Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in allgemeinen Dreiecken: Unterschied zwischen den Versionen
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Flächeninhaltsformel:<br> | Flächeninhaltsformel:<br> | ||
A = <math>\tfrac{ | A = <math>\tfrac{c\cdot h_c}{2}</math> | setze für h<sub>c</sub> = b·sinα ein<br> | ||
= <math>\tfrac{ | = <math>\tfrac{c\cdot b\cdot sin\alpha}{2}</math><br> | ||
= <math>\tfrac{1}{2}</math>b·c·sinα<br> | = <math>\tfrac{1}{2}</math>b·c·sinα<br> | ||
Ebenso kannst du die Flächeninhaltsformeln für die anderen Seiten als Grundseiten herleiten.|2=Herleitung der Formel|3=Verbergen}} | Ebenso kannst du die Flächeninhaltsformeln für die anderen Seiten als Grundseiten herleiten.|2=Herleitung der Formel|3=Verbergen}} | ||
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===3.6 Erweiterung: Sinussatz=== | ===3.6 Erweiterung: Sinussatz=== | ||
In allgemeinen Dreiecken gilt der Sinussatz. Kannst du ihn herleiten? Das nachfolgende Applet zeigt dies Schritt für Schritt:<br> | |||
Originallink https://www.geogebra.org/m/ynfadptm<br> | |||
<ggb_applet id="ynfadptm" width="990" height="787" border="888888" /><br> | |||
<small>Applet von Buß-Haskert</small> | |||
[[Datei:Dreieck mit hc.png|rechts|rahmenlos]]<br> | [[Datei:Dreieck mit hc.png|rechts|rahmenlos]]<br> | ||
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{{Box|1=Sinussatz (für allgemeine Dreiecke)|2=In jedem Dreieck verhalten sich die Seiten wie die Sinuswerte ihrer gegenüberliegenden Winkel:<br> | {{Box|1=Sinussatz (für allgemeine Dreiecke)|2=[[Datei:Allgemeines Dreieck (farbig).png|rechts|rahmenlos]]In jedem Dreieck verhalten sich die Seiten wie die Sinuswerte ihrer gegenüberliegenden Winkel:<br> | ||
<math>\tfrac{a}{sin\alpha} = \tfrac{b}{sin\beta} = \tfrac{c}{sin\gamma}</math>|3=Merksatz}} | <big><math>\tfrac{a}{sin\alpha} = \tfrac{b}{sin\beta} = \tfrac{c}{sin\gamma}</math></big>|3=Merksatz}} | ||
{{#ev:youtube|O2ZY6htEY4k|800|center}} | {{#ev:youtube|O2ZY6htEY4k|800|center}} | ||
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{{Box|Übung 7|Löse mithilfe des Sinussatzes im Buch | {{Box|Übung 7|Löse mithilfe des Sinussatzes im Buch | ||
* S. 114, Nr. 25|Üben}} | * S. 114, Nr. 25|Üben}} | ||
===3.7 Erweiterung: Kosinussatz=== | |||
In allgemeinen Dreiecken gilt der Kosinussatz. Kannst du ihn herleiten? Das nachfolgende Applet zeigt dies Schritt für Schritt:<br> | |||
Originallink https://www.geogebra.org/m/zyafbyhq <br> | |||
<ggb_applet id="zyafbyhq" width="1026" height="787" border="888888" /> | |||
{{Box|1=Kosinussatz (für allgemeine Dreiecke)|2=[[Datei:Allgemeines Dreieck (farbig).png|rechts|rahmenlos]]In jedem Dreieck ABC gilt:<br> | |||
* a² = b² + c² - 2bc·cosα | |||
* b² = a² + c² - 2ac·cosβ | |||
* c² = a² + b² - 2ab·cosγ|3=Merksatz}} | |||
{{Box|1=Kosinussatz: Übungsaufgabe|2=[[Datei:Kosinussatz Aufgabe.png|rechts|rahmenlos]]In einem Dreieck sind die Längen der Seite a = 4cm und b = 6cm und der Winkel γ = 58° gegeben. Berechne die Länge der Seite c.|3=Üben}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Größen in den Kosinussatz ein:<br> | |||
c² = a² + b² - 2ab·cosγ<br> | |||
c² = 4² + 6² - 2·4·6·cos(58°)<br> | |||
c² ≈ 26,56 |:<math>\surd</math><br> | |||
c ≈ 5,15(cm)|2=Lösung anzeigen|3=Verbergen}} | |||
<br> | |||
{{Fortsetzung|weiter=4 Berechnungen in beliebigen Figuren|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in beliebigen Figuren}} | {{Fortsetzung|weiter=4 Berechnungen in beliebigen Figuren|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in beliebigen Figuren}} |
Aktuelle Version vom 3. April 2024, 10:26 Uhr
1) Sinus, Kosinus, Tangens
2) Strecken- und Winkelberechnungen in rechtwinkligen Dreiecken
3) Berechnungen in allgemeinen Dreiecken
4) Berechnungen in beliebigen Figuren
3 Strecken- und Winkelberechnungen in allgemeinen Dreiecken
Die Seitenverhältnisse Sinus, Kosinus und Tanges gelten nur für rechtwinklige Dreiecke.
Um in allgemeinen Dreiecken Strecken und Winkel berechnen zu können, zerlege das Dreieck mithilfe einer Höhe in zwei rechtwinklige Dreiecke.
3.1 Beispiel 1: Eine Seite und zwei Winkel sind gegeben
1. Möglichkeit: Zerlege das Dreieck durch die Höhe ha ein zwei rechtwinklige Dreiecke.
① Bestimme γ:
Winkelsummensatz
γ = 180° - α - β
= 180° - 42° - 62°
= 76°
② Berechne ha:
sin β = | ·c
c · sin β = ha
8,5 · sin(42°) = ha
5,7 (cm) ≈ ha
③ Berechne b:
sin γ = | ·b
b · sin γ = ha | : sin γ
b =
b =
b ≈ 5,9 (cm)
Berechne a:
④ Berechne a1:
cos β = | ·c
c · cos β = a1
8,5 · cos (42°) = a1
6,3 (cm) a1
⑤ Berechne a2:
cos γ = | ·b
b · cos γ = a2
5,9 · cos (76°) = a2
1,4 (cm) a2
⑥ Berechne a:
a = a1 + a2
= 6,3 + 1,4
= 7,7 (cm)
2. Möglichkeit: Zerlege das Dreieck durch die Höhe hb ein zwei rechtwinklige Dreiecke.
① Bestimme γ:
Winkelsummensatz
γ = 180° - α - β
= 180° - 42° - 62°
= 76°
② Berechne hb:
sin α = | ·c
c · sin α = hb
8,5 · sin(62°) = hb
7,5 (cm) hb
③ Berechne a:
sin γ = | ·a
a · sin γ = hb | : sin γ
a =
a =
a 7,7 (cm)
Berechne b:
④ Berechne b1:
cos α = | ·c
c · cos α = b1
8,5 · cos (62°) = b1
4,0 (cm) b1
⑤ Berechne b2:
cos γ = | ·a
a · cos γ = b2
7,7 · cos (76°) = b2
1,9 (cm) b2
⑥ Berechne b:
b = b1 + b2
= 4,0 + 1,9
= 5,9 (cm)
3.2 Beispiel 2: Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind gegeben
1. Möglichkeit: Zerlege das Dreieck durch die Höhe ha ein zwei rechtwinklige Dreiecke.
① Bestimme ha:
sin γ = |·b
b · sin γ = ha
5,8 · sin(65°) = ha
5,3 (cm) ha
② Bestimme a2
cos γ = |·b
b · cos γ = a2
5,8 · cos(65°) = a2
2,5 (cm) a2
③ Bestimme a1
a – a2= a1
8,2 - 2,5 = a1
5,7 (cm) = a1
④ Bestimme β
tan β =
tan β = |tan-1
β 42,4°
⑤ Bestimme c
sin β = |·c
c · sin β = ha |: sin β
c =
c =
c 7,7 (cm)
ODER:
c² = |
c=
c =
c 7,7 (cm)
⑥ Bestimme den letzten Winkel α
Winkelsumme
α + β + γ = 180° |- β; -γ
α = 180° - β - γ
α = 180° - 42,4° - 65°
α = 72,6°
2. Möglichkeit: Zerlege das Dreieck durch die Höhe hb ein zwei rechtwinklige Dreiecke.
① Bestimme hb:
sin γ = |·a
a · sin γ = hb
8,2 · sin(65°) = hb
7,4 (cm) hb
② Bestimme b2
cos γ = |·a
a · cos γ = b2
8,2 · cos(65°) = b2
3,5 (cm) b2
③ Bestimme b1
b – b2= b1
5,8 - 3,5 = b1
2,3 (cm) = b1
④ Bestimme α
tan α =
tan α = |tan-1
α 72,7°
⑤ Bestimme c
sin α = |·c
c · sin α = hb |: sin α
c =
c =
c 7,8 (cm)
ODER:
c² = |
c=
c =
c 7,7 (cm)
⑥ Bestimme den letzten Winkel β
Winkelsumme
α + β + γ = 180° |- α; -γ
β = 180° - α - γ
β= 180° - 72,7° - 65°
Du merkst, es kommt zu Rundungsungenauigkeiten.
