Buss-Haskert/Zweistufige Zufallsexperimente/Zweistufige Zufallsexperimente: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Lösung versteckt|1=Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten sind immer Wahrscheinlichkeiten von einzelnen Ergebnissen, wende also jeweils die Produktregel an.<br>zu g) (a,u) ist ein unmögliches Ereignis, da zwei Vokale gezogen werden sollen, aber im zweiten Gefäß nur Konsonanten enthalten sind. Daher gilt P(a,u) = 0.<br>zu h) (i,f) ist ebensfalls ein unmögliches Ereignis, da im zweiten Gefäß der Buchstabe "f" nicht enthalten ist.|2=Tipp zu Nr. 2 (Wahrscheinlichkeiten)|3=Verbergen}} | {{Lösung versteckt|1=Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten sind immer Wahrscheinlichkeiten von einzelnen Ergebnissen, wende also jeweils die Produktregel an.<br>zu g) (a,u) ist ein unmögliches Ereignis, da zwei Vokale gezogen werden sollen, aber im zweiten Gefäß nur Konsonanten enthalten sind. Daher gilt P(a,u) = 0.<br>zu h) (i,f) ist ebensfalls ein unmögliches Ereignis, da im zweiten Gefäß der Buchstabe "f" nicht enthalten ist.|2=Tipp zu Nr. 2 (Wahrscheinlichkeiten)|3=Verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Es handelt sich um ein zweistufiges Zufallsexperiment. Das Baumdiagramm hat als Stufen den ersten und zweiten Zug einer Kugel. Die einzelnen Pfade (Äste) sind die Farben blau, gelb, rot und grün. Die Wahrscheinlichkeiten der Pfade ergeben sich aus der Farbverteilung. Da die Kugeln wieder zurückgelegt werden, bleiben beim zweiten Zug die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Pfade gleich.|2=Tipp zu Nr. 3 (Baumdiagramm)|3=Verbergen}} | {{Lösung versteckt|1=Es handelt sich um ein zweistufiges Zufallsexperiment. Das Baumdiagramm hat als Stufen den ersten und zweiten Zug einer Kugel. Die einzelnen Pfade (Äste) sind die Farben blau, gelb, rot und grün. Die Wahrscheinlichkeiten der Pfade ergeben sich aus der Farbverteilung. Da die Kugeln wieder zurückgelegt werden, bleiben beim zweiten Zug die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Pfade gleich.<br> | ||
[[Datei:SP9 S.38 Nr.3 Vorlage Baumdiagramm.jpg|rahmenlos]]|2=Tipp zu Nr. 3 (Baumdiagramm)|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Die Aufgabenteile a, b und c beziehen sich auf die Ergebnisse a) (r,b), b) (b,r) und c) (r,r). Berechne die Wahrscheinlichkeiten also mit der Produktregel.<br> | {{Lösung versteckt|1=Die Aufgabenteile a, b und c beziehen sich auf die Ergebnisse a) (r,b), b) (b,r) und c) (r,r). Berechne die Wahrscheinlichkeiten also mit der Produktregel.<br> | ||
In Aufgabenteil d) lautet das Ereignis E:"Die erste Kugel ist rot." Hier sind also die Ergebnisse (r,b), (r,ge), (r,r) und (r,gr) günstige Ergebnisse. Wende also zunächst die Produkt- und dann die Summenregel an.<br>Für Schnelldenker: Die Summe der Pfadwahrscheinlichkeiten einer Verzweigung beträgt immer 1 (denn es wird ja sicher eine Kugel der Farbe blau, gelb, rot oder grün gezogen). Daher ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E:"Die erste Kugel ist rot" gleich P(r).<br> | In Aufgabenteil d) lautet das Ereignis E:"Die erste Kugel ist rot." Hier sind also die Ergebnisse (r,b), (r,ge), (r,r) und (r,gr) günstige Ergebnisse. Wende also zunächst die Produkt- und dann die Summenregel an.<br>Für Schnelldenker: Die Summe der Pfadwahrscheinlichkeiten einer Verzweigung beträgt immer 1 (denn es wird ja sicher eine Kugel der Farbe blau, gelb, rot oder grün gezogen). Daher ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E:"Die erste Kugel ist rot" gleich P(r).<br> | ||
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{{Box|Übung 4 (11)|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Beachte die richtigen Schreibweisen. | {{Box|Übung 4 (11)|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Beachte die richtigen Schreibweisen. | ||
* S. 39, Nr. 5 | * S. 39, Nr. 5 | ||
* S. 39, Nr. | * S. 39, Nr. 6 | ||
* S. 39, Nr. 10 | * S. 39, Nr. 10 | ||
* S. 39, Nr. 11.|Üben}} | * S. 39, Nr. 11.|Üben}} | ||
{{Lösung versteckt|Ein Tetraeder ist ein Körper mit vier Seitenflächen (die jeweils gleichseitige Dreiecke sind).<br>Die zwei Stufen des Baumdiagramms sind der erste und zweite Wurf des Würfels, die Pfade (Äste) sind jeweils die Zahlen 1, 2, 3 und 4.|Tipp zu Nr. 5a|Verbergen}} | {{Lösung versteckt|Ein Tetraeder ist ein Körper mit vier Seitenflächen (die jeweils gleichseitige Dreiecke sind).<br>Die zwei Stufen des Baumdiagramms sind der erste und zweite Wurf des Würfels, die Pfade (Äste) sind jeweils die Zahlen 1, 2, 3 und 4.<br> | ||
{{Lösung versteckt|Die zwei Stufen des Baumdiagramms sind der erste und zweite Wurf der Reißzwecke, die Pfade (Äste) sind jeweils die Lagen "Kopf" oder "Seite" mit den angegebenen Wahrscheinlichkeiten.<br>Berechne die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses P(S,S) mit der Produktregel.|Tipp zu Nr. 6|Verbergen}} | [[Datei:SP9 S.39 Nr.5 Vorlage Baumdiagramm .jpg|rahmenlos]]|Tipp zu Nr. 5a|Verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|Die zwei Stufen des Baumdiagramms sind der erste und zweite Wurf der Reißzwecke, die Pfade (Äste) sind jeweils die Lagen "Kopf" oder "Seite" mit den angegebenen Wahrscheinlichkeiten.<br> | |||
[[Datei:SP9 S.39 Nr.6 Vorlage Baumdiagramm .jpg|rahmenlos]]<br>Berechne die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses P(S,S) mit der Produktregel.|Tipp zu Nr. 6|Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Die zwei Stufen des Baumdiagramms sind der erste und zweite Schwangerschaftstest. Die Pfade (Äste) sind jeweils die möglichen Ausgänge "Die Schwangerschaft wird angezeigt (bei bestehender Schwangerschaft)" und "Die Schwangerschaft wird nicht angezeigt (bei bestehender Schwangerschaft)", mit den Wahrscheinlichkeiten von 0,99(=99%) und 0,01(=1%). Berechne die Wahrscheinlichkeit von (nicht angezeigt, nicht angezeigt) mit der Produktregel.<br>Um die Häufigkeit dieses Ergebnisses bei 100000 Test zu berechnen, multipliziere die Wahrscheinlichkeit mit 100000.|2=Tipp 1 zu Nr. 10|3=Verbergen}} | {{Lösung versteckt|1=Die zwei Stufen des Baumdiagramms sind der erste und zweite Schwangerschaftstest. Die Pfade (Äste) sind jeweils die möglichen Ausgänge "Die Schwangerschaft wird angezeigt (bei bestehender Schwangerschaft)" und "Die Schwangerschaft wird nicht angezeigt (bei bestehender Schwangerschaft)", mit den Wahrscheinlichkeiten von 0,99(=99%) und 0,01(=1%). Berechne die Wahrscheinlichkeit von (nicht angezeigt, nicht angezeigt) mit der Produktregel.<br>Um die Häufigkeit dieses Ergebnisses bei 100000 Test zu berechnen, multipliziere die Wahrscheinlichkeit mit 100000.|2=Tipp 1 zu Nr. 10|3=Verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Wir gehen davon aus, dass eine Schwangerschaft vorliegt. Nun ist die Wahrscheinlichkeit dafür gesucht, dass dennoch beide Tests negativ ausfallen. Das Baumdiagramm könnte so aussehen:<br> | {{Lösung versteckt|1=Wir gehen davon aus, dass eine Schwangerschaft vorliegt. Nun ist die Wahrscheinlichkeit dafür gesucht, dass dennoch beide Tests negativ ausfallen. Das Baumdiagramm könnte so aussehen:<br> | ||
