beispiel Steckbriefaufgabe, die geführt gelöst wird -

- LGS Gaußverfahren -

- Steckbrief-Anwendungsaufgabe zum Gaußverfahren -

- LGS Einsetzungsverfahren -

- Steckbrief-Anwendungsaufgabe zum Einsetzungsverfahren -

- Was haben wir gelernt / Checkliste -

- Wie geht's weiter? -

Einführung

Auf dieser Seite lernst Du Steckbriefaufgaben kennen. In Steckbriefaufgaben geht es darum, aus den Eigenschaften einer Funktion deren Funktionsterm und deren Funktionsgraphen herzuleiten. Dazu ist das Lösen von Gleichungssystemen mit mehr als einer Variablen notwendig, was Du auf dieser Seite lernen wirst.

Wie empfehlen Dir, Dich bereits mit den Eigenschaften von Funktionen und der lokalen Änderungsrate beschäftigt zu haben, wenn Du mit dieser Seite beginnst.

Eigenschaften von Ganzrationalen Funktionen

In diesem Abschnitt werden wir kurz die Eigenschaften von Ganzrationalen Funktionen wiederholen. Solltest Du das Kapitel Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung noch nicht bearbeitet haben, empfehlen wir Dir, Dich zuerst damit vertraut zu machen. Wenn Du Dich fit fühlst beim Thema Funktionseigenschaften, kannst Du die Wiederholung überspringen und Dein Wissen im Quiz im unteren Bereich dieses Abschnitts testen.

Definition: Ganzrationale Funktionen

Eine Ganzrationale Funktion nennt man auch Polynomfunktion oder kurz Polynom.

Beispiele sind:

$f(x)=3x^4-2x^2+7$

$f(x)=-10x^3-9x^2+x$

Ganzrationale Funktionen sind Summen von Potenzfunktionen. Die Zahlen mit denen einzelne Potenzfunktionen multipliziert werden, nennt man Koeffizienten. Den Wert des größten Exponenten nennt man den Grad der Funktion.

Die Koeffizienten des ersten Beispiels sind $3$, $-2$ und $7$. Der Grad ist $4$, sodass man sagt, die es handelt sich um eine Funktion $4.$ Grades.

Schnittpunkte

Scheidet eine Funktion $f(x)$ die ‚‘‘y-Achse‘‘‘, so liegt ein Punkt $P_y(0|y_s)$, dessen x-Wert gleich $0$ ist, auf dem Funktionsgraphen.

Für den Funktionsterm gilt entsprechend $f(0)=y_s$

$f(x)=2x^3+3x+4 \Rightarrow f(0)=20^3+30+4=4 \Rightarrow P_y(0|4)$

Die $y$-Koordinate von $P_y$ ist immer gleich dem Koeffizienten, der nicht mit $x$ multipliziert wird. Sie lässt sich also immer aus der Funktionsgleichung ablesen.

…

Monotonie

…

Symmetrie

… --Achsensymmetrie

--Punktsymmetrie

Extrema und Wendestellen

… -Extrema

-Wendepunkte

Funktionsgraph zeichnen

…

Fuktionsgleichung aufstellen

…

Einführung

Auf dieser Seite lernst Du, wie Du Gleichungssysteme mit mehr als einer Variablen lösen kannst. Falls Du dir noch unsicher bist, wie man eine Gleichung mit nur einer Variable löst, versuche folgendes Beispiel zu lösen. Falls Du das aber noch kannst, dann überspringe das Beispiel gerne.

Beispiel

Löse folgende Gleichung: $6x-5=37$

Bringe zuerst die Variable alleine auf eine Seite und Teile dann durch die Anzahl der Variable.

$x=7$

Das Einsetzungsverfahren

Das Einsetzungsverfahren

Das Einsetzungsverfahren verwendest du, um ein Gleichungssystem mit zwei Variablen zu lösen. Dabei versuchst du zuerst eine Variable allein auf eine Seite zu bringen und diese Gleichung dann in die zweite Gleichung einzusetzen.

Schau dir folgendes Gleichungssystem an:

$\begin{array}{rlll} &I\quad& &3x& + &5y& &=& &58&\\ &II\quad& &x& + &2& &=& &y& \\ \end{array}$

Die Gleichung $II$ ist bereits nach der Variable $y$ aufgelöst. Diese fügen wir nun statt $y$ in die die Gleichung $I$ ein. Das sieht folgendermaßen aus:

$3x + 5 \cdot (x + 2) = 58$

1. Wir vereinfachen

$3x + 5x + 10 = 58$

2. Und stellen nach $x$ um

$8x = 48$

3. Dann teilen wir durch die Anzahl der Variable, hier 8 und es ergibt sich

$x = 6$

4. Das können wir nun in eine der beiden Gleichungen einsetzen und nach $y$ umstellen. Gleichung $II$ eignet sich dafür natürlich am besten. Es gilt:

$\begin{array}{rlll} &II\quad&&& x + 2 &=& y &\mid x = 6 \, \textrm{einsetzen} \\ &&&\Rightarrow& 6 + 2 &=& y \\ &&&\Rightarrow& y &=& 8 \\ \end{array}$

Merke

Du verwendest dieses Verfahren bei Gleichungssystemen mit 2 Variablen. Dabei stellst du die eine Gleichung nach einer Variable um und setzt diese dann in die andere Gleichung ein. Nun kannst du vorgehen wie bei einer Gleichung mit nur einer Variable.

Aufgaben zum Einsetzungsverfahren

Gleichungssysteme mit dem Einsetzungsverfahren lösen.

Die Schwierigkeit der Aufgaben steigt von oben nach unten.

a)

$\begin{array}{rlll} &I\quad& &7x& + &3y& &=& &50&\\ &II\quad& && &18y& &=& &6& \\ \end{array}$

$x=7$,$y=1/3$

b)

$\begin{array}{rlll} &I\quad& &3x& + &6y& &=& &6&\\ &II\quad& &-2x& + &12y& &=& &0& \\ \end{array}$

Eliminiere die $y$-Variable in der unteren Zeile.

$x=3/2$,$y=1/4$

Quadratische Funktionen im Sachzusammenhang

Aufgabe: Elternsprechtag

Jedes halbe Jahr veranstaltet eine Schule einen Elternsprechtag von 12 Uhr bis 18 Uhr. Den Eltern stehen auf dem Lehrerparkplatz aber nur eine begrenzte Anzahl an Parkplätzen zur Verfügung, sodass die Schulleitung rechtzeitig entscheiden muss, ob noch weitere Parkplätze angemietet werden müssen. Sie geht davon aus, dass der erste Parkplatz erst nach Beginn des Elternsprechtages belegt wird und spätestens um 18 Uhr das letzte Auto den Parkplatz verlassen hat. Diesen Elternsprechtag stehen den Eltern 50 Parkplätze zur Verfügung. Eine Zählung um 13 Uhr ergibt, dass bereits die Hälfte der zur Verfügung stehenden Parkplätze belegt ist.

a)

Die Anzahl belegter Parkplätze lässt sich in Abhängigkeit zur Uhrzeit (mit $t$ in Stunden, wobei $t = 0$ 12 Uhr repräsentiert) durch eine quadratische Funktion der Form $f(t) = at^2 + bt + c$ beschreiben. Löse zunächst unteren Lückentext und stelle dann mit dessen Hilfe die Gleichung von $f$ auf. Indem du die Box "Funktionsgleichung überprüfen" öffnest, kannst du dein Ergebnis selbstständig überprüfen.

$f(t) = -5t^2 + 30t$

$\begin{array}{rlll} f(t) &=& at^2 + bt + c \\ \end{array}$



$\begin{array}{rlll} &&f(0) &=& 0 \\ &\Leftrightarrow& a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c &=& 0 \\ &\Leftrightarrow& c &=& 0 \\ \end{array}$



$\Rightarrow f(t) = at^2 + bt$



$\begin{array}{rlll} &&f(1) &=& 25 \\ &\Leftrightarrow& a \cdot 1^2 + b \cdot 1 &=& 25 \\ &\Leftrightarrow& a + b &=& 25 \\ \end{array}$



$\begin{array}{rlll} &&f(6) &=& 0 \\ &\Leftrightarrow& a \cdot 6^2 + b \cdot 6 &=& 0 \\ &\Leftrightarrow& 36a + 6b &=& 0 \\ \end{array}$





Insgesamt erhalten wir also folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{rlll} &I\quad& a + b &=& 25 \\ &II\quad& 36a + 6b &=& 0 \\ \end{array}$

Dieses Gleichungssystem lösen wir mit dem Einsetzungsverfahren:

Als erstes stellen wir Gleichung $I$ nach $a$ um und erhalten

$\begin{array}{rlll} &I\quad& a = 25 - b \\ \end{array}$

Setzen wir diese (umgeformte) Gleichung $I$ in Gleichung $II$ ein, erhalten wir

$\begin{array}{rlll} &II\quad&&& 36a + 6b &=& 0 &\mid a = 25 - b \, \textrm{einsetzen} \\ &&&\Rightarrow& 36 \cdot (25 - b) + 6b &=& 0 &\mid \textrm{Ausmultiplizieren} \\ &&&\Rightarrow& 900 - 36b + 6b &=& 0 \\ &&&\Rightarrow& 900 - 30b &=& 0 &\mid + 30b \\ &&&\Rightarrow& 30b &=& 900 &\mid : 30 \\ &&&\Rightarrow& b &=& 30 \\ \end{array}$

Setzen wir $b = 30$ in die (umgeformte) Gleichung $I$ ein, erhalten wir

$\begin{array}{rlll} &I&&& a &=& 25 - b &\mid b = 30 \, \textrm{einsetzen} \\ &&&\Rightarrow& a &=& 25 - 30 \\ &&&\Rightarrow& a &=& -5 \\ \end{array}$

und damit insgesamt

$f(t) = -5t^2 + 30t$

b)

Entscheide, ob die 50 Parkplätze für die gesamte Dauer des Elternsprechtages ausreichend sind oder zusätzliche Parkplätze angemietet werden müssen.

Damit die Parkplätze ausreichen, dürfen maximal 50 Parkplätze zu einer bestimmten Uhrzeit belegt sein. Hat die Funktion einen Hochpunkt mit einem Funktionswert kleiner gleich 50, so ist sie nirgendwo größer als dort.

$\begin{array}{rlll} &\textrm{notwendige} \, \textrm{Bedingung:}& f'(t) &=& 0 \\ &\textrm{hinreichende} \, \textrm{Bedingung:}& f''(t) &<& 0 \\ \end{array}$

Der Graph der Funktion $f$ hat den Hochpunkt $(3 | 45)$. Die maximale Anzahl belegter Parkplätze ist also um 15 Uhr nachzuweisen. Zu der Zeit sind 45 Parkplätze belegt, sodass die vorhandenen 50 Parkplätze ausreichen.

$\begin{array}{rlll} f(t) &=& -5t^2 + 30t \\ f'(t) &=& -10t + 30 \\ f''(t) &=& -10 \\ \end{array}$

$\begin{array}{rlll} \textrm{Notwendige Bedingung:} && f'(t) &=& 0 \\ &\Leftrightarrow& -10t + 30 &=& 0 &\mid + 10t\\ &\Leftrightarrow& 10t &=& 30 &\mid : 10 \\ &\Leftrightarrow& t &=& 3 \\ \end{array}$



$\begin{array}{rlll} \textrm{Hinreichende Bedingung:} &&f'(3) &=& 0 &&\textrm{und} \\ &&f''(3) &=& -10 &<& 0 \end{array}$

$f(3)=-5 \cdot 3^2 + 30 \cdot 3 = 45$

c)

Skizziere nun den Graphen von $f$ anhand der Informationen auf einem Blatt. Beachte hierbei die geeignete Beschriftung der Koordinatenachsen. Für welchen Zeitraum ist dieser Graph als mathematische Modellierung der Parkplatzsituation geeignet?

Da die Funktionswerte von $f$ für $t < 0$ und $t > 6$ negativ sind, ist der Graph nur für $0 \leq t \leq 6$ als mathematische Modellierung der Parkplatzsituation geeignet.

Das Gauß-Verfahren

Das Gauß-Verfahren

Das Gauß-Verfahren verwendest du bei Gleichungssystemen mit 2 oder mehr Variablen. Dabei versuchst du die Gleichungen so zu vereinfachen, das eine obere Dreiecksmatix entsteht.

Schaue dir folgende Gleichungen an:

$\begin{array}{rlll} &I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\ &II\quad& &2x& + &1y& + &7z& &=& &15& \\ &III\quad& &1x& + &2y& + &3z& &=& &5& \\ \end{array}$

In Matrix-Vektor-Schreibweise sieht das so aus:

$\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 2 & 1 & 7 & 15 \\ 1 & 2 & 3 & 5\end{pmatrix}$

1. Um die $x$-Variable in Gleichung $II$ zu eliminieren rechnen wir $II + (-2) \cdot III$:

$\begin{array}{rlll} &I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\ &II\quad& && - &3y& + &1z& &=& &5& \\ &III\quad& &1x& + &2y& + &3z& &=& &5& \\ \end{array}$

In Matrix-Vektor-Schreibweise:

$\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 1 & 2 & 3 & 5\end{pmatrix}$

2. Um die $x$-Variable in Gleichung $III$ zu eliminieren rechnen wir $III \cdot (-3) + I$:

$\begin{array}{rlll} &I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\ &II\quad& && - &3y& + &1z& &=& &5& \\ &III\quad& && - &1y& - &5z& &=& &-9& \\ \end{array}$

In Matrix-Vektor-Schreibweise:

$\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 0 & -1 & -5 & -9\end{pmatrix}$

3. Nun soll auch die $y$-Variable in Gleichung $III$ eliminiert werden. Dazu rechnen wir $III \cdot (-3) + II$

Unsere Gleichungen sehen nun folgendermaßen aus:

$\begin{array}{rlll} &I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\ &II\quad& && - &3y& + &1z& &=& &5& \\ &III\quad& && && + &16z& &=& &32& \\ \end{array}$

In Matrix-Vektor-Schreibweise:

$\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 0 & 0 & 16 & 32\end{pmatrix}$

Wir können Gleichung $III$ nun nach $z$ auflösen. Dann setzen wir den $z$-Wert in Gleichung $II$ ein und lösen nach $y$ auf. Zuletzt setzten wir jeweils den berechneten $y$- und $z$-Wert in Gleichung $I$ ein und lösen nach $x$ auf. Wir erhalten so unsere dritte Variable.

Es folgt also:

$z=2$, $y=-1$, $x=1$

Merke

Du verwendest dieses Verfahren bei Gleichungssystemen mit 2 oder mehr Variablen. Dabei stellst du die Gleichungen so um, das in einer Gleichung nur eine Variable, in der zweiten Gleichung zwei Variablen und in der dritten Gleichung alle drei Variablen vorkommen. Das bezeichnet man auch als obere Dreiecksmatrix. Nun kannst du mit der ersten Gleichung so vorgehen wie bei einer Gleichung mit nur einer Variable und die Lösung dann in die zweite Gleichung einsetzen. Die Lösung dieser Gleichung setzt du dann in die letzte Gleichung ein. Bei vier Gleichungen mit vier Variablen gehst du analog vor.

Aufgaben zum Gauß-Verfahren

Gleichungssysteme lösen.

Die Schwierigkeit der Aufgaben steigt von oben nach unten.

a)

$\begin{array}{rlll} &I\quad& &1x& + &12y& + &6z& &=& &-2&\\ &II\quad& &-2x& + &7y& + &18z& &=& &24,5& \\ &III\quad& &4x& + &2y& + &24z& &=& &-31& \\ \end{array}$

Schreibe die Gleichungen in die Matrix-Vektor-Schreibweise um.

Eliminiere zuerst die $x$-Variable in der zweiten Zeile.

Deine Matrix sollte in folgende Form umgeschrieben werden. $\begin{pmatrix} a & b & c & d \\ 0 & e & f & g \\ 0 & 0 & h & i \end{pmatrix}$.

$x=-9$,$y=7$, $z=1/6$

b)*

$\begin{array}{rlll} &I\quad& &3x& + &4y& - &5z& + &6v& &=& &-7,5&\\ &II\quad& &6x& + &5y& - &6z& + &5v& &=& &-7,5& \\ &III\quad& &9x& - &4y& + &2z& + &3v& &=& &69& \\ &IV\quad& && &2y& - &3z& + &1v& &=& &-14,5& \end{array}$

Schreibe die Gleichungen in die Matrix-Vektor-Schreibweise um.

Eliminiere zuerst den $x$-Wert in Gleichung $II$.

Die Matrix sollte in eine obere rechte Dreiecksmatrix umgeschrieben werden.

$x=3,5$,$y=-7$, $z=1$, $v=2,5$

Kubische Funktionen im Sachzusammenhang

Aufgabe: Virusinfektion

Im Januar befällt ein neuartiges Virus Deutschland. Mittlerweile ist es Oktober und du suchst im Internet nach Informationen über die Infektionszahlen. Dort triffst du auf folgende Informationen:

• Im Dezember des Vorjahres befinden sich noch keine infizierten Personen in Deutschland
• Im April leben 2.000.000 infizierte Personen in Deutschland
• Im August leben 4.000.000 infizierte Personen in Deutschland
• Durch entsprechende Maßnahmen ist die Zahl infizierter Personen ab August rückläufig

a)

Die Anzahl infizierter Personen lässt sich durch eine kubische Funktion der Form $f(t) = at^3 + bt^2 + ct + d$ beschreiben. Stelle die Gleichung von $f$ auf. Löse zunächst unteren Lückentext und stelle dann mit dessen Hilfe die Gleichung von $f$ auf. Indem du die Box "Funktionsgleichung überprüfen" öffnest, kannst du dein Ergebnis selbstständig überprüfen.

$f(t) = -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 = \frac{1}{64} (-t^3 + 12t^2)$

$\begin{array}{rlll} f(t) &=& at^3 + bt^2 + ct + d \\ f'(t) &=& 3at^2 + 2bt + c \\ \end{array}$



$\begin{array}{rlll} &&f(0) &=& 0 \\ &\Leftrightarrow& a \cdot 0^3 + b \cdot 0^2 + c \cdot 0 + d &=& 0 \\ &\Leftrightarrow& d &=& 0 \\ \end{array}$



$\Rightarrow f(t) = at^3 + bt^2 + ct$



$\begin{array}{rlll} &&f(4) &=& 2 \\ &\Leftrightarrow& a \cdot 4^3 + b \cdot 4^2 + c \cdot 4 &=& 2 \\ &\Leftrightarrow& 64a + 16b + 4c &=& 2 \\ \end{array}$



$\begin{array}{rlll} &&f(8) &=& 4 \\ &\Leftrightarrow& a \cdot 8^3 + b \cdot 8^2 + c \cdot 8 &=& 4 \\ &\Leftrightarrow& 512a + 64b + 8c &=& 4 \\ \end{array}$



$\begin{array}{rlll} &&f'(8) &=& 0 \\ &\Leftrightarrow& 3a \cdot 8^2 + 2b \cdot 8 + c &=& 0 \\ &\Leftrightarrow& 192a + 16b + c &=& 0 \\ \end{array}$





Insgesamt erhalten wir also folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{rlll} &I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\ &II\quad& &512a& + &64b& + &8c& &=& &4& \\ &III\quad& &192a& + &16b& + &1c& &=& &0& \\ \end{array}$

Dieses Gleichungssystem lösen wir mit dem Gauß-Verfahren:

$II - 8 \cdot I$

$\begin{array}{rlll} &I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\ &II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\ &III\quad& &192a& + &16b& + &1c& &=& &0& \\ \end{array}$



$III - 3 \cdot I$

$\begin{array}{rlll} &I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\ &II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\ &III\quad& && - &32b& - &11c& &=& &-6& \\ \end{array}$



$III - \frac{1}{2} \cdot II$

$\begin{array}{rlll} &I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\ &II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\ &III\quad& && && &21c& &=& &0& \\ \end{array}$



Gleichung $III$ liefert uns nun

$\begin{array}{rlll} &III\quad&&& 21c &=& 0 &\mid : 21 \\ &&&\Rightarrow& c &=& 0 \\ \end{array}$

Setzen wir $c = 0$ in Gleichung $II$ ein, erhalten wir

$\begin{array}{rlll} &II\quad&&& -64b + 24c &=& -12 &\mid c = 0 \, \textrm{einsetzen} \\ &&&\Rightarrow& -64b + 24 \cdot 0 &=& -12 \\ &&&\Rightarrow& -64b &=& -12 &\mid : (-64) \\ &&&\Rightarrow& b &=& \frac{3}{16} \\ \end{array}$

Setzen wir $c = 0$ und $b = \frac{3}{16}$ in Gleichung $I$ ein, erhalten wir

$\begin{array}{rlll} &I\quad&&& 64a + 16b + 4c &=& 2 &\mid c = 0 \, \textrm{und} \, b = \frac{3}{16} \, \textrm{einsetzen}\\ &&&\Rightarrow& 64a + 16 \cdot \frac{3}{16} + 4 \cdot 0 &=& 2 \\ &&&\Rightarrow& 64a + 3 &=& 2 &\mid -3 \\ &&&\Rightarrow& 64a &=& -1 &\mid : 64 \\ &&&\Rightarrow& a &=& -\frac{1}{64} \\ \end{array}$



und damit insgesamt

$f(t) = -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 = \frac{1}{64} (-t^3 + 12t^2)$

b)

Forscher gehen nun (im Oktober) davon aus, dass noch im selben Jahr alle jemals infizierten Personen in Deutschland geheilt sind und entsprechend keine Fälle mehr in Deutschland auftreten. Prüfe diese Vorhersage anhand der Informationen.

Zu den Zeitpunkten, zu denen keine infizierten Personen in Deutschland leben, hat der Graph seine Nullstellen.

Gleichungen, die nur Summanden mit der Variable $t$ enthalten, lassen sich durch Faktorisieren lösen .

$f$ hat Nullstellen bei $t_{1} = 0$ und $t_{2} = 12$. Im Dezember treten also keine infizierten Fälle mehr in Deutschland auf, sodass alle jemals infizierten Personen in Deutschland noch im selben Jahr geheilt sind. Die Vorhersage ist demnach richtig.

$\begin{array}{rlll} &&f(t) &=& 0 \\ &\Leftrightarrow& \frac{1}{64} (-t^3 + 12t^2) &=& 0 &\mid :\frac{1}{64} \\ &\Leftrightarrow& -t^3 + 12t^2 &=& 0 &\mid \textrm{Faktorisieren} \\ &\Leftrightarrow& t^2 (-t + 12) &=& 0 \\ &\Rightarrow& t^2 = 0 & \textrm{und}& && -t + 12 &=& 0 \\ &\Leftrightarrow& t_{1} = 0 & \textrm{und}& && t_{2} &=& 12 \\ \end{array}$

c)

Forscher behaupten weiterhin, dass die milden Temperaturen im Frühling dafür sorgen, dass sich der temperaturempfindliche Virus optimal ausbreiten kann und deshalb die stärkste Zunahme infizierter Personen im Frühling nachzuweisen ist. Prüfe diese Behauptung anhand der Informationen.

Der Wendepunkt ist der Punkt der stärksten Zunahme (oder stärksten Abnahme) des Funktionsgraphen, der an dieser Stelle sein Krümmungsverhalten ändert.

$\begin{array}{rlll} &\textrm{notwendige} \, \textrm{Bedingung:}& f''(t) &=& 0 \\ &\textrm{hinreichende} \, \textrm{Bedingung:}& f'''(t) &\neq& 0 \\ \end{array}$

Der Graph der Funktion $f$ hat einen Wendepunkt bei $t = 4$. Die stärkste Zunahme infizierter Personen ist also im April (bzw. im Frühling) nachzuweisen. Die Behauptung ist demnach richtig.

$\begin{array}{rlll} f(t) &=& -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 \\ f'(t) &=& -\frac{3}{64} t^2 + \frac{3}{8} t \\ f''(t) &=& -\frac{3}{32} t + \frac{3}{8} \\ f'''(t) &=& -\frac{3}{32} \\ \end{array}$

$\begin{array}{rlll} \textrm{Notwendige} \, \textrm{Bedingung:} && f''(t) &=& 0 \\ &\Leftrightarrow& -\frac{3}{32} t + \frac{3}{8} &=& 0 &\mid +\frac{3}{32} t\\ &\Leftrightarrow& \frac{3}{32} t &=& \frac{3}{8} &\mid :\frac{3}{32} \\ &\Leftrightarrow& t &=& 4 \\ \end{array}$

$\begin{array}{rlll} \textrm{Hinreichende} \, \textrm{Bedingung:} &&f''(4) &=& 0 &&\textrm{und} \\ &&f'''(4) &=& -\frac{3}{32} &\neq& 0 \end{array}$

d)

Skizziere nun den Graphen von $f$ anhand der Informationen auf einem Blatt. Beachte hierbei die geeignete Beschriftung der Koordinatenachsen. Für welchen Zeitraum ist dieser Graph als mathematische Modellierung der Virusinfektion geeignet?

Da die Funktionswerte von $f$ für $t > 12$ negativ sind, ist der Graph nur für $0 \leq t \leq 12$ als mathematische Modellierung der Virusinfektion geeignet. Inwiefern der Graph für das vorherige Jahr geeignet ist, lässt sich anhand der Informationen nicht eindeutig feststellen. Der Graph zeigt jedoch, dass zu einem bestimmten Zeitpunkt vor dem beobachteten Jahr unendlich viele infizierte Personen in Deutschland leben, was offensichtlich nicht möglich ist.

Alles klar?

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