Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Quadratische Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Box|Info|In diesem Lernpfad geht es darum, dein Wissen im Bereich '''quadratischer Funktionen''' zu vertiefen.|Kurzinfo | {{Box|Info|In diesem Lernpfad geht es darum, dein Wissen im Bereich '''quadratischer Funktionen''' zu vertiefen.<br /><br /> | ||
Dazu werden dir Informationen und Aufgaben zur '''Scheitelpunktform''', der '''Umwandlung zwischen Scheitelpunktform und Normalform''' sowie zur Berechnung von '''Nullstellen''' bereitgestellt. Zusätzlich erwarten dich zwei '''Anwendungsaufgaben''', in welchen du die zuvor gelernten Inhalte testen kannst.<br /><br /> | |||
In diesem Lernpfad findest du Aufgaben mit einem *. Bei diesen handelt es sich um Forderaufgaben. Aufgaben mit ** sind anspruchsvolle Knobelaufgaben. Hat eine Aufgabe kein *, dann ist die Aufgabe zur Wiederholung und Vertiefung der Inhalte geeignet. | |||
|Kurzinfo | |||
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<div class="lueckentext-quiz"> | <div class="lueckentext-quiz"> | ||
Wir schauen uns die Funktion <math>g(x)=a | Wir schauen uns die Funktion <math>g(x)=a\cdot(x-d)^2+e</math> an. Funktionen dieser Art heißen '''qua''' '''dra''' '''tisch''' '''e''' Funktionen. Der Graph einer solchen Funktion ist eine '''Pa''' '''ra''' '''bel'''. Der höchste bzw. der tiefste Punkt eines solchen Funktionsgraphen heißt '''Schei''' '''tel''' '''punkt'''. Liegt die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform vor, wie es hier der Fall ist, dann kann der Scheitelpunkt S direkt aus der Funktionsgleichung abgelesen werden. Der Parameter d ist die '''x'''-Koordinate und der Parameter e ist die '''y'''-Koordinate des Scheitelpunkts. <math>\Rightarrow </math> S(d,e). <br> | ||
Ist der Parameter a kleiner als Null (a<0), dann ist der Graph der Funktion g nach '''un''' '''ten''' geöffnet. <br> | Ist der Parameter a kleiner als Null (a<0), dann ist der Graph der Funktion g nach '''un''' '''ten''' geöffnet. <br> | ||
Ist a größer als Null (a>0), dann ist der Graph von g nach '''o''' '''ben''' geöffnet. <br> | Ist a größer als Null (a>0), dann ist der Graph von g nach '''o''' '''ben''' geöffnet. <br> | ||
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{{Lösung versteckt| 1= Wenn deine Zeichnung so aussieht, hast du alles richtig gemacht: [[Datei:Lösung Punkt auf Graph.jpg|700 px |zentriert]] | 2=Lösung | 3=schließen}} | {{Lösung versteckt| 1= Wenn deine Zeichnung so aussieht, hast du alles richtig gemacht: [[Datei:Lösung Punkt auf Graph.jpg|700 px |zentriert]] | 2=Lösung | 3=schließen}} | ||
|Arbeitsmethode}} | |Arbeitsmethode}} | ||
{{Box| 3. Welcher Graph hat mit welcher Funktionsgleichung ein Match?| | {{Box| 3. Welcher Graph hat mit welcher Funktionsgleichung ein Match?| | ||
Ordne die folgenden Funktionsgleichungen den zugehörigen Graphen zu. | Ordne die folgenden Funktionsgleichungen den zugehörigen Graphen zu. | ||
Hinweis: Du kannst | Hinweis: Du kannst die Bilder der Funktionsgraphen vergrößern, indem du mit der Maus auf diese klickst. | ||
{{LearningApp|app=pp0fefcp519|width=100%|height=400px}} | {{LearningApp|app=pp0fefcp519|width=100%|height=400px}} | ||
{{Lösung versteckt| 1= | {{Lösung versteckt| 1= Betrachtet man die Funktionsgleichung <math>j(x)=a\cdot (x-d)^2+e </math>, so steht d für die Verschiebung in x-Richtung und e für die Verschiebung in y-Richtung. | ||
| 2=Tipp 1 | 3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt| 1= Beispiele sind: | |||
<math>f(x)=(x-3)^2+2</math> hat ihren Scheitelpunkt bei (3, 2) | |||
<math>g(x)=(x+0)^2-4</math> hat ihren Scheitelpunkt bei (0, -4) | |||
| 2=Tipp 2 | 3=schließen}} | |||
|Arbeitsmethode}} | |Arbeitsmethode}} | ||
{{Box| 4. Aus dem Graphen eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform aufstellen| | {{Box| 4. Aus dem Graphen eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform aufstellen| | ||
Stell die zugehörigen Funktionsgleichungen in | Stell die zugehörigen Funktionsgleichungen in Scheitelpunktform auf. Wähle im Anschluss die richtige Lösung aus. | ||
{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pk7nd3faa19}} | {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pk7nd3faa19}} | ||
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| 2=Tipp 2 | 3=schließen}} | | 2=Tipp 2 | 3=schließen}} | ||
{{Lösung versteckt| 1= Für den Scheitelpunkt gilt: <math>S=(d,e)</math>. Wenn du also den Scheitelpunkt aus der Darstellung des Funktionsgraphen abliest und seine Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzt, musst du nur noch den Parameter <math>a</math> bestimmen. | 2=Tipp 3 | 3=schließen}} | {{Lösung versteckt| 1= Für den Scheitelpunkt gilt: <math>S=(d,e)</math>. Wenn du also den Scheitelpunkt aus der Darstellung des Funktionsgraphen abliest und seine Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzt, musst du nur noch den Parameter <math>a</math> bestimmen. Achte beim Einsetzen von d in die Funktionsgleichung darauf, dass du das Vorzeichen von d "mitnimmst" und es mit dem Minus (Rechenzeichen) verrechnest.| 2=Tipp 3 | 3=schließen}} | ||
{{Lösung versteckt| 1=Um den Parameter <math>a</math> zu bestimmen gibt es verschiedene Möglichkeiten. | {{Lösung versteckt| 1=Um den Parameter <math>a</math> zu bestimmen gibt es verschiedene Möglichkeiten. | ||
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'''Möglichkeit 2:''' Alternativ kannst du den Parameter <math>a</math> auch direkt aus dem Graphen ablesen: Gehst du vom Scheitelpunkt aus um eine Einheit nach rechts, so entspricht <math>a</math> der Anzahl an Einheiten, die du nach oben (positives Vorzeichen) oder nach unten (negatives Vorzeichen) gehen musst, bis du wieder auf dem Graphen bist.| 2=Tipp 4 | 3=schließen}} | '''Möglichkeit 2:''' Alternativ kannst du den Parameter <math>a</math> auch direkt aus dem Graphen ablesen: Gehst du vom Scheitelpunkt aus um eine Einheit nach rechts, so entspricht <math>a</math> der Anzahl an Einheiten, die du nach oben (positives Vorzeichen) oder nach unten (negatives Vorzeichen) gehen musst, bis du wieder auf dem Graphen bist.| 2=Tipp 4 | 3=schließen}} | ||
|Arbeitsmethode}} | |||
{{Box| 5. Anwendungsaufgabe für Zwischendurch: Flugbahn eines Steins| | |||
[[Datei:Water-2045469 1920.jpg|mini]] | |||
| | Jonas wirft einen Stein vom Ufer in einen See. Die Flugbahn des Steins lässt sich mit der quadratischen Funktion <math>g(x)=-\frac{1}{10}\cdot(x-3)^2+\frac{5}{2}</math> beschreiben, wobei <math>x</math> die Entfernung des Steins vom Ufer und <math>g(x)</math> die Höhe des Steins (jeweils in Meter) beschreibt. | ||
<br /><br /> | |||
'''a)''' Nach wie vielen Metern erreicht der Stein seinen höchsten Punkt? | |||
'''b)''' Zeichne die Flugbahn des Steins in dein Heft. | |||
