Buss-Haskert/Zweistufige Zufallsexperimente/Erwartungswert

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1) Vorwissen
2) Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
3) Zweistufige Zufallsexperimente
Zusatz: Erwartungswert
4) Checkliste

Zusatz: Erwartungswert

Einstiegsbeispiel

Ziehe aus einer Urne mit 3 schwarzen und 2 weißen Kugeln nacheinander zwei Kugeln, wobei du die erste Kugel nach dem Ziehen zurücklegst.
Wie groß ist die zu erwartende Anzahl an schwarzen Kugeln? Wie viele schwarze Kugeln werden also durchschnittlich gezogen?

Zeichne ein Baumdiagramm zum Zufallsexperiment. Die Ergebnisse sind die geordneten Paare (s,s),...

Welche Möglichkeiten gibt es für die Anzahl der gezogenen schwarzen Kugeln? Dies sind die verschiedenen Ereignisse.

Lösung: E₀: Es werden 0 schwarze Kugeln gezogen, E₁: Es wird 1 schwarze Kugel gezogen, E₂: Es werden 2 schwarze Kugeln gezogen.

Wie groß ist jeweils die Wahrscheinlichkeit für die entsprechenden Ausgänge (Ereignisse) P(0), P(1), P(2)? (Baumdiagramm!)

Anzahl der gezogenen schwarzen Kugeln	0	1	2
Wahrscheinlichkeit P(E)	$\tfrac{4}{25}$ = 0,16	$\tfrac{12}{25}$ = 0,48	$\tfrac{9}{25}$ = 0,36

Wie groß ist jetzt die zu erwartende Anzahl an schwarzen Kugeln? Es werden 0 mit der Wahrscheinlichkeit von 0,36, 1 mit der Wahrscheinlichkeit von 0,48 und zwei mit der Wahrscheinlichkeit von 0,16. Wie kannst du die durchschnittliche Anzahl bestimmen?

Jedem Ergebnis dieses Zufallsexperimentes wird eine Größe zugeordnet:
(weiß,weiß) wird die Zahl 0 zugeordnet
(weiß, schwarz) wird die Zahl 1 zugeordnet
(schwarz, weiß) wird auch die Zahl 1 zugeordnet
(schwarz, schwarz) wird die Zahl 2 zugeordnet. Werden nun diese Größen mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten multipliziert und die Ergebnisse addiert, so erhält man den Mittelwert (Durchschnittswert) der Größe. Dieser heißt "Erwartungswert".

Hier:
Die durchschnittliche Anzahl der gezogenen schwarzen Kugeln beträgt:
$\tfrac{9}{25}$ ∙0 + $\tfrac{12}{25}$ ∙ 1 + $\tfrac{4}{25}$ ∙ 2
= 1,2
Es werden also durchschnittlich 1,2 schwarze Kugeln gezogen, die zu erwartende Anzahl an schwarzen Kugeln beträgt 1,2.

Erwartungswert

Der Erwartungswert entspricht dem Mittelwert der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Er wird berechnet, indem die zugeordneten Größen mit den ensprechenden Wahrscheinlichkeiten mutlipliziert werden und diese Produkte addiert werden.

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Wichtig wird der Erwartungswert bei Glücksspielen, die einen Einsatz erfordern. Deine Gewinnchancen kannst du mit dem Erwartungswert bestimmen. So kannst du entscheiden, ob das Spiel fair ist, also du auf lange Sicht weder einen Gewinn machst, noch einen Verlust. Schau das nächste Beispiel dazu an:

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Übung 1

Lies die Beispiele auf S. 42 im Buch.

Übung 2

Löse entsprechend Buch

• S. 43 Nr. 1
• S. 44 Nr. 4