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| * c) Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur halb gefüllt ist? | | * c) Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur halb gefüllt ist? |
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Version vom 23. April 2020, 19:24 Uhr
Info
In diesem Kapitel kannst du die Idee und die Anwendung des Integrals wiederholen und durch gezielte Aufgaben üben und verbessern. Die Grundlage hierfür ist, dass du die Eigenschaften von Funktionen erkennst und untersuchen sowie ableiten kannst.
Du sollst hier für dich verinnerlichen, was überhaupt hinter dem Begriff des Integrals steckt und kannst darüber hinaus Grundlagen für die Anwendung mit Integralen wiederholen aber auch vertiefen.
Zum Einstieg findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels Änderungsrate und Änderungseffekt erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral bei denen es besonders auf den Zusammenhang von Differential- und Integralrechnung ankommt. Die Aufgaben werden in drei unterschiedliche Schwierigkeitsstufen eingeteilt so dass du jederzeit die Möglichkeit hast auf deinem Leistungsstand zu arbeiten.
Die Unterscheidung erfolgt in Einführungsaufgaben, Grundlagenaufgaben und Knobelaufgaben. Zusätzlich findest du als Hilfestellung zu jeder Aufgabe Tipps. Wir empfehlen dir dennoch die Aufgaben so weit wie möglich selbstständig zu erarbeiten.
Herleitung des Integrals
Rechenregeln und Stammfunktionen bilden
Einführungsaufgaben
Aufgabe
Der Boden eines 2km langen Kanals hat die Form einer Parabel (siehe Abbildung). Dabei entspricht eine Längeneinheit 1m in der Wirklichkeit.
Querschnitt des komplett gefüllten Kanals
- a) Berechne den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanals [in m^2].
- b) Wie viel Wasser befindet sich im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist?
- c) Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur halb gefüllt ist?
Die einfachste Lösung ist es
60*60*24=86.400
Grundlagenaufgaben
Ein Technik-Unternehmen hat ein neues Smartphone auf den Markt gebracht. Nach 9 Monaten will das Unternehmen prüfen, wie lukrativ das neue Handy in den ersten 9 Monaten war. Der monatliche Gewinn, der durch das Smartphone eingespielt wurde, kann durch die folgende Funktion dargestellt werden:
Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€).
Gewinn, der durch das neue Smartphone erzielt wird
- a) Berechne den Ertrag, den das Unternehmen in den ersten 2 Monaten durch das Smartphone einspielt hat.
- b) Berechne den Ertrag nach den ersten 7 Monaten.
- c) Berechne den Ertrag nach den kompletten 9 Monaten.
- d) In welchem Zeitraum erbringt das Smartphone ausschließlich Gewinn für das Unternehmen? Wie viel wird in dem Zeitraum eingenommen?
- e) Interpretiere die Ergebnisse aus den Aufgaben a), b), c) und überlege dir mögliche Begründungen für den erzielten Betrag. Sollte das Smartphone weiterhin produziert werden?
Es ist also die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse für die jeweiligen Zeitabschnitte zu bestimmen. Beachte dabei, dass ein Integral auch negativ sein kann! Was würde es in diesem Fall bedeuten, wenn das Integral für einen bestimmten Abschnitt negativ ist?
Hier solltest du zunächst die Nullstellen der Funktion berechnen (beachte dabei, dass du die richtigen wählst, evtl. gibt es mehrere Nullstellen). Die x-Koordinaten der entsprechenden Nullstellen benötigst du als Grenzen für das zu berechnende Integral.
Hier sollst du dir Gedanken machen, ob einerseits deine Ergebnisse aus den vorherigen Aufgaben Sinn ergeben (solltest du natürlich nach jeder Aufgabe machen), und anschließend deine eigenen Begründungen der Ergebnisse festhalten. Zum Bespiel, könnte der anfängliche Verlust mit höheren Produktionskosten als Verkaufseinnahmen begründet werden (warum? plausible Begründung).
Zur Überlegung, ob es lukrativ ist, das Smartphone weiterhin zu produzieren, solltest du dir den Gewinn bzw. Verlust der gesamten 9 Monate anschauen und natürlich den Verlauf der Funktion, die die Einnahmen wiederspiegelt.
- zu a)
- zu b)
- zu c)
- zu d)
- zu e) Das Smartphone sollte nicht weiter produziert werden, da durch die gegebene Funktion absehbar ist, dass es schon nach ca. 8 Monaten erneut Verluste für das Unternehmen einspielt.
Knobelaufgaben
Integral: Rekonstruieren von Größen
Beispiel
Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur ist die momentane Durchflussrate f der Leitung für das Intervall [0;9] dargestellt.
Es stellt sich die Frage wie aus der gegebenen Durchflussrate das Gesamtwasservolumen bestimmt werden kann? Dass bedeutet, wie viel Liter Wasser befinden sich nach 9 min im Wassertank?
Es befinden sich nach 9 min 2 Liter im Wassertank.
Merke
Ist der Graph einer momentanen Änderungsrate aus gradlinigen Teilstücken zusammengesetzt, so kann man die Gesamtänderung der Größe (Wirkung) rekonstruieren, indem man den orientierten Flächeninhalt zwischen den Graphen der momentanen Änderungsrate und der x-Achse bestimmt. Den orientierten Flächeninhalt nennt man auch das bestimmte Integral.
Aufgabe 1
Du erkennst, dass der orientierte Flächeninhalt nicht mit dem Wert des Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse übereinstimmt. Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten.
Aufgabe 2
Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten.
Aufgabe 3
Die folgenden Graphen zeigen die Geschwindigkeit verschiedener Körper. Ermittel jeweils die zurückgelegte Strecke in m nach 9 s. Du benötigst ein Zettel und ein Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse zu notieren.
a)
Lösung
Lösungsweg
b)
Lösung
Lösungsweg
c)
Lösung
Lösungsweg
Beachte
Betrachte folgendes Applet. Lasse dir mithilfe von diesem folgende Funktionen abbilden.
- f(x)=1
- f(x)=x
- f(x)=x^2
- f(x)=x^3 + 2x^2 + 2x - 1
Was fällt dir auf? Wo besteht der Zusammenhang zwischen der Funktion und seiner Stammfunktion? Wo sind charakteristische Punkte?
Merke
Eine Funktion F heißt Stammfunktion zu einer Funktion f auf einem Intervall I, wenn für alle x in I gilt:
F'(x) = f(x).
Sind F und G Stammfunktionen von f auf einem Intervall I, dann gibt es eine Konstante c, sodass für alle x in I gilt:
F(x) = G(x)+c
Aufgabe 4
Bearbeite die folgenden Aufgabe. Du benötigst einen Zettel und einen Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse festzuhalten.
a)
b)
Aufgabe 5
Zeichne eine beliebige Stammfunktion zu folgenden Funktionen auf dem Intervall I=[-5;5]. Zeichne zunächst die Funktion und dann die Stammfunktion auf einen Zettel. Beschreibe dein Vorgehen für charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.).
a)
b)
c)
Satz: Bestimmung von Stammfunktionen
Zur Funktion f mit
ist F mit
Satz: Stammfunktionen bestimmen (Buch S. 68)
Beispiel: Stammfunktion bestimmen
Aufgabe:
Aufgabe:
Bestimme eine Stammfunktion folgender Funktionen:
2 Textaufgaben: