Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Quadratische Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Box|Info|In diesem Lernpfad geht es darum, dein Wissen im Bereich '''quadratischer Funktionen''' zu vertiefen.<br /><br />
{{Box|Info|In diesem Lernpfad geht es darum, dein Wissen im Bereich '''quadratischer Funktionen''' zu vertiefen.<br /><br />
Dazu werden dir Informationen und Aufgaben zur '''Scheitelpunktform''', der '''Umwandlung zwischen Scheitelpunktform und Normalform''' sowie zur Berechnung von '''Nullstellen''' bereitgestellt. Zum Schluss erwartet dich noch eine '''Anwendungsaufgabe''', in welcher du die zuvor gelernten Inhalte testen kannst.<br /><br />
Dazu werden dir Informationen und Aufgaben zur '''Scheitelpunktform''', der '''Umwandlung zwischen Scheitelpunktform und Normalform''' sowie zur Berechnung von '''Nullstellen''' bereitgestellt. Zusätzlich erwarten dich zwei '''Anwendungsaufgaben''', in welchen du die zuvor gelernten Inhalte testen kannst.<br /><br />
In diesem Lernpfad findest du Aufgaben mit einem *. Bei diesen handelt es sich um Forderaufgaben. Aufgaben mit ** sind anspruchsvolle Knobelaufgaben. Hat eine Aufgabe kein *, dann ist die Aufgabe zur Wiederholung und Vertiefung der Inhalte geeignet.
In diesem Lernpfad findest du Aufgaben mit einem *. Bei diesen handelt es sich um Forderaufgaben. Aufgaben mit ** sind anspruchsvolle Knobelaufgaben. Hat eine Aufgabe kein *, dann ist die Aufgabe zur Wiederholung und Vertiefung der Inhalte geeignet.
|Kurzinfo
|Kurzinfo
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<div class="lueckentext-quiz">
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Wir schauen uns die Funktion <math>g(x)=a*(x-d)^2+e</math> an. Funktionen dieser Art heißen '''qua''' '''dra''' '''tisch''' '''e''' Funktionen. Der Graph einer solchen Funktion ist eine '''Pa''' '''ra''' '''bel'''. Der höchste bzw. der tiefste Punkt eines solchen Funktionsgraphen heißt '''Schei''' '''tel''' '''punkt'''. Liegt die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform vor, wie es hier der Fall ist, dann kann der Scheitelpunkt S direkt aus der Funktionsgleichung abgelesen werden. Der Parameter d ist die '''x'''-Koordinate und der Parameter e ist die '''y'''-Koordinate des Scheitelpunkts. <math>\Rightarrow </math> S(d,e). <br>
Wir schauen uns die Funktion <math>g(x)=a\cdot(x-d)^2+e</math> an. Funktionen dieser Art heißen '''qua''' '''dra''' '''tisch''' '''e''' Funktionen. Der Graph einer solchen Funktion ist eine '''Pa''' '''ra''' '''bel'''. Der höchste bzw. der tiefste Punkt eines solchen Funktionsgraphen heißt '''Schei''' '''tel''' '''punkt'''. Liegt die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform vor, wie es hier der Fall ist, dann kann der Scheitelpunkt S direkt aus der Funktionsgleichung abgelesen werden. Der Parameter d ist die '''x'''-Koordinate und der Parameter e ist die '''y'''-Koordinate des Scheitelpunkts. <math>\Rightarrow </math> S(d,e). <br>
Ist der Parameter a kleiner als Null (a<0), dann ist der Graph der Funktion g nach '''un''' '''ten''' geöffnet. <br>
Ist der Parameter a kleiner als Null (a<0), dann ist der Graph der Funktion g nach '''un''' '''ten''' geöffnet. <br>
Ist a größer als Null (a>0), dann ist der Graph von g nach '''o''' '''ben''' geöffnet. <br>
Ist a größer als Null (a>0), dann ist der Graph von g nach '''o''' '''ben''' geöffnet. <br>
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{{Box| 3. Welcher Graph hat mit welcher Funktionsgleichung ein Match?|
{{Box| 3. Welcher Graph hat mit welcher Funktionsgleichung ein Match?|
Ordne die folgenden Funktionsgleichungen den zugehörigen Graphen zu.
Ordne die folgenden Funktionsgleichungen den zugehörigen Graphen zu.
Hinweis: Du kannst das Bild der Funktionsgraphen vergrößern, indem du mit der Maus auf diese klickst.
Hinweis: Du kannst die Bilder der Funktionsgraphen vergrößern, indem du mit der Maus auf diese klickst.