'''c)*''' In welcher Entfernung von Jonas taucht der Stein ins Wasser ein? | |||
{{Lösung versteckt| 1=Der Stein erreicht seinen höchsten Punkt am Scheitelpunkt der Funktion. Da die Funktion in Scheitelpunktform angegeben ist, kannst du diesen direkt aus der Funktionsgleichung ablesen.| 2=Tipp zu Aufgabenteil a) | 3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt| 1= Zu Erinnerung: Eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform hat die Form <math>g(x)=a\cdot(x-d)^2+e</math>. Um die Flugbahn zeichnen zu können, musst du die Parameter <math>a,d</math> und <math>e</math> der gegebenen Funktionsgleichung identifizieren.| 2=Tipp 1 zu Aufgabenteil b) | 3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt| 1= Zeichne zunächst den Scheitelpunkt <math>S=(d,e)</math> ein. Beim weiteren Zeichnen des Funktionsgraphen gibt dir der Parameter <math>a</math> an, wie viele Einheiten (Meter) du nach oben oder unten "gehen" musst, wenn du eine Einheit (Meter) nach rechts oder links "gehst".| 2=Tipp 2 zu Aufgabenteil b) | 3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt| 1= Um diesen Aufgabenteil zu lösen, musst du die Nullstellen der Funktion bestimmen (an einer dieser Nullstellen trifft der Stein auf das Wasser). Falls du dich dabei noch unsicher fühlst, bearbeite zuerst Aufgabe 9. Dort findest Du alle notwendigen Hilfestellungen. In jedem Fall solltest du für die Rechenschritte dein Heft benutzen. | 2=Tipp zu Aufgabenteil c) | 3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt| 1= Der Scheitelpunkt der Funktion ist <math>S=(3,\frac{5}{2})</math>. Der Stein erreicht seinen höchsten Punkt also nach 3 Metern. | 2=Lösung zu Aufgabenteil a) | 3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt| 1=[[Datei:Steinwurf Skizze neu.png |700 px |zentriert]] Beachte, dass die Flugbahn erst mit dem Abwurf des Steins beginnt und mit dem Auftreffen des Steins auf die Wasseroberfläche endet. Auf der X-Achse trägst du die Wurfweite in Meter ab, auf der Y-Achse die Höhe des Steins in Meter. | 2=Lösung zu Aufgabenteil b) | 3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt| 1= | |||
=== | Du musst zunächst die Nullstellen der Funktion <math>g(x)</math> bestimmen. An einer dieser Nullstellen trifft der Stein auf die Wasseroberfläche. | ||
{ | <br /><br /> | ||
<math> | |||
\begin{array}{rlll} | |||
&& g(x) &&=&& 0 \\ | |||
&\Leftrightarrow& 0 &&=&& -\frac{1}{10}\cdot(x-3)^2+\frac{5}{2} &\mid \cdot(-10)\\ | |||
&\Leftrightarrow& 0 &&=&& (x-3)^2-25 &\mid +25 \\ | |||
&\Leftrightarrow& 25 &&=&& (x-3)^2 &\mid \sqrt{} \\ | |||
\end{array} | |||
</math> | |||
<br /><br /> | |||
<math> | |||
\begin{array}{rlll} | |||
&\Rightarrow&(x_1-3) = -5& \textrm{sowie}& (x_2-3)=5\\ | |||
\end{array} | |||
</math> | |||
<br /><br /> | |||
Also folgt <math>x_1=-2</math> und <math>x_2=8</math>. Damit haben wir zwei Nullstellen. | |||
<br /><br /> | |||
Da wir jedoch davon ausgehen, dass Jonas den Stein nach vorne in den See wirft, beträgt die Wurfweite 8 m. | |||
| 2=Lösung zu Aufgabenteil c) | 3=schließen}} | |||
|Arbeitsmethode}} | |Arbeitsmethode}} | ||
{{Box| | ===Umwandlung Scheitelpunktform und Normalform=== | ||
