Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Verhalten im Unendlichen und nahe Null: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Box| Beispiel 2| | {{Box| Beispiel 2| | ||
<math>f(x)=x^5+4x^2-7</math> verhält sich im Unendlichen wie <math>g(x)=x^5</math>. Für <math>x\rightarrow -\infty</math> geht <math>f(x)\rightarrow -\infty</math> und für <math>x\rightarrow \infty</math> geht <math>f(x)\rightarrow\infty</math>, da <math>n=5</math> eine ungerade Zahl ist und <math>a_n=1>0</math> . Nahe Null verhält sich <math>f</math> wie <math>h(x)=4x^2-7</math>, also wie eine um den Faktor 4 gestreckte, nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt ( | <math>f(x)=x^5+4x^2-7</math> verhält sich im Unendlichen wie <math>g(x)=x^5</math>. Für <math>x\rightarrow -\infty</math> geht <math>f(x)\rightarrow -\infty</math> und für <math>x\rightarrow \infty</math> geht <math>f(x)\rightarrow\infty</math>, da <math>n=5</math> eine ungerade Zahl ist und <math>a_n=1>0</math> . Nahe Null verhält sich <math>f</math> wie <math>h(x)=4x^2-7</math>, also wie eine um den Faktor 4 gestreckte, nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt bei <math>(0,-7)</math>. Ihr y-Achsenabschnitt liegt daher bei <math>-7</math>. | ||
| Beispiel}} | | Beispiel}} | ||
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2=Beschreibe in deinem Heft das Verhalten der nachfolgenden Funktionen und Funktionenscharen im Unendlichen '''und''' nahe Null. Gehe dazu vor wie in den Merkboxen oben. | 2=Beschreibe in deinem Heft das Verhalten der nachfolgenden Funktionen und Funktionenscharen im Unendlichen '''und''' nahe Null. Gehe dazu vor wie in den Merkboxen oben. | ||
'''a)''' <math>f(x)=x^2-\frac{4}{3}x^2-3x+9</math> | '''a)''' <math>f(x)=7x^5-2x^2</math> | ||
{{Lösung versteckt|1=<math>f</math> verhält sich im Unendlichen wie <math>g(x)=7x^5</math>. Da <math>n=5</math> eine ungerade Zahl ist und <math>a_n=7>0</math>, geht <math>f(x)\rightarrow-\infty</math> für <math>x\rightarrow -\infty</math> und <math>f(x)\rightarrow\infty</math> für <math>x\rightarrow\infty</math>. Der Graph von <math>f</math> verläuft also von links unten nach rechts oben. | |||
|2=Lösung: Verhalten im Unendlichen|3=Lösung verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=<math>f</math> verhält sich nahe Null wie <math>h(x)=-2x^2</math>, also wie eine nach unten geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt im Ursprung, die um den Faktor zwei gestreckt ist. | |||
|2=Lösung: Verhalten nahe Null|3=Lösung verbergen}} | |||
'''b)''' <math>f(x)=x^2-\frac{4}{3}x^2-3x+9</math> | |||
{{Lösung versteckt|1=Beachte, dass du manchmal den Funktionsterm erst zusammenfassen musst.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}} | {{Lösung versteckt|1=Beachte, dass du manchmal den Funktionsterm erst zusammenfassen musst.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Zusammengefasst ist <math>f(x)=-\frac{1}{3}x^2-3x+9</math>. <math>f</math> verhält sich daher im Unendlichen wie <math>g(x)=-\frac{1}{3}x^2</math>. Da <math>n=2</math> eine gerade Zahl ist und <math>a_n=-\frac{1}{3}<0</math>, geht <math>f(x)\rightarrow-\infty</math> für <math>x\rightarrow \pm\infty</math>. Der Graph von <math>f</math> verläuft also von links unten nach rechts unten. | {{Lösung versteckt|1=Zusammengefasst ist <math>f(x)=-\frac{1}{3}x^2-3x+9</math>. <math>f</math> verhält sich daher im Unendlichen wie <math>g(x)=-\frac{1}{3}x^2</math>. Da <math>n=2</math> eine gerade Zahl ist und <math>a_n=-\frac{1}{3}<0</math>, geht <math>f(x)\rightarrow-\infty</math> für <math>x\rightarrow \pm\infty</math>. Der Graph von <math>f</math> verläuft also von links unten nach rechts unten. | ||
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|2=Lösung: Verhalten nahe Null|3=Lösung verbergen}} | |2=Lösung: Verhalten nahe Null|3=Lösung verbergen}} | ||
''' | '''c)*''' <math>f_a(x)=-7x^5+ax^3</math> mit <math>a>0</math> | ||
{{Lösung versteckt|1=Gehe bei Funktionenscharen genau so vor wie bei normalen Funktionen.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}} | {{Lösung versteckt|1=Gehe bei Funktionenscharen genau so vor wie bei normalen Funktionen.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=<math>f_a</math> verhält sich im Unendlichen wie <math>g(x)=-7x^5</math>. Da <math>n=5</math> eine ungerade Zahl ist und <math>a_n=-7<0</math>, geht <math>f(x)\rightarrow\infty</math> für <math>x\rightarrow -\infty</math> und <math>f(x)\rightarrow-\infty</math> für <math>x\rightarrow \infty</math>. Der Graph von <math>f</math> verläuft also von links oben nach rechts unten. | {{Lösung versteckt|1=<math>f_a</math> verhält sich im Unendlichen wie <math>g(x)=-7x^5</math>. Da <math>n=5</math> eine ungerade Zahl ist und <math>a_n=-7<0</math>, geht <math>f(x)\rightarrow\infty</math> für <math>x\rightarrow -\infty</math> und <math>f(x)\rightarrow-\infty</math> für <math>x\rightarrow \infty</math>. Der Graph von <math>f</math> verläuft also von links oben nach rechts unten. | ||
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|2=Lösung: Verhalten nahe Null|3=Lösung verbergen}} | |2=Lösung: Verhalten nahe Null|3=Lösung verbergen}} | ||
''' | '''d)*''' <math>f_a(x)=-ax^3+2x^2-\frac{4}{7}</math> mit <math>a<0</math> | ||
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir zunächst, welches Vorzeichen <math>a_n</math> hat, wenn <math>a</math> negativ ist. |2=Tipp|3=Tipp verbergen}} | {{Lösung versteckt|1=Überlege dir zunächst, welches Vorzeichen <math>a_n</math> hat, wenn <math>a</math> negativ ist. |2=Tipp|3=Tipp verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=<math>f_a</math> verhält sich im Unendlichen wie <math>g_a(x)=-ax^3</math>. Da <math>n=3</math> eine ungerade Zahl ist und <math>a_n=-a>0</math>, da <math>a<0</math> ist, geht <math>f(x)\rightarrow-\infty</math> für <math>x\rightarrow -\infty</math> und <math>f(x)\rightarrow\infty</math> für <math>x\rightarrow \infty</math>. Der Graph von <math>f</math> verläuft also von links unten nach rechts oben. | {{Lösung versteckt|1=<math>f_a</math> verhält sich im Unendlichen wie <math>g_a(x)=-ax^3</math>. Da <math>n=3</math> eine ungerade Zahl ist und <math>a_n=-a>0</math>, da <math>a<0</math> ist, geht <math>f(x)\rightarrow-\infty</math> für <math>x\rightarrow -\infty</math> und <math>f(x)\rightarrow\infty</math> für <math>x\rightarrow \infty</math>. Der Graph von <math>f</math> verläuft also von links unten nach rechts oben. |