{{LearningApp|app=pp0fefcp519|width=100%|height=400px}}
{{LearningApp|app=pp0fefcp519|width=100%|height=400px}}


{{Lösung versteckt| 1= a steht für die Verschiebung in X-Richtung.
{{Lösung versteckt| 1= Betrachtet man die Funktionsgleichung <math>j(x)=a\cdot (x-d)^2+e </math>, so steht d für die Verschiebung in x-Richtung und e für die Verschiebung in y-Richtung.


b für die Verschiebung in Y-Richtung.
  | 2=Tipp 1 | 3=schließen}}
 
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{{Lösung versteckt| 1= Beispiele sind:
{{Lösung versteckt| 1= Beispiele sind:
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<math>g(x)=(x+0)^2-4</math> hat ihren Scheitelpunkt bei (0, -4)
<math>g(x)=(x+0)^2-4</math> hat ihren Scheitelpunkt bei (0, -4)


  | 2=Tipp | 3=schließen}}
  | 2=Tipp 2 | 3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}
|Arbeitsmethode}}


{{Box| 4. Aus dem Graphen eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform aufstellen|
{{Box| 4. Aus dem Graphen eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform aufstellen|


Stell die zugehörigen Funktionsgleichungen in Scheitelpunktsform auf. Wähle im Anschluss die richtige Lösung aus.  
Stell die zugehörigen Funktionsgleichungen in Scheitelpunktform auf. Wähle im Anschluss die richtige Lösung aus.  


{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pk7nd3faa19}}
{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pk7nd3faa19}}
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| 2=Tipp 2 | 3=schließen}}
| 2=Tipp 2 | 3=schließen}}


{{Lösung versteckt| 1=  Für den Scheitelpunkt gilt: <math>S=(d,e)</math>. Wenn du also den Scheitelpunkt aus der Darstellung des Funktionsgraphen abliest und seine Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzt, musst du nur noch den Parameter <math>a</math> bestimmen. | 2=Tipp 3 | 3=schließen}}
{{Lösung versteckt| 1=  Für den Scheitelpunkt gilt: <math>S=(d,e)</math>. Wenn du also den Scheitelpunkt aus der Darstellung des Funktionsgraphen abliest und seine Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzt, musst du nur noch den Parameter <math>a</math> bestimmen. Achte beim Einsetzen von d in die Funktionsgleichung darauf, dass du das Vorzeichen von d "mitnimmst" und es mit dem Minus (Rechenzeichen) verrechnest.| 2=Tipp 3 | 3=schließen}}


{{Lösung versteckt| 1=Um den Parameter <math>a</math> zu bestimmen gibt es verschiedene Möglichkeiten.  
{{Lösung versteckt| 1=Um den Parameter <math>a</math> zu bestimmen gibt es verschiedene Möglichkeiten.  
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|Arbeitsmethode}}
|Arbeitsmethode}}


{{Box| 5. Anwendungsaufgabe für Zwischendurch: Flugbahn eines Steins|Jonas wirft einen Stein vom Ufer in einen See. Die Flugbahn des Steins lässt sich mit der quadratischen Funktion <math>g(x)=-\frac{1}{10}\cdot(x-1)^2+\frac{5}{2}</math> beschreiben, wobei <math>x</math> die Entfernung des Steins vom Ufer und <math>g(x)</math> die Höhe des Steins (jeweils in Meter) beschreibt.   
{{Box| 5. Anwendungsaufgabe für Zwischendurch: Flugbahn eines Steins|
 
[[Datei:Water-2045469 1920.jpg|mini]]
 
Jonas wirft einen Stein vom Ufer in einen See. Die Flugbahn des Steins lässt sich mit der quadratischen Funktion <math>g(x)=-\frac{1}{10}\cdot(x-3)^2+\frac{5}{2}</math> beschreiben, wobei <math>x</math> die Entfernung des Steins vom Ufer und <math>g(x)</math> die Höhe des Steins (jeweils in Meter) beschreibt.   


<br /><br />
<br /><br />


'''a)''' An welcher Stelle erreicht der Stein seinen höchsten Punkt?
'''a)''' Nach wie vielen Metern erreicht der Stein seinen höchsten Punkt?


'''b)''' Zeichne die Flugbahn des Steins.  
'''b)''' Zeichne die Flugbahn des Steins in dein Heft.  


'''c)*''' Wie weit fliegt der Stein?
'''c)*''' In welcher Entfernung von Jonas taucht der Stein ins Wasser ein?
 
[[Datei:Water-2045469 1920.jpg|mini]]


{{Lösung versteckt| 1=Der Stein erreicht seinen höchsten Punkt am Scheitelpunkt der Funktion. Da die Funktion in Scheitelpunktform angegeben ist, kannst du diesen direkt aus der Funktionsgleichung ablesen.| 2=Tipp zu Aufgabenteil a) | 3=schließen}}
{{Lösung versteckt| 1=Der Stein erreicht seinen höchsten Punkt am Scheitelpunkt der Funktion. Da die Funktion in Scheitelpunktform angegeben ist, kannst du diesen direkt aus der Funktionsgleichung ablesen.| 2=Tipp zu Aufgabenteil a) | 3=schließen}}


{{Lösung versteckt| 1= Zu Erinnerung: Eine quadratische Gleichung in Scheitelpunktform lässt sich wie folgt schreiben: <math>g(x)=a*(x-d)^2+e</math>. Um die Flugbahn zeichnen zu können, benötigst du die Parameter <math>a,d</math> und <math>e</math> der Funktionsgleichung.| 2=Tipp 1 zu Aufgabenteil b) | 3=schließen}}
{{Lösung versteckt| 1= Zu Erinnerung: Eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform hat die Form <math>g(x)=a\cdot(x-d)^2+e</math>. Um die Flugbahn zeichnen zu können, musst du die Parameter <math>a,d</math> und <math>e</math> der gegebenen Funktionsgleichung identifizieren.| 2=Tipp 1 zu Aufgabenteil b) | 3=schließen}}


{{Lösung versteckt| 1= Zeichne zunächst den Scheitelpunkt <math>S=(d,e)</math> ein. Beim weiteren Zeichnen des Funktionsgraphen gibt dir der Parameter <math>a</math> an, wie viele Einheiten (Meter) du nach oben oder unten "gehen" musst, wenn du eine Einheit (Meter) nach rechts oder links "gehst".|  2=Tipp 2 zu Aufgabenteil b) | 3=schließen}}
{{Lösung versteckt| 1= Zeichne zunächst den Scheitelpunkt <math>S=(d,e)</math> ein. Beim weiteren Zeichnen des Funktionsgraphen gibt dir der Parameter <math>a</math> an, wie viele Einheiten (Meter) du nach oben oder unten "gehen" musst, wenn du eine Einheit (Meter) nach rechts oder links "gehst".|  2=Tipp 2 zu Aufgabenteil b) | 3=schließen}}


{{Lösung versteckt| 1= Um diesen Aufgabenteil zu lösen, musst du die Nullstellen der Funktion bestimmen (an einer dieser Nullstellen trifft der Stein auf das Wasser). Falls du dich dabei noch unsicher fühlst, bearbeite zuerst Aufgabe 9. Dort findest Du alle notwendigen Hilfestellungen. |  2=Tipp zu Aufgabenteil c) | 3=schließen}}
{{Lösung versteckt| 1= Um diesen Aufgabenteil zu lösen, musst du die Nullstellen der Funktion bestimmen (an einer dieser Nullstellen trifft der Stein auf das Wasser). Falls du dich dabei noch unsicher fühlst, bearbeite zuerst Aufgabe 9. Dort findest Du alle notwendigen Hilfestellungen. In jedem Fall solltest du für die Rechenschritte dein Heft benutzen.  |  2=Tipp zu Aufgabenteil c) | 3=schließen}}