Bisher hast du dich intensiv mit der Scheitelpunktform beschäftigt. In diesem Abschnitt wirst du auch mit der Normalform einer quadratischen Funktion arbeiten. Dafür benötigst du die ersten beiden '''Binomischen Formeln'''. In dem folgenden Merksatz sind diese dargestellt. Falls du bei den nachfolgenden Aufgaben Schwierigkeiten bei der Umwandlung der Binomischen Formeln hast, dann scroll bis zu diesem Merksatz hoch und schau ihn dir nochmal an.<br /><br /> | |||
{{Box|1=Die ersten beiden Binomischen Formeln|2= | |||
''1. Binomische Formel:'' | |||
<math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 </math> <br> | |||
''2. Binomische Formel:'' <math> (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 </math>|3=Merke}} | |||
{{Box|6. Die Umwandlungen zwischen Scheitelpunktform und Normalenform | |||
|Fülle den Lückentext aus, indem du auf eine Lücke klickst und die richtige Antwort auswählst. | |||
{{LearningApp|app=pukjo3dgk19|width=100%|height=400px}} | |||
|Arbeitsmethode}} | |Arbeitsmethode}} | ||
{{Box|7. Finde die Paare*|Wandle in deinem Heft die Funktionen f und g in die Normalform um und die Funktionen i | |||
{{Box|7. Finde die Paare*|Wandle in deinem Heft die Funktionen f und g in die Normalform um und die Funktionen h und i in die Scheitelpunktform. Ordne anschließend die gleichen Funktionen einander zu.<br> | |||
Hinweis: Es bleiben am Ende drei Funktionsgleichungen übrig. | Hinweis: Es bleiben am Ende drei Funktionsgleichungen übrig. | ||
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{{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir nicht mehr genau weißt, wie du von der Scheitelpunktform in die Normalform kommst oder umgekehrt, dann schau dir nochmal die | {{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir nicht mehr genau weißt, wie du von der Scheitelpunktform in die Normalform kommst oder umgekehrt, dann schau dir nochmal die Aufgabe 6 an. | ||
| 2=Tipp | 3=schließen}} | | 2=Tipp | 3=schließen}} | ||
Zeile 163: | Zeile 227: | ||
{{LearningApp|app=phcwj4be519|width=100%|height=400px}} | {{LearningApp|app=phcwj4be519|width=100%|height=400px}} | ||
{{Lösung versteckt| 1= Die zum | {{Lösung versteckt| 1= Die zum Lösen benötigten Formeln sind die binomischen Formeln. | ||
| 2=Tipp | 3=schließen}} | | 2=Tipp | 3=schließen}} | ||
{{Lösung versteckt| 1= Die binomischen Formeln lauten: | {{Lösung versteckt| 1= Die binomischen Formeln lauten: | ||
<math>(a+b) | |||
<math>(a-b) | <math>(a+b)^2=a^2+2 \cdot ab+b^2</math> | ||
<math>(a+b) | |||
<math>(a-b)^2=a^2-2 \cdot ab+b^2</math> | |||
<math>(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2</math> | |||
| 2=Tipp | 3=schließen}} | | 2=Tipp | 3=schließen}} | ||
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{{Lösung versteckt| 1=Zur Erinnerung: Nullstellen sind diejenigen '''x-Werte''', die eingesetzt in die Funktion '''0''' ergeben. Setze also zunächst <math>g(x)=0</math> bzw. <math>h(x)=0</math> | {{Lösung versteckt| 1=Zur Erinnerung: Nullstellen sind diejenigen '''x-Werte''', die eingesetzt in die Funktion '''0''' ergeben. Setze also zunächst <math>g(x)=0</math> bzw. <math>h(x)=0</math> | ||
<br /><br /> | |||
Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten, diese Gleichung aufzulösen: Bei einer Funktion in Scheitelpunktform hilft es in der Regel, den Term <math>(x-d)^2</math> auf einer Seite zu isolieren und dann auf beiden Seiten die Wurzel zu ziehen. | |||
Weitere nützliche Hilfsmittel sind '''pq-Formel''', '''quadratische Ergänzung''' und '''Mitternachtsformel'''. | |||
<br /><br /> | |||
Überlege dir jeweils, welcher Weg für die konkrete Aufgabenstellung am sinnvollsten ist. | |||
| 2=Tipp 2 | 3=schließen}} | | 2=Tipp 2 | 3=schließen}} | ||
{{Lösung versteckt| 1= | {{Lösung versteckt| 1= Im Unterricht habt ihr sicherlich die '''pq-Formel''' kennengelernt. Diese besagt: | ||
Eine Gleichung der Form <math>x^2+px+q=0</math> hat die Lösungen | |||
<math>x_{1} = -\frac{p}{2}-\sqrt{\left( \frac{p}{2}\right)^2-q}</math> sowie <math>x_{2} = -\frac{p}{2}+\sqrt{\left( \frac{p}{2}\right)^2-q}</math> | |||
Die '''pq-Formel''' ist z.B. für die Bestimmung der Nullstellen von <math>h(x)</math> sehr nützlich. | |||
| 2=Tipp 3 | 3=schließen}} | | 2=Tipp 3 | 3=schließen}} | ||
Zeile 252: | Zeile 332: | ||
<math> | <math> | ||
\begin{array}{rll} | \begin{array}{rll} | ||
j(0) &=& -0.0075 \cdot 0^2 + 1.2 \cdot + 1 \\ | j(0) &=& -0.0075 \cdot 0^2 + 1.2 \cdot 0 + 1 \\ | ||
&=& 1 | &=& 1 | ||
\end{array} | \end{array} | ||
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|2=Tipp 2 | |2=Tipp 2 | ||
|3=schließen}} | |3=schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Falls du nicht mehr genau weißt, wie du die pq-Formel aufstellen und berechnen kannst, dann schau nochmal | {{Lösung versteckt|1=Falls du nicht mehr genau weißt, wie du die pq-Formel aufstellen und berechnen kannst, dann schau nochmal in Tipp 3 von Aufgabe 9 nach. Achte darauf, dass vor dem <math>x^2</math> kein Vorfaktor stehen darf. | ||
|2=Tipp 3 | |2=Tipp 3 | ||
|3=schließen}} | |3=schließen}} |
Aktuelle Version vom 28. Mai 2019, 14:23 Uhr
Scheitelpunktform
Wir schauen uns die Funktion an. Funktionen dieser Art heißen qua dra tisch e Funktionen. Der Graph einer solchen Funktion ist eine Pa ra bel. Der höchste bzw. der tiefste Punkt eines solchen Funktionsgraphen heißt Schei tel punkt. Liegt die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform vor, wie es hier der Fall ist, dann kann der Scheitelpunkt S direkt aus der Funktionsgleichung abgelesen werden. Der Parameter d ist die x-Koordinate und der Parameter e ist die y-Koordinate des Scheitelpunkts. S(d,e).
Ist der Parameter a kleiner als Null (a<0), dann ist der Graph der Funktion g nach un ten geöffnet.
Ist a größer als Null (a>0), dann ist der Graph von g nach o ben geöffnet.
Ist a größer als Eins (a>1) oder kleiner als minus Eins (a<-1), dann sieht der Graph von g schma ler aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph ge streckt wird.
Liegt a zwischen minus Eins und Eins (-1<a<1), dann sieht der Graph von g brei ter aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph ge staucht wird.
Ist d größer als Null (d>0), dann wird der Graph von g nach rechts verschoben.
Ist d kleiner als Null (d<0), dann wird der Graph von g nach links verschoben.
Ist e kleiner als Null (e<0), dann wird der Graph von g nach un ten verschoben.
Ist e größer als Null (e>0), dann wird der Graph von g nach o ben verschoben.
Umwandlung Scheitelpunktform und Normalform
Bisher hast du dich intensiv mit der Scheitelpunktform beschäftigt. In diesem Abschnitt wirst du auch mit der Normalform einer quadratischen Funktion arbeiten. Dafür benötigst du die ersten beiden Binomischen Formeln. In dem folgenden Merksatz sind diese dargestellt. Falls du bei den nachfolgenden Aufgaben Schwierigkeiten bei der Umwandlung der Binomischen Formeln hast, dann scroll bis zu diesem Merksatz hoch und schau ihn dir nochmal an.