[[Datei:S. 39 Nr. 10 Baumdiagramm.png|rahmenlos|600x600px]]<br> Kannst du die Wahrscheinlichkeit bestimmen?|2=Tipp 2 zu Nr. 10 Baumdiagramm|3=Verbergen}} | [[Datei:S. 39 Nr. 10 Baumdiagramm.png|rahmenlos|600x600px]]<br> Kannst du die Wahrscheinlichkeit bestimmen?|2=Tipp 2 zu Nr. 10 Baumdiagramm|3=Verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Wenn nun 100000 Test durchgeführt werden, ist die | {{Lösung versteckt|1=Wenn nun 100000 Test durchgeführt werden, ist die Häufigkeit 100000'''∙'''P(E).|2=Tipp 3 zu Nr. 10}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Die 1. Stufe des Baumdiagramms ist die Entscheidung für einen Behälter. Die Pfade (Äste) führen also zu den Ausängen Behälter (1), (2) und (3) mit jeweils der Wahrscheinlichkeit <math>\tfrac{1}{3}</math>.<br>Die 2. Stufe des Baumdiagramms ist dann der Zug einer Kugel. Die Pfade (Äste) führen also zu den Ausgängen schwarz oder weiß. Die Wahrscheinlichkeiten für diese Äste sind unterschiedlich, je nach Farbverteilung im jeweiligen Behälter.|2=Tipp zu Nr. 11a|3=Verbergen}} | {{Lösung versteckt|1=Die 1. Stufe des Baumdiagramms ist die Entscheidung für einen Behälter. Die Pfade (Äste) führen also zu den Ausängen Behälter (1), (2) und (3) mit jeweils der Wahrscheinlichkeit <math>\tfrac{1}{3}</math>.<br>Die 2. Stufe des Baumdiagramms ist dann der Zug einer Kugel. Die Pfade (Äste) führen also zu den Ausgängen schwarz oder weiß. Die Wahrscheinlichkeiten für diese Äste sind unterschiedlich, je nach Farbverteilung im jeweiligen Behälter.<br> | ||
[[Datei:SP9 S.39 Nr.11 Vorlage Baumdiagramm .jpg|rahmenlos]] | |||
|2=Tipp zu Nr. 11a|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|Zeichne ein neues Baumdiagramm entsprechend der neuen Verteilung der Kugeln. Es Ändern sich die Pfade und Wahrscheinlichkeiten der zweiten Stufe.|Tipp zu Nr. 11b|Verbergen}} | {{Lösung versteckt|Zeichne ein neues Baumdiagramm entsprechend der neuen Verteilung der Kugeln. Es Ändern sich die Pfade und Wahrscheinlichkeiten der zweiten Stufe.|Tipp zu Nr. 11b|Verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|Überlegt zu zweit. Stellt das Experiment mit nach, die Materialien erhaltet ihr von eurer Lehrerin.|Tipp zu 11c|Verbergen}} | {{Lösung versteckt|Überlegt zu zweit. Stellt das Experiment mit nach, die Materialien erhaltet ihr von eurer Lehrerin.|Tipp zu 11c|Verbergen}} | ||
{{Box|Sprinteraufgabe|Löse Buch S. 39 Nr. 8.|Üben}} | {{Box|Sprinteraufgabe 1 *** Glücksspiel an zwei Rädern|[[Datei:Zwei Glücksräder Sprinteraufgabe.jpg|rahmenlos]]<br> | ||
a) Du erhältst ein Weingummi, wenn beide Glücksräder auf "Rot" stehen bleiben. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit?<br> | |||
b) Du darfst beim 1. Glücksrad das rote Feld verändern. Wie groß muss der Anteil sein, damit du mit einer Wahrscheinlichkeit von 25% zweimal "Rot" drehst.|Üben}} | |||
{{Lösung versteckt|Zeichne ein Baumdiagramm. Die 1. Stufe ist das Drehen des 1. Rades, die 2. Stufe das Drehen des 2. Rades. Ergänze die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten an den Ästen.|Tipp 1 zu a)|Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Die Wahrscheinlichkeit beim 1. Rad das rote Feld zu drehen beträgt <math>\tfrac{1}{4}</math>, | |||
Beim 2. Rad beträgt sie <math>\tfrac{1}{3}</math>. Berechne P(rot,rot) mit der Produktregel.|2=Tipp 2 zu a)|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=P(rot,rot) = 25% (= 0,25 = <math>\tfrac{1}{3}</math>)<br> | |||
Berechne P(rot,rot) mit der Produktregel:<br> | |||
P(rot, rot) = ___ • <math>\tfrac{1}{3}</math><br> | |||
Nun sollst du herausfinden, welche Zahl ergänzt werden muss, damit das Produkt 0,25 ergibt, also<br> | |||
x • <math>\tfrac{1}{3}</math> = 0,25<br> | |||
Löse die Gleichung nach x auf.|2=Tipp zu b)|3=Verbergen}} | |||
{{Box|Sprinteraufgabe 2 Mehrstufige Zufallsexperimente|Löse Buch S. 39 Nr. 8.|Üben}} | |||
{{Lösung versteckt|Die Münze wird '''dreimal''' hintereinander geworfen. Es handelt sich also um ein mehrstufiges Zufallsexperiment (DREI STUFEN). Zeichne die Pfade (Äste) für die 1. Stufe (erster Wurf) weit auseinander, damit auch noch die Pfade für die zweite und dritte Stufe Platz haben. <br>Berechne dann P(W,W,W) mit der Produktregel.|Tipp zu Nr. 8|Verbergen}} | {{Lösung versteckt|Die Münze wird '''dreimal''' hintereinander geworfen. Es handelt sich also um ein mehrstufiges Zufallsexperiment (DREI STUFEN). Zeichne die Pfade (Äste) für die 1. Stufe (erster Wurf) weit auseinander, damit auch noch die Pfade für die zweite und dritte Stufe Platz haben. <br>Berechne dann P(W,W,W) mit der Produktregel.|Tipp zu Nr. 8|Verbergen}} | ||
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{{Lösung versteckt|1=Ein Dodekaeder ist ein Würfel mit 12 Flächen, also mit den Ziffern 1 bis 12. Die zwei Stufen des Baumdiagrammes sind der 1. Wurf und der 2. Wurf.<br> | {{Lösung versteckt|1=Ein Dodekaeder ist ein Würfel mit 12 Flächen, also mit den Ziffern 1 bis 12. Die zwei Stufen des Baumdiagrammes sind der 1. Wurf und der 2. Wurf.<br> | ||
a) Eine Augensumme größer als 21 betrifft nur die Ergebnisse, bei denen die Würfel mindestens 10, 11 oder 12 anzeigen. Also reichen als Äste die möglichen Ausgänge 1-9, 10, 11, 12 aus. Die Wahrscheinlichkeiten sind dann für den ersten Ast <math>\tfrac{9}{12}</math> und für die weiteren je <math>\tfrac{1}{12}</math>.<br> | a) Eine Augensumme größer als 21 betrifft nur die Ergebnisse, bei denen die Würfel mindestens 10, 11 oder 12 anzeigen. Also reichen als Äste die möglichen Ausgänge 1-9, 10, 11, 12 aus. Die Wahrscheinlichkeiten sind dann für den ersten Ast <math>\tfrac{9}{12}</math> und für die weiteren je <math>\tfrac{1}{12}</math>.<br> | ||
Für das Ereignis E:"eine Augensumme größer als 21 erzielen" berechne zunächst die Wahrscheinlichkeiten der günstigen Ergebnisse (10,12), (11,11), (11,12), (12,10), (12,11), (12,12) mit der Produktregel | [[Datei:SP9 S.46 Nr.7 Vorlage Baumdiagramm.jpg|rahmenlos|400x400px]]<br> | ||
Bestimme dann P(E) mit der Summenregel.|2=Tipp zu Nr. 7a|3=Verbergen}} | Für das Ereignis E:"eine Augensumme größer als 21 erzielen" berechne zunächst die Wahrscheinlichkeiten der günstigen Ergebnisse (10,12), (11,11), (11,12), (12,10), (12,11), (12,12) mit der <span style="color:red">Produktregel</span><br> | ||
Bestimme dann P(E) mit der <span style="color:blue">Summenregel</span>.|2=Tipp zu Nr. 7a|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|b) Für das Ereignis E:"bei höstens zwei Versuchen einmal eine 1 oder 12 werfen" ist für die Ausgänge des Würfelns nur wichtig, ob die Zahl eine 1, eine 12 oder eine 2-11 ist. Also reichen als Äste diese möglichen Ausgänge. Die Wahrscheinlichkeiten sind dann für den ersten Ast <math>\tfrac{1}{12}</math> und für den zweiten Ast ebenfalls <math>\tfrac{1}{12}</math> und für den letzen Ast (2-11) <math>\tfrac{10}{12}</math>.<br> | {{Lösung versteckt|b) Für das Ereignis E:"bei höstens zwei Versuchen einmal eine 1 oder 12 werfen" ist für die Ausgänge des Würfelns nur wichtig, ob die Zahl eine 1, eine 12 oder eine 2-11 ist. Also reichen als Äste diese möglichen Ausgänge. Die Wahrscheinlichkeiten sind dann für den ersten Ast <math>\tfrac{1}{12}</math> und für den zweiten Ast ebenfalls <math>\tfrac{1}{12}</math> und für den letzen Ast (2-11) <math>\tfrac{10}{12}</math>.<br> | ||
Für das Ereignis E:"bei höchstens zwei Versuchen einmal eine 1 oder 12 werfen" berechne zunächst die Wahrscheinlichkeiten der günstigen Ergebnisse (1) (2-11,1), (2-11,12), (12) mit der Produktregel.<br> | Für das Ereignis E:"bei höchstens zwei Versuchen einmal eine 1 oder 12 werfen" berechne zunächst die Wahrscheinlichkeiten der günstigen Ergebnisse (1) (2-11,1), (2-11,12), (12) mit der Produktregel.<br> | ||
[[Datei:SP9 S.47 Nr.7b Vorlage Baumdiagramm .jpg|rahmenlos|400x400px]]<br> | |||
Bestimme dann P(E) mit der Summenregel.|2=Tipp zu Nr. 7b|3=Verbergen}} | Bestimme dann P(E) mit der Summenregel.|2=Tipp zu Nr. 7b|3=Verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Für das Ereignis E:"jedes Mal eine durch 10 teilbare Zahl zu erhalten" sind die Äste mit den Ausgängen "durch 10 teilbare Zahl" und "nicht durch 10 teilbare Zahl" nötig. Der erste Ast hat dann die Wahrscheinlichkeit <math>\tfrac{3}{30}</math> = <math>\tfrac{1}{10}</math>, denn von den Zahlen von 1 bis 30 sind die 10,20 und 30 durch 10 teilbare Zahlen. Die Wahrscheinlichkeit des zweiten Astes beträgt dann <math>\tfrac{27}{30}</math> = <math>\tfrac{9}{10}</math>.|2=Tipp zu 8a|3=Verbergen}} | {{Lösung versteckt|1=Für das Ereignis E:"jedes Mal eine durch 10 teilbare Zahl zu erhalten" sind die Äste mit den Ausgängen "durch 10 teilbare Zahl" und "nicht durch 10 teilbare Zahl" nötig. Der erste Ast hat dann die Wahrscheinlichkeit <math>\tfrac{3}{30}</math> = <math>\tfrac{1}{10}</math>, denn von den Zahlen von 1 bis 30 sind die 10,20 und 30 durch 10 teilbare Zahlen. Die Wahrscheinlichkeit des zweiten Astes beträgt dann <math>\tfrac{27}{30}</math> = <math>\tfrac{9}{10}</math>.|2=Tipp zu 8a|3=Verbergen}} | ||
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{{#ev:youtube|pOvvayLI_pU|800|center}} | {{#ev:youtube|pOvvayLI_pU|800|center}} | ||
{{Box|Ziehen ohne Zurücklegen|[[Datei:Urne 2rot 3 blau.png| | {{Box|Ziehen ohne Zurücklegen|[[Datei:Urne 2rot 3 blau.png|rahmenlos|200px]]<br>In einer Urne befinden sich 2 rote und 3 blaue Kugeln. Es wird zweimal eine Kugel gezogen, die Farbe wird notiert und die Kugel wird '''NICHT zurückgelegt''', sie bleibt außerhalb der Urne. Erstelle ein Baumdiagramm und beschrifte es vollständig. <br>a) Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen Ereignisse.<br>b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit für E: "eine blaue und eine rote Kugel ziehen".|Arbeitsmethode}} | ||
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* S. 40, Nr. 13 | * S. 40, Nr. 13 | ||
* S. 40, Nr. 14.|Üben}} | * S. 40, Nr. 14.|Üben}} | ||
{{Lösung versteckt|Zeichne je ein Baumdiagramm und beschrifte die Äste passend. Wird die Kugel nach dem Ziehen zurückgelegt, bleiben die Wahrscheinlichkeiten gleich. Wird die Kugel NICHT zurückgelegt, ändern sich die Wahrscheinlichkeiten beim 2. Zug!<br> | |||
[[Datei:SP9 S.40 Nr.12 Vorlage Baumdiagramm .jpg|rahmenlos|500x500px]]|Tipp zu Nr. 12 (Baumdiagramme)|Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|Um welche zwei Stufen handelt es sich jeweils beim Experiment? Verändern sich die Wahrscheinlichkeiten in der zweiten Stufe?|Tipp zu Nr. 14|Verbergen}} | {{Lösung versteckt|Um welche zwei Stufen handelt es sich jeweils beim Experiment? Verändern sich die Wahrscheinlichkeiten in der zweiten Stufe?|Tipp zu Nr. 14|Verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|Wenn du "mit einem Griff" zwei Lose ziehst, handelt es sich um ein Ziehen '''ohne''' Zurücklegen, da du nicht zweimal dasselbe Los ziehen kannst.|Tipp zu Nr. 14b|Verbergen}} | {{Lösung versteckt|Wenn du "mit einem Griff" zwei Lose ziehst, handelt es sich um ein Ziehen '''ohne''' Zurücklegen, da du nicht zweimal dasselbe Los ziehen kannst.|Tipp zu Nr. 14b|Verbergen}} |
Aktuelle Version vom 26. Oktober 2023, 10:33 Uhr
2) Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
3) Zweistufige Zufallsexperimente
Zusatz: Erwartungswert
4) Checkliste
3) Zweistufige Zufallsexperimente
Die Darstellung, die im Video verwendet wird, heißt Baumdiagramm.
3.1 Wie zeichne ich ein Baumdiagramm?
Ein Baumdiagramm besteht aus einer verschiedenen Anzahl von Pfaden (Ästen) und Stufen. Zweistufige Zufallsexperimente bestehen immer aus zwei Stufen, mehrstufige Zufallsexperimente aus mehreren Stufen. Bevor du ein Baumdiagramm zeichnest, überlege genau, welche Bedeutung die Stufen im Experiment haben und welche Bedeutung die Pfade (Äste).
Du kannst es von links nach rechts zeichnen oder von oben nach unten.
Du beginnst jedes Baumdiagramm mit dem Zeichnen von Pfaden (Ästen).
1. Zeichne die Pfade (Äste). (Achte darauf, dass die Äste auf einer Linie enden.) Wie viele Äste du zeichnen musst, hängt davon ab, wie viele mögliche Ausgänge es in dieser Stufe gibt. Hier hast du 3 mögliche Ergebnisse: eine rote, blaue oder gelbe Kugel ziehen.
2. Ergänze die möglichen Ausgänge.
Hier entspricht also die 1. Stufe des Baumdiagramms dem 1. Ziehen einer Kugel.
3. Schreibe die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten an die Pfade (Äste).
4. Nun wiederholst du das Vorgehen für die 2. Stufe, den 2. Ziehen einer Kugel. Zeichne an jeden Ausgang der 1. Stufe erneut Pfade (Äste) mit den möglichen Ausgängen und den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten.
3.2 Wie berechne ich Wahrscheinlichkeiten (mithilfe eines Baumdiagramms)?
Um zu einem möglichen Ergebnis zu gelangen, musst du einen bestimmten Pfad des Baumdiagrammes gehen. Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses berechnest du, indem du die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizierst.
Beispiel:
P(r,b) = ∙ = = 0,15 = 15%
P(b,r) = ∙ = = 0,15 = 15%
Nun betrachten wir nicht mehr nur einzelne Ergebnisse sondern berechnen die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen.
Ein Ereignis setzt sich aus mehreren günstigen Ergebnissen zusammen.
Beispiel:
Das Ereignis E: "Eine rote und eine blaue Kugel wird gezogen" setzt sich aus den Ergebnissen (r,b) und (b,r) zusammen.
Um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu berechnen, werden die einzelnen Wahrscheinlichkeiten der günstigen Ergebnisse (geordnete Paare) addiert.
Beispiel:
E: "Eine rote und eine blaue Kugel wird gezogen"
P(E) = P(r,b) + P(b,r)
= +
= = 0,3 = 30%
Nun berechne die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses P(E1) = P(r,g) + P(g,r) mithilfe der Summenregel.
Nun berechne die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses P(E2) = P(r,r) + P(b,r) + P(g,r) mithilfe der Summenregel.
Übertrage das Beispiel in dein Heft:
In einer Urne befinden sich 7 blaue und 3 rote Kugeln. Nacheinander wird zweimal eine Kugel gezogen, die Farbe notiert und die Kugel dann wieder zurückgelegt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, eine rote und eine blaue Kugel zu ziehen.
Gehe zur Lösung der Aufgabe schrittweise vor, wie oben beschrieben.
2. Schritt:
Das Ereignis E: "eine rote und eine blaue Kugel ziehen" setzt sich zusammen aus den einzelnen Ergebnissen (r,b) und (b,r).
3. Schritt:
P(E) = P(r,b) + P(b,r)
= ∙ + ∙
= +
Mit dem nachfolgenden GeoGebra-Applet (von Herrn Wengler) kannst du verschiedenste Urnenexperimente simulieren. Stelle das Experiment von oben nach.
Die zwei Stufen des Experimentes sind die zwei Drehungen des Glückrades. Die Pfade (Äste) sind die möglichen Ausgänge, die verschiedenen Farben.
Skizze des Baumdiagramms (die Wahrscheinlichkeiten in der zweiten Stufe müssen noch ergänzt werden)
"zweimal hintereinander Rot" ist das Ergebnis (r,r), wende die Produktregel an.
"erst Rot, dann Blau" ist das Ergebnis (r,b), wende die Produktregel an
Zeichne ein Baumdiagramm. Die erste Stufe ist der Zug eines Buchstabens aus dem Gefäß mit Vokalen. Dies sind dementsprechend die möglichen Ausgänge a, i ,u und o (Pfade). Die Wahrscheinlichkeit, z.B. den Vokal "a" zu ziehen, beträgt = , da es 4 Karten mit dem Buchstaben "a" gibt von 8 Karten insgesamt.
Die zweite Stufe ist der Zug eines Buchstabens aus dem Gefäß mit den Konsonanten, also sind dies auch jeweils die möglichen Ausgänge (Pfade). Die Wahrscheinlichkeit, z.B. den Konsonaten "h" zu ziehen, beträgt = , da es 2 Karten mit dem Buchstaben "h" gibt von 8 Karten insgesamt.
Zeichne das Baumdiagramm und beschrifte es vollständig.
zu g) (a,u) ist ein unmögliches Ereignis, da zwei Vokale gezogen werden sollen, aber im zweiten Gefäß nur Konsonanten enthalten sind. Daher gilt P(a,u) = 0.
zu h) (i,f) ist ebensfalls ein unmögliches Ereignis, da im zweiten Gefäß der Buchstabe "f" nicht enthalten ist.
Es handelt sich um ein zweistufiges Zufallsexperiment. Das Baumdiagramm hat als Stufen den ersten und zweiten Zug einer Kugel. Die einzelnen Pfade (Äste) sind die Farben blau, gelb, rot und grün. Die Wahrscheinlichkeiten der Pfade ergeben sich aus der Farbverteilung. Da die Kugeln wieder zurückgelegt werden, bleiben beim zweiten Zug die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Pfade gleich.
Die Aufgabenteile a, b und c beziehen sich auf die Ergebnisse a) (r,b), b) (b,r) und c) (r,r). Berechne die Wahrscheinlichkeiten also mit der Produktregel.
In Aufgabenteil d) lautet das Ereignis E:"Die erste Kugel ist rot." Hier sind also die Ergebnisse (r,b), (r,ge), (r,r) und (r,gr) günstige Ergebnisse. Wende also zunächst die Produkt- und dann die Summenregel an.
Für Schnelldenker: Die Summe der Pfadwahrscheinlichkeiten einer Verzweigung beträgt immer 1 (denn es wird ja sicher eine Kugel der Farbe blau, gelb, rot oder grün gezogen). Daher ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E:"Die erste Kugel ist rot" gleich P(r).
In Aufgabenteil e) lautet das Ereignis E:"Die zweite Kugel ist rot." Hier sind also die Ergebnisse (b,r), (ge,r), (r,r) und (gr,r) günstige Ergebnisse. Vergleiche mit Aufgabenteil d).
Welche Wahrscheinlichkeiten musst du an den Ästen ergänzen?
Im ersten Behälter sind nur blaue und rote Kugeln, denn nur diese Ausgänge sind in der ersten Stufe möglich.
Nun beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen, 0,4. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, eine blaue Kugel zu ziehen?
Richtig: 0,6, denn 0,4 + 0,6 = 1 (sicheres Ereignis).
Bestimme ebenso die fehlenden Wahrscheinlichkeit in der zweiten Stufe. (Lösung: 0,3 und 0,75)
Ein Tetraeder ist ein Körper mit vier Seitenflächen (die jeweils gleichseitige Dreiecke sind).
Die zwei Stufen des Baumdiagramms sind der erste und zweite Wurf des Würfels, die Pfade (Äste) sind jeweils die Zahlen 1, 2, 3 und 4.
Die zwei Stufen des Baumdiagramms sind der erste und zweite Wurf der Reißzwecke, die Pfade (Äste) sind jeweils die Lagen "Kopf" oder "Seite" mit den angegebenen Wahrscheinlichkeiten.
Berechne die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses P(S,S) mit der Produktregel.
Um die Häufigkeit dieses Ergebnisses bei 100000 Test zu berechnen, multipliziere die Wahrscheinlichkeit mit 100000.