{{Lösung versteckt| 1= Der Scheitelpunkt der Funktion ist <math>S=(1,\frac{5}{2})</math>. Der Stein erreicht seinen höchsten Punkt also bereits nach einem Meter. | 2=Lösung zu Aufgabenteil a) | 3=schließen}}
{{Lösung versteckt| 1= Der Scheitelpunkt der Funktion ist <math>S=(3,\frac{5}{2})</math>. Der Stein erreicht seinen höchsten Punkt also nach 3 Metern. | 2=Lösung zu Aufgabenteil a) | 3=schließen}}


{{Lösung versteckt| 1= [[Datei:Steinwurf Skizze.png|700 px |zentriert]] Beachte bei deiner Zeichnung, dass die Flugbahn erst mit dem Abwurf des Steins beginnt und mit dem Auftreffen des Steins auf dem See endet. Auf der X-Achse tragen wir die Wurfweite in Meter ab, auf der Y-Achse die Höhe des Steins in Meter.  | 2=Lösung zu Aufgabenteil b)  | 3=schließen}}
{{Lösung versteckt| 1=[[Datei:Steinwurf Skizze neu.png |700 px |zentriert]] Beachte, dass die Flugbahn erst mit dem Abwurf des Steins beginnt und mit dem Auftreffen des Steins auf die Wasseroberfläche endet. Auf der X-Achse trägst du die Wurfweite in Meter ab, auf der Y-Achse die Höhe des Steins in Meter.  | 2=Lösung zu Aufgabenteil b)  | 3=schließen}}


{{Lösung versteckt| 1=  
{{Lösung versteckt| 1=  
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\begin{array}{rlll}  
\begin{array}{rlll}  
&& g(x) &&=&& 0 \\
&& g(x) &&=&& 0 \\
&\Leftrightarrow& 0 &&=&& -\frac{1}{10}\cdot(x-1)^2+\frac{5}{2} &\mid \cdot(-10)\\
&\Leftrightarrow& 0 &&=&& -\frac{1}{10}\cdot(x-3)^2+\frac{5}{2} &\mid \cdot(-10)\\
&\Leftrightarrow& 0 &&=&& (x-1)^2-25 &\mid +1 \\
&\Leftrightarrow& 0 &&=&& (x-3)^2-25 &\mid +25 \\
&\Leftrightarrow& 25 &&=&& (x-1)^2 &\mid \sqrt{} \\
&\Leftrightarrow& 25 &&=&& (x-3)^2 &\mid \sqrt{} \\
\end{array}
\end{array}
</math>
</math>
Zeile 134: Zeile 134:
<math>
<math>
\begin{array}{rlll}  
\begin{array}{rlll}  
&\Rightarrow&(x_1-1) = -5& \textrm{sowie}& (x_2-1)=5\\
&\Rightarrow&(x_1-3) = -5& \textrm{sowie}& (x_2-3)=5\\
\end{array}
\end{array}
</math>
</math>
<br /><br />  
<br /><br />  
Also folgt <math>x_1=-4</math> und <math>x_2=6</math>. Das sind die Nullstellen.
Also folgt <math>x_1=-2</math> und <math>x_2=8</math>. Damit haben wir zwei Nullstellen.
<br /><br />
<br /><br />
Da wir jedoch davon ausgehen, dass Jonas den Stein nach vorne in den See wirft, beträgt die Wurfweite 6 m.
Da wir jedoch davon ausgehen, dass Jonas den Stein nach vorne in den See wirft, beträgt die Wurfweite 8 m.


| 2=Lösung zu Aufgabenteil c) | 3=schließen}}
| 2=Lösung zu Aufgabenteil c) | 3=schließen}}
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{{Box|5. Die Umwandlungen zwischen Scheitelpunktform und Normalenform
{{Box|6. Die Umwandlungen zwischen Scheitelpunktform und Normalenform
|Fülle den Lückentext aus, indem du auf eine Lücke klickst und die richtige Antwort auswählst.
|Fülle den Lückentext aus, indem du auf eine Lücke klickst und die richtige Antwort auswählst.


{{LearningApp|app=p96dzo6ta19|width=100%|height=400px}}
{{LearningApp|app=pukjo3dgk19|width=100%|height=400px}}
|Arbeitsmethode}}
|Arbeitsmethode}}


{{Box|6. Wie ging noch einmal quadratische Ergänzung?|


Fülle den Lückentext aus, indem du auf eine Lücke klickst und die richtige Antwort auswählst.
{{Box|7. Finde die Paare*|Wandle in deinem Heft die Funktionen f und g in die Normalform um und die Funktionen h und i in die Scheitelpunktform. Ordne anschließend die gleichen Funktionen einander zu.<br>
 
{{LearningApp|app=pjwuo0wwj19|width=100%|height=400px}}
 
 
|Arbeitsmethode}}
 
{{Box|7. Finde die Paare*|Wandle in deinem Heft die Funktionen f und g in die Normalform um und die Funktionen i und j in die Scheitelpunktform. Ordne anschließend die gleichen Funktionen einander zu.<br>
Hinweis: Es bleiben am Ende drei Funktionsgleichungen übrig.
Hinweis: Es bleiben am Ende drei Funktionsgleichungen übrig.


Zeile 178: Zeile 170:




{{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir nicht mehr genau weißt, wie du von der Scheitelpunktform in die Normalform kommst oder umgekehrt, dann schau dir nochmal die Aufgaben 5 und 6 an.
{{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir nicht mehr genau weißt, wie du von der Scheitelpunktform in die Normalform kommst oder umgekehrt, dann schau dir nochmal die Aufgabe 6 an.
  | 2=Tipp | 3=schließen}}
  | 2=Tipp | 3=schließen}}


Zeile 235: Zeile 227:
{{LearningApp|app=phcwj4be519|width=100%|height=400px}}
{{LearningApp|app=phcwj4be519|width=100%|height=400px}}


{{Lösung versteckt| 1= Die zum lösen benötigten Formeln sind die binomischen Formeln.
{{Lösung versteckt| 1= Die zum Lösen benötigten Formeln sind die binomischen Formeln.
  | 2=Tipp | 3=schließen}}
  | 2=Tipp | 3=schließen}}


{{Lösung versteckt| 1= Die binomischen Formeln lauten:
{{Lösung versteckt| 1= Die binomischen Formeln lauten:


<math>(a+b)^2=a^2+2*ab+b^2</math>
<math>(a+b)^2=a^2+2 \cdot ab+b^2</math>


<math>(a-b)^2=a^2-2*ab+b^2</math>
<math>(a-b)^2=a^2-2 \cdot ab+b^2</math>


<math>(a+b)*(a-b)=a^2-b^2</math>
<math>(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2</math>


  | 2=Tipp | 3=schließen}}
  | 2=Tipp | 3=schließen}}
Zeile 266: Zeile 258:


{{Lösung versteckt| 1=Zur Erinnerung: Nullstellen sind diejenigen '''x-Werte''', die eingesetzt in die Funktion '''0''' ergeben. Setze also zunächst <math>g(x)=0</math> bzw. <math>h(x)=0</math>  
{{Lösung versteckt| 1=Zur Erinnerung: Nullstellen sind diejenigen '''x-Werte''', die eingesetzt in die Funktion '''0''' ergeben. Setze also zunächst <math>g(x)=0</math> bzw. <math>h(x)=0</math>  
<br /><br />
Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten, diese Gleichung aufzulösen: Bei einer Funktion in Scheitelpunktform hilft es in der Regel, den Term <math>(x-d)^2</math> auf einer Seite zu isolieren und dann auf beiden Seiten die Wurzel zu ziehen.   
Weitere nützliche Hilfsmittel sind '''pq-Formel''', '''quadratische Ergänzung''' und '''Mitternachtsformel'''.
<br /><br />
Überlege dir jeweils, welcher Weg für die konkrete Aufgabenstellung am sinnvollsten ist.
  | 2=Tipp 2 | 3=schließen}}
  | 2=Tipp 2 | 3=schließen}}


{{Lösung versteckt| 1=Es gibt verschiedene Wege, um quadratische Gleichungen zu lösen. Im Unterricht habt ihr sicherlich auch die '''pq-Formel''' kennengelernt. Diese ist z.B. für die Bestimmung der Nullstellen von <math>h(x)</math> sehr nützlich.   
{{Lösung versteckt| 1= Im Unterricht habt ihr sicherlich die '''pq-Formel''' kennengelernt. Diese besagt:
 