3.3 Beispiel 3: Zwei Seiten und ein anliegender Winkel sind gegeben
Erkläre, warum es hier nur eine Möglichkeit gibt, das Dreieck zu zerlegen: die Höhe hc .
① Bestimme hc:
sin α = |·b
b · sin α = hc
10,5 · sin(37°) = hc
6,3 (cm) hc
② Bestimme c1
cos α = |·b
b · cos α = c1
10,5 · cos(37°) = c1
8,4 (cm) c1
③ Bestimme c2
= a² |-
= a² - |
c2=
c2 =
c2 3,1 (cm)
④ Bestimme c:
c = c1 + c2
= 8,4 + 3,1
⑤ Bestimme β
sin β =
sin β = |sin-1
β 64,2°
Winkelsumme
α + β + γ = 180° |- α; -β
γ = 180° - β - α
γ= 180° - 37° - 64,2°
γ = 78,8°
Das Video fasst das Vorgehen noch einmal zusammen:
3.4 Anwendungsaufgaben
Skizziere das zugehörige Dreieck und zerlege es in zwei rechtwinklige Teildreiecke. Bestimme dann den fehlenden Winkel, die Länge der entsprechenden Höhe und die Längen der Seiten a und b.
oder
Skizziere das zugehörige Dreieck und zerlege es in zwei rechtwinklige Teildreiecke. Bestimme dann schrittweise die fehlenden Größen.
oder
Erstelle eine Skizze zur Aufgabe und beschrifte sie vollständig.
Zerlege das Dreieck durch eine Höhe in zwei rechtwinklige Teildreiecke.
oder
Die Dachfläche besteht aus 4 Dreiecksflächen. Bestimme also die Fläche eines Dreiecks und multipliziere diesen Flächeninhalt mit 4. Die Skizze hilft dir bei der Bestimmung der nötigen Größen. (ADreieck= )
Betrachte das linke Dreieck ABL. Zerlege es in rechtwinklige Teildreiecke (ohne die gegebene Seite c zu teilen). Die Skizze hilft dir für deinen Lösungsplan.
Bestimme ha, δ1, a1, a2, a.
Betrachte zur Lösung das linke Dreieck BCL. Gegeben ist nun auch aus Teil a) die Länge der Strecke a = 3,63 sm. Berechne den Nebenwinkel β2 von β und den Winkel δ2 mihilfe der Winkelsumme. Zerlege auch dieses Dreieck wieder in zwei rechtwinklige Teildreiecke. Die Skizze hilft dir, die nötigen Rechenschritte zu planen.
Zwischentest 4: Anwendung in einem beliebigen Dreieck
3.5 Erweiterung: Formel für den Flächeninhalt beliebiger Dreiecke (mit Sinus)
Herleitung:
linkes Teildreieck:
sinα = |·b
b·sinα = hc
Flächeninhaltsformel:
A = | setze für hc = b·sinα ein
=
= b·c·sinα
3.6 Erweiterung: Sinussatz
In allgemeinen Dreiecken gilt der Sinussatz. Kannst du ihn herleiten? Das nachfolgende Applet zeigt dies Schritt für Schritt:
Originallink https://www.geogebra.org/m/ynfadptm
Applet von Buß-Haskert
linkes Teildreieck:
sinα = |·b
b·sinα = hc
rechtes Teildreieck:
sinβ = |·b
a·sinβ = hc
Also gilt:
a·sinβ = b·sinα | : sinα; : sinβ
Ebenso kannst du dies für ha und hb herleiten und erhältst den Sinussatz:
3.7 Erweiterung: Kosinussatz
In allgemeinen Dreiecken gilt der Kosinussatz. Kannst du ihn herleiten? Das nachfolgende Applet zeigt dies Schritt für Schritt:
Originallink https://www.geogebra.org/m/zyafbyhq
Setze die gegebenen Größen in den Kosinussatz ein:
c² = a² + b² - 2ab·cosγ
c² = 4² + 6² - 2·4·6·cos(58°)
c² ≈ 26,56 |: