Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Lineare Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Box | {{Box | ||
| Info | | Info | ||
|In diesem Lernpfad kannst du dein Wissen über lineare Funktionen anwenden und erweitern und dein Verständnis vertiefen. Das Kapitel behandelt die Zusammenhänge zwischen linearen Funktionen, ihren Funktionsgleichungen, ihren Funktionsgraphen und darauf liegenden Punkten. | |In diesem Lernpfad kannst du dein Wissen über lineare Funktionen anwenden und erweitern und dein Verständnis vertiefen. Das Kapitel behandelt die Zusammenhänge zwischen linearen Funktionen, ihren Funktionsgleichungen, ihren Funktionsgraphen und darauf liegenden Punkten. In Aufgaben ohne * kannst du Gelerntes wiederholen und vertiefen. Aufgaben mit einem * sind Forderaufgaben und Aufgaben mit ** sind besonders anspruchsvolle Knobelaufgaben. Das Kapitel beginnt mit einem Quiz zur Wiederholung und endet mit zwei Anwendungsaufgaben. | ||
| Kurzinfo | | Kurzinfo | ||
}} | }} | ||
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{{LearningApp|width:100%|height:1500px|app=ptvafj8jc19}} | {{LearningApp|width:100%|height:1500px|app=ptvafj8jc19}} | ||
{{Lösung versteckt|1= Bei einer linearen Funktion hat die | {{Lösung versteckt|1= | ||
{{Lösung versteckt|1= Bei einer linearen Funktion hat die Variabel maximal den Exponenten <math>1</math>.|2= Lösungserklärung zur 1. Frage|3= Lösungserklärung zur 1. Frage}} | |||
{{Lösung versteckt|1= Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade, da der Exponent der | {{Lösung versteckt|1= Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade, da der Exponent der Variabel maximal <math>1</math> ist.|2= Lösungserklärung zur 2. Frage|3= Lösungserklärung zur 2. Frage}} | ||
{{Lösung versteckt|1= Die Funktionsvorschrift gibt immer eine bestimmte Rechnung vor, bei welcher der Wert der | {{Lösung versteckt|1= Die Funktionsvorschrift gibt immer eine bestimmte Rechnung vor, bei welcher der Wert der Variabel variiert werden kann. Wird dafür ein fester Wert eingesetzt, haben wir eine bestimmte Rechnung mit festen Zahlen, wo nur ein Ergebnis rauskommen kann. (Z.B. ist <math>4+3=7</math> und es kann nicht sein, dass auch <math>4+3=8</math> gilt.) Daher sind auch Kreise oder ähnliches als Funktionsgraphen nicht möglich.|2= Lösungserklärung zur 3. Frage|3= Lösungserklärung zur 3. Frage}} | ||
{{Lösung versteckt|1= Da der Graph einer linearen Funktion immer eine Gerade ist, steigt dieser entweder, oder er fällt, oder er ist konstant. Einen Wechsel kann es dabei nicht geben. Hat somit ein Graph einmal einen <math>y</math>-Wert, zum Beispiel <math>2</math> erreicht und steigt, so wird er den <math>y</math>-Wert <math>2</math> danach nicht mehr treffen, da er nur noch Werte größer als <math>2</math> annimmt. Um die <math>2</math> nochmal zu erreichen müsste der Graph fallen, was nicht möglich ist, da er eine Gerade ist. Wenn der Graph allerdings konstant ist, wird ein <math>y</math>-Wert durchgehend angenommen.|2= Lösungserklärung zur 4. Frage|3= Lösungserklärung zur 4. Frage}} | {{Lösung versteckt|1= Da der Graph einer linearen Funktion immer eine Gerade ist, steigt dieser entweder, oder er fällt, oder er ist konstant. Einen Wechsel kann es dabei nicht geben. Hat somit ein Graph einmal einen <math>y</math>-Wert, zum Beispiel <math>2</math> erreicht und steigt, so wird er den <math>y</math>-Wert <math>2</math> danach nicht mehr treffen, da er nur noch Werte größer als <math>2</math> annimmt. Um die <math>2</math> nochmal zu erreichen müsste der Graph fallen, was nicht möglich ist, da er eine Gerade ist. Wenn der Graph allerdings konstant ist, wird ein <math>y</math>-Wert durchgehend angenommen.|2= Lösungserklärung zur 4. Frage|3= Lösungserklärung zur 4. Frage}} | ||
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{{Lösung versteckt|1= Das Vorzeichen der Steigung gibt an ob der Graph steigt (positives Vorzeichen), oder fällt (negatives Vorzeichen). Dabei beschreibt die Steigung im Steigungsdreieck die Höhenveränderung bei einer Schrittweite von <math>1</math>.|2= Lösungserklärung zur 8. Frage|3= Lösungserklärung zur 8. Frage}} | {{Lösung versteckt|1= Das Vorzeichen der Steigung gibt an ob der Graph steigt (positives Vorzeichen), oder fällt (negatives Vorzeichen). Dabei beschreibt die Steigung im Steigungsdreieck die Höhenveränderung bei einer Schrittweite von <math>1</math>.|2= Lösungserklärung zur 8. Frage|3= Lösungserklärung zur 8. Frage}} | ||
{{Lösung versteckt|1= Zwei Funktionen schneiden sich dort wo sie gleich sind. Man sucht also den Punkt im Koordinatensystem der von beiden Funktionen getroffen wird. Den <math>x</math>-Wert dieses Punktes kann man durch Gleichsetzten der Funktionen herausfinden. Den <math>y</math>-Wert durch Einsetzten des ausgerechneten <math>x</math>-Wertes in eine der beiden Funktionsgleichungen.|2= Lösungserklärung zur 9. Frage|3= Lösungserklärung zur 9. Frage}} |Arbeitsmethode}} | {{Lösung versteckt|1= Zwei Funktionen schneiden sich dort wo sie gleich sind. Man sucht also den Punkt im Koordinatensystem der von beiden Funktionen getroffen wird. Den <math>x</math>-Wert dieses Punktes kann man durch Gleichsetzten der Funktionen herausfinden. Den <math>y</math>-Wert durch Einsetzten des ausgerechneten <math>x</math>-Wertes in eine der beiden Funktionsgleichungen.|2= Lösungserklärung zur 9. Frage|3= Lösungserklärung zur 9. Frage}} | ||
|2= Erklärung anzeigen|3= Erklärung verbergen}} |Arbeitsmethode}} | |||
{{Box| Das solltest du verinnerlichen!| | {{Box| Das solltest du verinnerlichen!| | ||
Der Graph einer linearen Funktion ist '''immer eine Gerade'''! Der Graph kann daher''' keine '''Kurven haben. | # Der Graph einer linearen Funktion ist '''immer eine Gerade'''! Der Graph kann daher''' keine '''Kurven haben. | ||
# Auch eine Funktion, deren Funktionsterm nur aus einer Konstante besteht, hat als Funktionsgraphen eine Gerade. Diese ist parallel zur <math> x </math>-Achse, da sie jedem <math>x</math>-Wert den gleichen <math>y</math>-Wert zuordnet. (Schiebe <math>m</math> in der unteren Abbildung auf <math>0</math> und schaue dir den entstandenen Graphen an.) | |||
Auch eine Funktion, deren Funktionsterm nur aus einer Konstante besteht, hat als Funktionsgraphen eine Gerade. Diese ist parallel zur <math> x </math>-Achse, da sie jedem <math>x</math>-Wert den gleichen <math>y</math>-Wert zuordnet. (Schiebe <math>m</math> in der unteren Abbildung auf <math>0</math> und schaue dir den entstandenen Graphen an.) | # Bei linearen Funktionen, aber auch bei den anderen Funktionstypen gilt: Einem <math>x</math>-Wert wird immer nur ein <math>y</math>-Wert zugeordnet. | ||
# Ist der Funktionsterm einer linearen Funktion eine Konstante, so wird dauerhaft nur ein <math>y</math>-Wert angenommen. | |||
Bei linearen Funktionen, aber auch bei den anderen Funktionstypen gilt: Einem <math>x</math>-Wert wird immer nur ein <math>y</math>-Wert zugeordnet. | # Ist der Funktionsterm einer linearen Funktion '''keine '''Konstante, so kann jeder <math>y</math>-Wert nur '''einmal '''getroffen werden. | ||
# Die allgemeine Funktionsgleichung einer linearen Funktion ist von der Form <math> f(x) = mx + b </math>. Der Wert <math>b</math> gibt dabei immer den <math>y</math>-Achsenabschnitt an. (Verändere in der unteren Abbildung <math>b</math> und beobachte wie sich der Graph verändert.) | |||
Ist der Funktionsterm einer linearen Funktion eine Konstante, so wird dauerhaft nur ein <math>y</math>-Wert angenommen. | # Den <math>x</math>-Achsenabschnitt, die sogenannte '''Nullstelle''', berechnest du indem du <math>f(x)</math> gleich <math>0</math> setzt. Denn an dem Punkt, wo der Graph die <math>x</math>-Achse schneidet, ist der <math>y</math>-Wert gleich <math>0</math>. | ||
# Die Steigung ist der Vorfaktor der Variabel. Wenn die Funktionsgleichung von der Form <math>f(x) = mx + b</math> ist, so ist die Steigung gleich dem Wert von <math>m</math>. Der Wert der Steigung gibt dabei die Höhe des Steigungsdreiecks an, wenn die Länge <math>1</math> beträgt. (Verändere in der unteren Abbildung <math>m</math> und betrachte das Steigungsdreieck.) | |||
Ist der Funktionsterm einer linearen Funktion '''keine '''Konstante, so kann jeder <math>y</math>-Wert nur '''einmal '''getroffen werden. | # Das Vorzeichen der Steigung gibt an, ob die Gerade fällt (negatives Vorzeichen), oder steigt (positives Vorzeichen). (Beobachte wie sich der Graph verändert wenn du <math>m</math> auf einen positiven oder auf einen negativen Wert schiebst.) | ||
# Den '''Schnittpunkt''' zweier Funktionen erhältst du durch '''Gleichsetzen der beiden Funktionsterme. | |||
Die allgemeine Funktionsgleichung einer linearen Funktion ist von der Form <math> f(x) = mx + b </math>. Der Wert <math>b</math> gibt dabei immer den <math>y</math>-Achsenabschnitt an. (Verändere in der unteren Abbildung <math>b</math> und beobachte wie sich der Graph verändert.) | |||
Den <math>x</math>-Achsenabschnitt, die sogenannte '''Nullstelle''', berechnest du indem du <math>f(x)</math> gleich <math>0</math> setzt. Denn an dem Punkt, wo der Graph die <math>x</math>-Achse schneidet, ist der <math>y</math>-Wert gleich <math>0</math>. | |||
Die Steigung ist der Vorfaktor der | |||
Das Vorzeichen der Steigung gibt an, ob die Gerade fällt (negatives Vorzeichen), oder steigt (positives Vorzeichen). (Beobachte wie sich der Graph verändert wenn du <math>m</math> auf einen positiven oder auf einen negativen Wert schiebst.) | |||
Den '''Schnittpunkt''' zweier Funktionen erhältst du durch ''' | |||
''' | ''' | ||
<ggb_applet id="kd5rvrce" width="700" height="500" border="888888" /> | <ggb_applet id="kd5rvrce" width="700" height="500" border="888888" /> | ||
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{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=px8y1m7tj19}} | {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=px8y1m7tj19}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, welche geometrische Form der Graph von linearen Funktionen hat.|2=Tipp 1-Erkennen eines linearen Funktionsgraphen|3=Tipp 1-Erkennen eines linearen Funktionsgraphen}} | {{Lösung versteckt|1=Überlege dir, welche geometrische Form der Graph von linearen Funktionen hat.|2=Tipp 1-Erkennen eines linearen Funktionsgraphen|3=Tipp 1-Erkennen eines linearen Funktionsgraphen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, welchen maximalen Exponenten die | {{Lösung versteckt|1=Überlege dir, welchen maximalen Exponenten die Variable einer linearen Funktion hat.|2=Tipp 2-Erkennen einer linearen Funktionsgleichungen|3=Tipp 2-Erkennen einer linearen Funktionsgleichungen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, ob ein <math>x</math>-Wert von einer Funktion mehrmals angenommen werden darf.|2=Tipp 3-Ist es eine Funktion oder nicht|3=Tipp 3-Ist es eine Funktion oder nicht?}} | {{Lösung versteckt|1=Überlege dir, ob ein <math>x</math>-Wert von einer Funktion mehrmals angenommen werden darf.|2=Tipp 3-Ist es eine Funktion oder nicht?|3=Tipp 3-Ist es eine Funktion oder nicht?}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Keine Funktion: Der Kreis und die zur <math>y</math>-Achse parallelen Gerade sind keine Funktionen. Bei diesen Vorschriften werden <math>x</math>-Werte mehrmals getroffen, was bei Funktionen nicht sein darf.|2 = Lösung - Keine Funktionen|3= Lösung - Keine Funktionen}} | {{Lösung versteckt|1=Keine Funktion: Der Kreis und die zur <math>y</math>-Achse parallelen Gerade sind keine Funktionen. Bei diesen Vorschriften werden <math>x</math>-Werte mehrmals getroffen, was bei Funktionen nicht sein darf.|2 = Lösung - Keine Funktionen|3= Lösung - Keine Funktionen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Lineare Funktion: Alle Geraden, die nicht parallel zur <math>y</math>-Achse verlaufen (also nicht senkrecht sind) und alle Funktionen, bei denen die | {{Lösung versteckt|1=Lineare Funktion: Alle Geraden, die nicht parallel zur <math>y</math>-Achse verlaufen (also nicht senkrecht sind) und alle Funktionen, bei denen die Variabel maximal den Exponent <math>1</math> hat, sind lineare Funktionen.|2= Lösung - Lineare Funktionen|3= Lösung - Lineare Funktionen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= Andere Funktionstypen: Alle Graphen, bei denen die <math>x</math>-Werte jeweils nur einmal getroffen werden, aber keine Gerade darstellen und alle Funktionsgleichungen bei denen die | {{Lösung versteckt|1= Andere Funktionstypen: Alle Graphen, bei denen die <math>x</math>-Werte jeweils nur einmal getroffen werden, aber keine Gerade darstellen und alle Funktionsgleichungen bei denen die Variabel einen Exponenten hat der größer als <math>1</math> ist, sind Funktionen aber sie sind nicht linear.|2= Lösung - Andere Funktionstypen|3= Lösung - Andere Funktionstypen}} |Arbeitsmethode}} | ||
===Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen=== | |||
{{Box|1 = Aufgabe 3: Eine Geradengleichung mithilfe von einem Punkt und der Steigung bestimmen*|2 = | |||
Gegeben seien stets die Steigung der Geraden und ein Punkt, durch den die Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form <math>f(x) = mx + b</math>. | |||
'''a)''' Gegeben sei die Steigung <math>m = 3,5</math> und der Punkt <math>P(2/5)</math>. | |||
{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + b</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}} | |||
{{Lösung versteckt|1 = Setze zunächst für die Steigung <math>m = 3,5</math>, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = 3,5x + b</math> entsteht. Nutze in einem zweiten Schritt die Angabe des Punktes <math>P(2/5)</math>, sodass du mit <math>x = 2</math> und <math>f(x) = 5</math> die Gleichung <math>5 = 3,5\cdot2 + b</math> erhältst. Bestimme nun mit Auflösung nach <math>b</math> den Wert <math>b = -2</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = 3,5x - 2</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}} | |||
'''b)''' Gegeben sei die Steigung <math>m = -4</math> und der Punkt <math>P(-7/-1)</math>. | |||
= | {{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + b</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}} | ||
{{ | {{Lösung versteckt|1 = Setze zunächst für die Steigung <math>m = -4</math>, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = -4x + b</math> entsteht. Nutze in einem zweiten Schritt die Angabe des Punktes <math>P(-7/-1)</math>, sodass du mit <math>x = -7</math> und <math>f(x) = -1</math> die Gleichung <math>-1 = -4\cdot(-7) + b</math> erhältst. Bestimme nun mit Auflösung nach <math>b</math> den Wert <math>b = -29</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = -4x - 29</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}} | ||
{{ | '''c)''' Gegeben sei die Steigung <math>m = \frac{5}{8}</math> und der Punkt <math>P(-\frac{2}{7}/\frac{3}{4})</math>. | ||
{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + b</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}} | {{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + b</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp}} | ||
{{Lösung versteckt|1 = Setze zunächst für die Steigung <math>m = | {{Lösung versteckt|1 = Setze zunächst für die Steigung <math>m = \frac{5}{8}</math>, sodass dein erstes Gerüst <math>f(x) = \frac{5}{8}x + b</math> entsteht. Nutze in einem zweiten Schritt die Angabe des Punktes <math>P(-\frac{2}{7}/\frac{3}{4})</math>, sodass du mit <math>x = -\frac{2}{7}</math> und <math>f(x) = \frac{3}{4})</math> die Gleichung <math>\frac{3}{4}) = \frac{5}{8}\cdot(-\frac{2}{7}) + b</math> erhältst. Bestimme nun mit Auflösung nach <math>b</math> den Wert <math>b = \frac{52}{56} = \frac{13}{14}</math>, sodass sich schließlich die Geradengleichung <math>f(x) = \frac{5}{8}x + \frac{13}{14}</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung}}|3=Arbeitsmethode}} | ||
{{Box|1=Aufgabe 4: | {{Box|1=Aufgabe 4: Eine Geradengleichung mithilfe von zwei Punkten bestimmen*|2= Gegeben seien stets zwei Punkte, durch die eine Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form <math>f(x) = mx + b</math>. | ||
'''a)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(3/-4)</math> und <math>Q(8/6)</math>. | |||
{{Lösung versteckt|1=Bestimme die Steigung der Geraden mithilfe der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math>, indem du rechnest: <math>m = \frac{f(x)_Q - f(x)_P}{x_Q - x_P} = \frac{6 + 4}{8 - 3} = 2</math>. Wenn du Schwierigkeiten dabei hast, dir dieses Vorgehen zu erklären, stell dir vor, dass du an den Punkten <math>P</math> und <math>Q</math> des Graphen ein Steigungsdreieck zeichnest. Dann entspricht der Zähler der obigen Rechnung genau der Länge des y-Achsenabschnitts deines Steigungsdreiecks und der Nenner der obigen Rechnung der Länge des x-Achsenabschnitts deines Steigungsdreiecks. | {{Lösung versteckt|1=Bestimme die Steigung der Geraden mithilfe der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math>, indem du rechnest: <math>m = \frac{f(x)_Q - f(x)_P}{x_Q - x_P} = \frac{6 + 4}{8 - 3} = 2</math>. Wenn du Schwierigkeiten dabei hast, dir dieses Vorgehen zu erklären, stell dir vor, dass du an den Punkten <math>P</math> und <math>Q</math> des Graphen ein Steigungsdreieck zeichnest. Dann entspricht der Zähler der obigen Rechnung genau der Länge des y-Achsenabschnitts deines Steigungsdreiecks und der Nenner der obigen Rechnung der Länge des x-Achsenabschnitts deines Steigungsdreiecks. | ||
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{{Lösung versteckt|1 = Wenn du nach der ersten Variante vorgehen möchtest, also erst die Steigung <math>m</math> und dann mithilfe eines der beiden Punkte <math>b</math> bestimmen möchtest, dann ergibt sich zunächst für die Steigung: <math>m = \frac{f(x)_Q - f(x)_P}{x_Q - x_P} = \frac{6 + 4}{8 - 3} = 2</math>. Im Anschluss erhältst du durch Einsetzen des Punktes <math>P</math> oder <math>Q</math> entweder <math>-4 = 2 \cdot 3 + b</math> oder <math>6 = 2 \cdot 8 + b</math>. Die Auflösung einer der beiden Gleichungen nach <math>b</math> liefert <math>b = -10</math>, sodass du schließlich die Funktionsgleichung <math>f(x) = 2x - 10</math> erhältst. | {{Lösung versteckt|1 = Wenn du nach der ersten Variante vorgehen möchtest, also erst die Steigung <math>m</math> und dann mithilfe eines der beiden Punkte <math>b</math> bestimmen möchtest, dann ergibt sich zunächst für die Steigung: <math>m = \frac{f(x)_Q - f(x)_P}{x_Q - x_P} = \frac{6 + 4}{8 - 3} = 2</math>. Im Anschluss erhältst du durch Einsetzen des Punktes <math>P</math> oder <math>Q</math> entweder <math>-4 = 2 \cdot 3 + b</math> oder <math>6 = 2 \cdot 8 + b</math>. Die Auflösung einer der beiden Gleichungen nach <math>b</math> liefert <math>b = -10</math>, sodass du schließlich die Funktionsgleichung <math>f(x) = 2x - 10</math> erhältst. | ||
Wenn du nach der zweiten Variante vorgehen möchtest, stellst du mithilfe der beiden Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> ein lineares Gleichungssystem zweier Gleichungen, jeweils mit den beiden Unbekannten <math>m</math> und <math>b</math> auf. Dann erhältst du die beiden Gleichungen <math>-4 = m \cdot 3 + b</math> und <math>6 = m \cdot 8 + b</math>. Ziehe nun die Gleichungen voneinander ab, sodass du <math>b</math> eliminieren kannst. Bestimme nun mithilfe der Auflösung nach <math>m</math> die Unbekannte <math>m = 2</math>. Setze nun ein eine der beiden Gleichungen dein Ergebnis für <math>m</math> ein und bestimme dann mithilfe der Auflösung nach <math>b</math> die Unbekannte <math>b = -10</math>. Damit erhältst du schließlich die Funktionsgleichung <math>f(x) = 2x - 10</math>.|2 = Lösung|3 = Lösung}} | Wenn du nach der zweiten Variante vorgehen möchtest, stellst du mithilfe der beiden Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> ein lineares Gleichungssystem zweier Gleichungen, jeweils mit den beiden Unbekannten <math>m</math> und <math>b</math> auf. Dann erhältst du die beiden Gleichungen <math>-4 = m \cdot 3 + b</math> und <math>6 = m \cdot 8 + b</math>. Ziehe nun die Gleichungen voneinander ab, sodass du <math>b</math> eliminieren kannst. Bestimme nun mithilfe der Auflösung nach <math>m</math> die Unbekannte <math>m = 2</math>. Setze nun ein eine der beiden Gleichungen dein Ergebnis für <math>m</math> ein und bestimme dann mithilfe der Auflösung nach <math>b</math> die Unbekannte <math>b = -10</math>. Damit erhältst du schließlich die Funktionsgleichung <math>f(x) = 2x - 10</math>.|2 = Lösung|3 = Lösung}} | ||
'''b)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(-7/4)</math> und <math>Q(11/-3)</math>. | |||
{{Lösung versteckt|1=Bestimme die Steigung der Geraden mithilfe der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math>, indem du rechnest: <math>m = \frac{f(x)_Q - f(x)_P}{x_Q - x_P} = \frac{(-3) - 4}{11 - (-7)} = \frac{-7}{18}</math>. Wenn du Schwierigkeiten dabei hast, dir dieses Vorgehen zu erklären, stell dir vor, dass du an den Punkten <math>P</math> und <math>Q</math> des Graphen ein Steigungsdreieck zeichnest. Dann entspricht der Zähler der obigen Rechnung genau der Länge des y-Achsenabschnitts deines Steigungsdreiecks und der Nenner der obigen Rechnung der Länge des x-Achsenabschnitts deines Steigungsdreiecks. | |||
Alternativ kannst du auch zwei Gleichungen erstellen, indem du die Angaben der Punkte <math>P(-7/4)</math>, d.h. <math>x = -7</math> und <math>f(x) = 4</math>, und <math>Q(11/-3)</math>, d.h. <math>x = 11</math> und <math>f(x) = -3</math> nutzt.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nach der ersten Variante vorgegangen bist, also die Steigung berechnet hast, dann wähle nun einen der beiden Punkte <math>P</math> oder <math>Q</math> und setze in <math>f(x) = \frac{-7}{18}x + b</math> die zugehörigen Werte für <math>x</math> und <math>f(x)</math> ein. | |||
Wenn du nach der zweiten Variante vorgegangen bist, also zwei Gleichungen, jeweils mit den Unbekannten <math>m</math> und <math>b</math> aufgestellt hast, dann hast du ein lineares Gleichungssystem erhalten. Nun kannst du mithilfe des Eliminationsverfahrens zunächst die eine und dann die andere Unbekannte bestimmen.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}} | |||
{{Lösung versteckt|1 = Wenn du nach der ersten Variante vorgehen möchtest, also erst die Steigung <math>m</math> und dann mithilfe eines der beiden Punkte <math>b</math> bestimmen möchtest, dann ergibt sich zunächst für die Steigung: <math>m = \frac{f(x)_Q - f(x)_P}{x_Q - x_P} = \frac{(-3) - 4}{11 - (-7)} = \frac{-7}{18}</math>. Im Anschluss erhältst du durch Einsetzen des Punktes <math>P</math> oder <math>Q</math> entweder <math> 4 = \frac{-7}{18} \cdot (-7) + b</math> oder <math>-3 = \frac{-7}{18} \cdot 11 + b</math>. Die Auflösung einer der beiden Gleichungen nach <math>b</math> liefert <math>b = \frac{23}{18} </math>, sodass du schließlich die Funktionsgleichung <math>f(x) = \frac{-7}{18}x + \frac{23}{18}</math> erhältst. | |||
Wenn du nach der zweiten Variante vorgehen möchtest, stellst du mithilfe der beiden Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> ein lineares Gleichungssystem zweier Gleichungen, jeweils mit den beiden Unbekannten <math>m</math> und <math>b</math> auf. Dann erhältst du die beiden Gleichungen <math>4 = m \cdot (-7) + b</math> und <math>-3 = m \cdot 11 + b</math>. Ziehe nun die Gleichungen voneinander ab, sodass du <math>b</math> eliminieren kannst. Bestimme nun mithilfe der Auflösung nach <math>m</math> die Unbekannte <math>m = \frac{-7}{18}</math>. Setze nun ein eine der beiden Gleichungen dein Ergebnis für <math>m</math> ein und bestimme dann mithilfe der Auflösung nach <math>b</math> die Unbekannte <math>b = \frac{23}{18}</math>. Damit erhältst du schließlich die Funktionsgleichung <math>f(x) = \frac{-7}{18}x + \frac{23}{18}</math>.|2 = Lösung|3 = Lösung}} | |||
[[Datei:Steigungsdreieck.png|thumb|Steigungsdreieck einer linearen Funktion an zwei ausgewählten Punkten|600px|center]]|3=Arbeitsmethode}} | |||
===Prüfen, ob Punkte auf einer Geraden liegen=== | ===Prüfen, ob Punkte auf einer Geraden liegen=== | ||
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===Eine lineare Gleichung einer Geraden zuordnen=== | ===Eine lineare Gleichung einer Geraden zuordnen=== | ||
{{Box|Aufgabe 6: Finde Paare*|Ordne den gegebenen linearen Gleichungen die zugehörige Gerade zu. Beachte: Nicht zu jeder Gleichung ist eine Gerade gegeben. | {{Box|Aufgabe 6: Finde Paare*|Ordne den gegebenen linearen Gleichungen die zugehörige Gerade zu. Beachte: Nicht zu jeder Gleichung ist eine Gerade gegeben. | ||
{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pdwa2pz1k19}} | {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pdwa2pz1k19}} | ||
{{Lösung versteckt|1 = Überlege, was der jeweilige y-Achsenabschnitt ist.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}} | {{Lösung versteckt|1 = Überlege, was der jeweilige y-Achsenabschnitt ist.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}} | ||
{{Lösung versteckt|1 = Nicht vergessen: Für f(x) = mx + n ist n der y-Achsenabschnitt, also die Stelle, an der die Gerade die y-Achse schneidet.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}} | {{Lösung versteckt|1 = Nicht vergessen: Für <math>f(x) = mx + n</math> ist n der y-Achsenabschnitt, also die Stelle, an der die Gerade die y-Achse schneidet.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}} | ||
{{Lösung versteckt|1 = Überlege, ob die Steigung positiv oder negativ ist und wie stark die Steigung ist.|2=Tipp 3|3=Tipp 3}} | {{Lösung versteckt|1 = Überlege, ob die Steigung positiv oder negativ ist und wie stark die Steigung ist.|2=Tipp 3|3=Tipp 3}} | ||
{{Lösung versteckt|1 = Nicht vergessen: Für f(x) = mx + n ist m die Steigung der Geraden.|2=Tipp 4|3=Tipp 4}} | {{Lösung versteckt|1 = Nicht vergessen: Für <math>f(x) = mx + n</math> ist m die Steigung der Geraden.|2=Tipp 4|3=Tipp 4}} | ||
|Arbeitsmethode}} | |||
===Den Schnittpunkt zweier Geraden bestimmen=== | ===Den Schnittpunkt zweier Geraden bestimmen=== | ||
{{Box|Aufgabe 7: Bestimme den Schnittpunkt|Berechne zunächst den Schnittpunkt der beiden Geraden und kreuze dann die richtige Antwort an. | {{Box|Aufgabe 7: Bestimme den Schnittpunkt|Berechne zunächst den Schnittpunkt der beiden Geraden und kreuze dann die richtige Antwort an. | ||
{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pvdo2obnk19}} | {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pvdo2obnk19}} | ||
Zeile 114: | Zeile 135: | ||
{{Lösung versteckt|1 = Der Schnittpunkt der Geraden ist der Punkt, an dem die Geraden '''gleich ''' sind.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}} | {{Lösung versteckt|1 = Der Schnittpunkt der Geraden ist der Punkt, an dem die Geraden '''gleich ''' sind.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}} | ||
{{Lösung versteckt|1 = Setzte die beiden Geraden gleich und löse dann nach x auf.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}} | {{Lösung versteckt|1 = Setzte die beiden Geraden gleich und löse dann nach x auf.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}} | ||
|Arbeitsmethode}} | |||
===Lineare Funktionen im Anwendungskontext=== | ===Lineare Funktionen im Anwendungskontext=== | ||
{{Box |Aufgabe 8: Wasser für die Katze*|Marc und Susanne haben eine Katze, die Kitty heißt. Sie vergessen leider oft, ihren Wassernapf aufzufüllen. Marc und Susanne haben daher zwei Behälter gebastelt, aus denen kontinuierlich Wasser tropft. In Marcs Behälter (Behälter A) passen <math>500ml</math> Wasser und er ist nach <math>15</math> Stunden leer. In Susannes Behälter (Behälter B) passen <math>300ml</math> rein und er ist erst nach <math>20</math> Stunden leer. Jetzt möchten die beiden herausfinden, welcher Behälter sich besser für ihre Katze eignet. | |||
'''a)''' Stelle für beide Behälter jeweils eine Funktionsvorschrift auf, mit der du zu jeder Zeit die Wassermenge berechnen kannst, die sich noch im Behälter befindet. Zeichne für beide Funktionen den Funktionsgraphen in dein Heft. (Hierbei sollte sowohl der <math>x</math>-Achsenabschnitt, sowie auch der <math>y</math>-Achsenabschnitt eingezeichnet sein. Wähle daher eine geeignete Skalierung.) | |||
{{Lösung versteckt|1 = Um eine lineare Funktion aufstellen zu können, brauchst du zwei Punkte. Suche diese beiden Punkte im Text für die jeweiligen Behälter.| 2=Tipp 1|3=Tipp 1}} | |||
{{Lösung versteckt|1 = Die Punkte für den Behälter A sind <math> (0|500)</math> und <math>(15|0)</math>. Die Punkte für den Behälter B sind <math> (0|300)</math> und <math>(20|0)</math>. Setze für jeden Behälter die jeweiligen beiden Punkte in die allgemeine Form der linearen Funktion ein. |2=Tipp 2|3=Tipp 2}} | |||
{{Lösung versteckt|1= Da die Variable <math>x</math> die Stunden angibt, werden auch beim Zeichnen die Stunden auf der <math>x</math>-Achse eingetragen. Dementsprechend wird auf der <math>y</math>-Achse die Wasserhöhe im Behälter in Millilitern eingetragen. Da du auf der <math>x</math>-Achse bis <math> x=20 </math> gehen musst, könntest du hier eine Skalierung wählen bei der du <math> 1 cm </math> für zwei Stunden wählst. Auf der <math>y</math>-Achse musst du bis <math>y=500</math> gehen. Hier könntest du <math> 1 cm </math> für <math> 50 ml </math> wählen. Natürlich sind auch andere Skalierungen möglich, du solltest dir nur überlegen, dass das Koordinatensystem nicht zu groß wird.|2= Tipp fürs Zeichnen |3= Tipp fürs Zeichnen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= | |||
{{Lösung versteckt|1 = '''Behälter A: ''' | |||
Wir haben die Punkte <math> (0|500)</math> und <math>(15|0)</math> und die allgemeine Funktionsgleichung <math> f(x) = m\cdot x+b</math>. In diese setzten wir die beiden Punkte jeweils ein: | |||
'''<math> (0|500)</math>:''' <math> f(0) = m\cdot 0+b = 500</math>, wodurch <math>b=500</math> folgt. | |||
'''<math>(15|0)</math>:''' <math>f(15) = m\cdot 15+b=0</math>. Da wir schon wissen, dass <math>b=500</math> ist, folgt hieraus, dass <math>m=-\frac{100}{3}</math> ist. | |||
Setzt man nun <math>m</math> und <math>b</math> in die Funktionsgleichung ein, erhalten wir <math> f(x) = -\frac{100}{3} \cdot x + 500</math>|2=Lösung für Behälter A|3=Lösung für Behälter A}} | |||
{{Lösung versteckt|1 = '''Behälter B: ''' | |||
Wir haben die Punkte <math> (0|300)</math> und <math>(20|0)</math> und die allgemeine Funktionsgleichung <math> g(x) = n\cdot x+a</math>. In diese setzten wir die beiden Punkte jeweils ein: | |||
'''<math> (0|300)</math>: ''' <math> g(0) = n\cdot 0+a = 300</math>, wodurch <math>a=300</math> folgt. | |||
'''<math>(20|0)</math>:''' <math>g(20) = n\cdot 20+a=0</math>. Da wir schon wissen, dass <math>a=300</math> ist, folgt hieraus, dass <math>n=-15</math> ist. | |||
Setzt man nun <math>n</math> und <math>a</math> in die Funktionsgleichung ein, erhalten wir <math> g(x) = -15 \cdot x + 300</math>|2=Lösung für Behälter B|3=Lösung für Behälter B}} | |||
{{Lösung versteckt|1 =<ggb_applet id="y7ewcapm" width="700" height="500" border="888888" />|2= Lösung für die Funktionsgraphen|3=Lösung für die Funktionsgraphen}} |2= Lösung anzeigen |3= Lösungen verstecken}} | |||
'''b)''' In Kittys Napf passen 150ml Wasser. Läuft der Napf nach 5 Stunden bei einem der beiden Behälter über, wenn dieser vorher leer war und Kitty in den 5 Stunden nichts trinkt? | |||
{{Lösung versteckt|1 = Überlege dir, welche Variable dir die Stundenzahl angibt. Setze für diese Variable 5 ein. |2=Tipp 1|3=Tipp 1}} | |||
{{Lösung versteckt|1 = Setze <math> x=5 </math> und berechne <math> f(5)</math> und <math> g(5) </math>. Überlege dir wofür der Wert steht, den du bei ausrechnen erhalten hast.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}} | |||
{{Lösung versteckt|1 = Der Wert gibt dir an, wie viel Wasser noch in dem jeweiligen Behälter enthalten ist. Um die Menge im Wassernapf zu berechnen, musst du berechnen, wie viel schon aus dem Behälter getropft ist.|2=Tipp 3|3=Tipp 3}} | |||
{{Lösung versteckt|1 = Die Variable <math>x</math> steht für unsere Stundenzahl, also setzten wir für <math>x</math> <math> 5</math> ein. | |||
'''Behälter A: ''' Wir berechnen also <math>f(5)=-\frac{100}{3} \cdot 5 + 500 =\frac{1000}{3}</math>. Dieser Wert gibt an, wie viel Wasser nach den fünf Stunden noch im Behälter A ist. Um zu berechnen, welche Menge im Napf ist, müssen wir von der Anfangsmenge <math> 500ml </math> die <math> \frac{1000}{3} ml</math> abziehen und erhalten somit, dass ca. <math>167ml</math> in dem Napf sind. Dieser läuft also über. | |||
'''Behälter B: ''' Wir berechnen also <math>g(5)=-15 \cdot 5 + 300 =225</math>. Dieser Wert gibt an, wie viel Wasser nach den fünf Stunden noch im Behälter B ist. Um zu berechnen, welche Menge im Napf ist, müssen wir von der Anfangsmenge <math> 300ml </math> die <math> 225ml</math> abziehen und erhalten somit, dass ca. <math>75ml</math> in dem Napf sind. Dieser läuft also '''nicht ''' über.|2=Lösung|3=Lösung}} | |||
|Arbeitsmethode}} | |||
{{Box |Aufgabe | {{Box |Aufgabe 9: Schulbus**|Nach der Schule verpasst Isolde den Bus und müsste nun den Weg von 11km nach Hause laufen. Sie ruft ihre Mutter an und bittet sie, sie abzuholen. Ihre Mutter fährt ihr auf der Landstraße mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 72 km/h entgegen. Isolde geht in ihre Richtung und geht dabei durchschnittlich 75m pro Minute. | ||
'''a)''' Stelle eine Funktionsvorschrift für Isoldes Entfernung von zu Hause und eine Funktionsvorschrift für die Entfernung der Mutter von zu Hause in Abhängigkeit von der Zeit auf. | '''a)''' Stelle eine Funktionsvorschrift für Isoldes Entfernung von zu Hause und eine Funktionsvorschrift für die Entfernung der Mutter von zu Hause in Abhängigkeit von der Zeit auf. |
Aktuelle Version vom 4. Oktober 2019, 07:20 Uhr
Lineare Funktionen - ein Überblick
Lineare Funktionen erkennen
Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen
Prüfen, ob Punkte auf einer Geraden liegen
Eine lineare Gleichung einer Geraden zuordnen
Den Schnittpunkt zweier Geraden bestimmen
Lineare Funktionen im Anwendungskontext