Eine Gleichung der Form <math>x^2+px+q=0</math> hat die Lösungen 
 
<math>x_{1} = -\frac{p}{2}-\sqrt{\left( \frac{p}{2}\right)^2-q}</math>  sowie  <math>x_{2} = -\frac{p}{2}+\sqrt{\left( \frac{p}{2}\right)^2-q}</math>
 
Die '''pq-Formel''' ist z.B. für die Bestimmung der Nullstellen von <math>h(x)</math> sehr nützlich.   
  | 2=Tipp 3 | 3=schließen}}
  | 2=Tipp 3 | 3=schließen}}


Zeile 328: Zeile 332:
<math>
<math>
\begin{array}{rll}
\begin{array}{rll}
j(0) &=& -0.0075 \cdot 0^2 + 1.2 \cdot + 1 \\
j(0) &=& -0.0075 \cdot 0^2 + 1.2 \cdot 0 + 1 \\
&=& 1
&=& 1
\end{array}
\end{array}
Zeile 358: Zeile 362:
|2=Tipp 2
|2=Tipp 2
|3=schließen}}
|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Falls du nicht mehr genau weißt, wie du die pq-Formel aufstellen und berechnen kannst, dann schau nochmal bei Aufgabe 9 nach. Achte darauf, dass vor dem <math>x^2</math> kein Vorfaktor stehen darf.
{{Lösung versteckt|1=Falls du nicht mehr genau weißt, wie du die pq-Formel aufstellen und berechnen kannst, dann schau nochmal in Tipp 3 von Aufgabe 9 nach. Achte darauf, dass vor dem <math>x^2</math> kein Vorfaktor stehen darf.
|2=Tipp 3
|2=Tipp 3
|3=schließen}}
|3=schließen}}

Aktuelle Version vom 28. Mai 2019, 14:23 Uhr

Info

In diesem Lernpfad geht es darum, dein Wissen im Bereich quadratischer Funktionen zu vertiefen.

Dazu werden dir Informationen und Aufgaben zur Scheitelpunktform, der Umwandlung zwischen Scheitelpunktform und Normalform sowie zur Berechnung von Nullstellen bereitgestellt. Zusätzlich erwarten dich zwei Anwendungsaufgaben, in welchen du die zuvor gelernten Inhalte testen kannst.

In diesem Lernpfad findest du Aufgaben mit einem *. Bei diesen handelt es sich um Forderaufgaben. Aufgaben mit ** sind anspruchsvolle Knobelaufgaben. Hat eine Aufgabe kein *, dann ist die Aufgabe zur Wiederholung und Vertiefung der Inhalte geeignet.

Scheitelpunktform

1. Parameter der Scheitelpunktform
Fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die passenden Silben einfügst.

Wir schauen uns die Funktion an. Funktionen dieser Art heißen Funktionen. Der Graph einer solchen Funktion ist eine . Der höchste bzw. der tiefste Punkt eines solchen Funktionsgraphen heißt . Liegt die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform vor, wie es hier der Fall ist, dann kann der Scheitelpunkt S direkt aus der Funktionsgleichung abgelesen werden. Der Parameter d ist die -Koordinate und der Parameter e ist die -Koordinate des Scheitelpunkts. S(d,e).
Ist der Parameter a kleiner als Null (a<0), dann ist der Graph der Funktion g nach geöffnet.
Ist a größer als Null (a>0), dann ist der Graph von g nach geöffnet.
Ist a größer als Eins (a>1) oder kleiner als minus Eins (a<-1), dann sieht der Graph von g aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph wird.
Liegt a zwischen minus Eins und Eins (-1<a<1), dann sieht der Graph von g aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph wird.

Ist d größer als Null (d>0), dann wird der Graph von g nach verschoben.
Ist d kleiner als Null (d<0), dann wird der Graph von g nach verschoben.

Ist e kleiner als Null (e<0), dann wird der Graph von g nach verschoben.
Ist e größer als Null (e>0), dann wird der Graph von g nach verschoben.

belquagestauchteybengeterountischstrecktxpunktlinksbreiunbenteltenScheioPatendralerrechtsraschma


2.WANTED! Welche Punkte gehören nicht zu der Funktion f?

Gegeben seien die Funktion und die Punkte und .

a) Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte A, B, C, D und E auf dem Graphen von f liegen.

b) Zeichne den Graphen der Funktion f und die Punkte A-E in dein Heft. Vergleiche anschließend die Ergebnisse aus a) mit deiner Zeichnung



3. Welcher Graph hat mit welcher Funktionsgleichung ein Match?

Ordne die folgenden Funktionsgleichungen den zugehörigen Graphen zu. Hinweis: Du kannst die Bilder der Funktionsgraphen vergrößern, indem du mit der Maus auf diese klickst.




4. Aus dem Graphen eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform aufstellen


Stell die zugehörigen Funktionsgleichungen in Scheitelpunktform auf. Wähle im Anschluss die richtige Lösung aus.




5. Anwendungsaufgabe für Zwischendurch: Flugbahn eines Steins


Water-2045469 1920.jpg

Jonas wirft einen Stein vom Ufer in einen See. Die Flugbahn des Steins lässt sich mit der quadratischen Funktion beschreiben, wobei die Entfernung des Steins vom Ufer und die Höhe des Steins (jeweils in Meter) beschreibt.



a) Nach wie vielen Metern erreicht der Stein seinen höchsten Punkt?

b) Zeichne die Flugbahn des Steins in dein Heft.

c)* In welcher Entfernung von Jonas taucht der Stein ins Wasser ein?


Umwandlung Scheitelpunktform und Normalform

Bisher hast du dich intensiv mit der Scheitelpunktform beschäftigt. In diesem Abschnitt wirst du auch mit der Normalform einer quadratischen Funktion arbeiten. Dafür benötigst du die ersten beiden Binomischen Formeln. In dem folgenden Merksatz sind diese dargestellt. Falls du bei den nachfolgenden Aufgaben Schwierigkeiten bei der Umwandlung der Binomischen Formeln hast, dann scroll bis zu diesem Merksatz hoch und schau ihn dir nochmal an.

Die ersten beiden Binomischen Formeln

1. Binomische Formel:

2. Binomische Formel:



6. Die Umwandlungen zwischen Scheitelpunktform und Normalenform

Fülle den Lückentext aus, indem du auf eine Lücke klickst und die richtige Antwort auswählst.



7. Finde die Paare*

Wandle in deinem Heft die Funktionen f und g in die Normalform um und die Funktionen h und i in die Scheitelpunktform. Ordne anschließend die gleichen Funktionen einander zu.
Hinweis: Es bleiben am Ende drei Funktionsgleichungen übrig.





8. Würdest du bei der Umwandlung zwischen der Scheitelpunktform und der Normalform auch Millionär werden?**

Wähle die Antwortmöglichkeit A,B,C oder D, welche die angefangene Gleichung zu einer korrekten quadratischen Gleichung ergänzt.



Nullstellen

9. Nullstellen berechnen


Bestimme jeweils die Nullstellen:

Da einige Rechenschritte notwendig sind, solltest du dein Heft benutzen.


Anwendungsaufgabe

10. Baseball


Batter beim Schlagen eines Balles

Baseball ist eine der beliebtesten Sportarten der Welt. Beim Wurf erreicht der Ball Geschwindigkeiten bis zu 160km/h. Wenn der Schlagmann den Ball richtig trifft, kann dieser über die Tribüne hinweg aus dem Stadion fliegen. Ein bestimmter Schlag kann durch die Funktion beschrieben werden, wobei die horizontale Entfernung zum Schlagmann und die Höhe des Balls, jeweils in Meter angibt.

a) Berechne j(0) und beschreibe, was dieser Wert im Anwendungskontext bedeutet.





b) Ein Spieler des gegnerischen Teams befindet sich 158 Meter vom Schlagmann entfernt in der Flugbahn des Balls. Wenn er hochspringt, erreichen seine Händen eine Höhe von 3,20 Metern. Berechne, ob der Spieler es schafft, den Ball aus der Luft zu fangen.

c) Berechne, wie weit der Baseball fliegt, wenn er von keinem gegnerischen Spieler aus der Luft gefangen wird.

d) Nach wieviel Metern erreicht der Baseball seine maximale Höhe? Welche Höhe erreicht er?

e)** Berechne die horizontale Entfernung zum Schlagmann, in welcher der Baseball eine Höhe von 0,5 Metern hat.