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===Verhalten im Unendlichen und nahe Null=== | ===Verhalten im Unendlichen und nahe Null=== | ||
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Das '''Verhalten einer Funktion f im Unendlichen''' beschreibt, wie sich der Funktionswert f(x) verhält, wenn x gegen <math>\pm\infty</math> geht, also für sehr große Werte von x. Bei ganzrationalen Funktionen der Form <math>f(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1 x+a_0</math> kann man das Verhalten im Unendlichen untersuchen, indem man sich den Summanden des Funktionsterms mit dem größten Exponenten von x anschaut. Betrachte also <math>g(x)=a_n x^n</math>. Im Unendlichen verhalten sich f und g gleich, du musst also nur das Verhalten im Unendlichen von g untersuchen. Es gibt vier Fälle, die du dabei unterscheiden musst. | |||
#n ist eine gerade Zahl und <math>a_n</math> ist positiv. Dann verläuft f "von links oben nach rechts oben", das heißt <math>f(x)\rightarrow \infty</math> für <math>x\rightarrow\pm\infty</math>. | #n ist eine gerade Zahl und <math>a_n</math> ist positiv. Dann verläuft f "von links oben nach rechts oben", das heißt <math>f(x)\rightarrow \infty</math> für <math>x\rightarrow\pm\infty</math>. | ||
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'''Ein Beispiel:''' <math>f(x)=5x^2-3x+4</math> verhält sich im Unendlichen wie <math>g(x)=5x^2</math>. Für <math>x\rightarrow -\infty</math> geht daher <math>f(x)\rightarrow\infty</math> und für <math>x\rightarrow \infty</math> geht <math>f(x)\rightarrow\infty</math>, da 5>0 und 2 eine gerade Zahl ist. Nahe Null verhält sich f wie <math>h(x)=-3x+4</math>. Wenn man sich ein kleines Intervall um x=0 anschaut, sieht der Graph von f dort lokal also aus wie eine Gerade mit der Steigung -3 und dem y-Achsenabschnitt 4. Der y-Achsenabschnitt von f ist daher auch 4. | '''Ein Beispiel:''' <math>f(x)=5x^2-3x+4</math> verhält sich im Unendlichen wie <math>g(x)=5x^2</math>. Für <math>x\rightarrow -\infty</math> geht daher <math>f(x)\rightarrow\infty</math> und für <math>x\rightarrow \infty</math> geht <math>f(x)\rightarrow\infty</math>, da 5>0 und 2 eine gerade Zahl ist. Nahe Null verhält sich f wie <math>h(x)=-3x+4</math>. Wenn man sich ein kleines Intervall um x=0 anschaut, sieht der Graph von f dort lokal also aus wie eine Gerade mit der Steigung -3 und dem y-Achsenabschnitt 4. Der y-Achsenabschnitt von f ist daher auch 4. | ||
'''Ein weiteres Beispiel:''' <math>f(x)=x^5+4x^2-7</math> verhält sich im Unendlichen wie <math>g(x)=x^5</math>. Für <math>x\rightarrow -\infty</math> geht daher <math>f(x)\rightarrow -\infty</math> und für <math>x\rightarrow \infty</math> geht <math>f(x)\rightarrow\infty</math>, da 1>0 und 5 eine ungerade Zahl ist. Nahe Null verhält sich f wie <math>h(x)=4x^2-7</math>, also wie eine um den Faktor 4 gestreckte, nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt (und y-Achsenabschnitt) bei (0 | '''Ein weiteres Beispiel:''' <math>f(x)=x^5+4x^2-7</math> verhält sich im Unendlichen wie <math>g(x)=x^5</math>. Für <math>x\rightarrow -\infty</math> geht daher <math>f(x)\rightarrow -\infty</math> und für <math>x\rightarrow \infty</math> geht <math>f(x)\rightarrow\infty</math>, da 1>0 und 5 eine ungerade Zahl ist. Nahe Null verhält sich f wie <math>h(x)=4x^2-7</math>, also wie eine um den Faktor 4 gestreckte, nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt (und y-Achsenabschnitt) bei <math>(0,-7)</math>. | ||
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Version vom 9. April 2020, 14:13 Uhr
- Seminar-Seite: Digitale Werkzeuge in der Schule
- Lernpfad: Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis
- Lernpfadkapitel: Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung
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