Wir gehen davon aus, dass eine Schwangerschaft vorliegt. Nun ist die Wahrscheinlichkeit dafür gesucht, dass dennoch beide Tests negativ ausfallen. Das Baumdiagramm könnte so aussehen:
Kannst du die Wahrscheinlichkeit bestimmen?
Die 1. Stufe des Baumdiagramms ist die Entscheidung für einen Behälter. Die Pfade (Äste) führen also zu den Ausängen Behälter (1), (2) und (3) mit jeweils der Wahrscheinlichkeit .
Die 2. Stufe des Baumdiagramms ist dann der Zug einer Kugel. Die Pfade (Äste) führen also zu den Ausgängen schwarz oder weiß. Die Wahrscheinlichkeiten für diese Äste sind unterschiedlich, je nach Farbverteilung im jeweiligen Behälter.
Die Wahrscheinlichkeit beim 1. Rad das rote Feld zu drehen beträgt ,
Beim 2. Rad beträgt sie . Berechne P(rot,rot) mit der Produktregel.P(rot,rot) = 25% (= 0,25 = )
Berechne P(rot,rot) mit der Produktregel:
P(rot, rot) = ___ •
Nun sollst du herausfinden, welche Zahl ergänzt werden muss, damit das Produkt 0,25 ergibt, also
x • = 0,25
Berechne dann P(W,W,W) mit der Produktregel.
3.3 Verkürzte Baumdiagramme
Ein Dodekaeder ist ein Würfel mit 12 Flächen, also mit den Ziffern 1 bis 12. Die zwei Stufen des Baumdiagrammes sind der 1. Wurf und der 2. Wurf.
a) Eine Augensumme größer als 21 betrifft nur die Ergebnisse, bei denen die Würfel mindestens 10, 11 oder 12 anzeigen. Also reichen als Äste die möglichen Ausgänge 1-9, 10, 11, 12 aus. Die Wahrscheinlichkeiten sind dann für den ersten Ast und für die weiteren je .
Für das Ereignis E:"eine Augensumme größer als 21 erzielen" berechne zunächst die Wahrscheinlichkeiten der günstigen Ergebnisse (10,12), (11,11), (11,12), (12,10), (12,11), (12,12) mit der Produktregel
b) Für das Ereignis E:"bei höstens zwei Versuchen einmal eine 1 oder 12 werfen" ist für die Ausgänge des Würfelns nur wichtig, ob die Zahl eine 1, eine 12 oder eine 2-11 ist. Also reichen als Äste diese möglichen Ausgänge. Die Wahrscheinlichkeiten sind dann für den ersten Ast und für den zweiten Ast ebenfalls und für den letzen Ast (2-11) .
Für das Ereignis E:"bei höchstens zwei Versuchen einmal eine 1 oder 12 werfen" berechne zunächst die Wahrscheinlichkeiten der günstigen Ergebnisse (1) (2-11,1), (2-11,12), (12) mit der Produktregel.
3.4 Ziehen mit und ohne Zurücklegen
Lösung:
Lösung:
Im Aufgabenteil d) geht es um das Ereignis E:"erste Mannschaft nicht aus Europa". Günstige Ergebnisse sind hier also (Am,...) (also (Am, Am), (Am,Af), (Am,Eu), (Am,As)), (Af,...) (also (Af,Am),(Af,Af), (Af, Eu), (Af,As)) und (As,...) (also (As,Am), (As,Af), (As,Eu), (As,As)).
Hier kannst du also kurz mit der Summmenregel rechnen:
Du kannst die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E auch mithilfe des Gegenereignisses bestimmen: :"eine Mannschaft aus Europa". Hier sind die günstigen Ergebnisse (Am,Eu), (Af,Eu), (Eu), (As,Eu).
P(E) = 1 - P() = ...=
Die zwei Stufen des Experimentes sind das zweimalige Ziehen ohne Zurücklegen. Die Pfade (Äste) je Stufe führen zu den möglichen Ausgängen 0 bis 9. Da hier nur nach zwei bestimmten Ergebnissen (2,1) und (2,2) gefragt ist, reicht es aus, ein verkürztes Baumdiagramm zu zeichnen.
Zeichne je ein Baumdiagramm und beschrifte die Äste passend. Wird die Kugel nach dem Ziehen zurückgelegt, bleiben die Wahrscheinlichkeiten gleich. Wird die Kugel NICHT zurückgelegt, ändern sich die Wahrscheinlichkeiten beim 2. Zug!
3.5 Vermischte Übungen - Bunte Mischung