Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Teilbarkeit/2) Endziffernregeln: Unterschied zwischen den Versionen

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====''' Die Teilbarkeitsregeln'''====
[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]
{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}


1. Die Endziffernregeln
{{Navigation verstecken|
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Teilbarkeit/1) Teiler und Vielfache|1) Teiler und Vielfache]]<br>


2. Die Quersummenregeln
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Teilbarkeit/2) Endziffernregeln|2) Endziffernregeln]]<br>


[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Teilbarkeit/3) Quersummenregeln|3) Quersummenregeln]]<br>


'''1. Die Endziffernregeln'''
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Teilbarkeit/4) Primzahlen|4) Primzahlen]]<br>
}}
 
'''Die Endziffernregeln'''


Wie das Wort besagt, geht es um die letzte Ziffer einer Zahl. Diese Ziffer bestimmt die jeweilige Teilbarkeit.
Wie das Wort besagt, geht es um die letzte Ziffer einer Zahl. Diese Ziffer bestimmt die jeweilige Teilbarkeit.


<br />{{Box|Info|Eine Zahl ist nur dann


*        durch 2 teilbar, wenn die <u>Endziffer</u> 2; 4; 6; 8 oder 0 ist.
{{Box|Merke: Endziffernregeln|
*        durch 5 teilbar, wenn die <u>Endziffer</u> 5 oder 0 ist.
[[Datei:Merkkasten Endziffernregeln.jpg|600px]]|Merksatz}}
*        durch 10 teilbar, wenn die <u>Endziffer</u> 0 ist.
 
*        durch 4 teilbar, wenn die '''<u>zwei</u> letzten Ziffern''' eine <u>durch 4 teilbare Zahl</u> bilden.
 
*        durch 8 teilbar, wenn die '''<u>drei</u> letzten Ziffern''' eine <u>durch 8 teilbare Zahl</u> bilden.
 
*        durch 25 teilbar, wenn die <u>letzten beiden Ziffern</u> 00; 25; 50 oder 75 sind.|Kurzinfo}}


'''Beispiele:'''
'''Beispiele:'''
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{{Box|Übung 1: Endziffernregeln|Wende dein Wissen über die Endziffernregeln in den LearningApps an|Üben}}
{{Box|Übung 1: Endziffernregeln|Wende dein Wissen über die Endziffernregeln in den LearningApps an|Üben}}
{{LearningApp|app=pz19sjk4n19|width=100%|height=400px}}
{{LearningApp|app=pmw7cedut24|width=100%|height=400px}}
{{LearningApp|app=pigdiugwa19|width=100%|height=400px}}
{{LearningApp|app=ph8fqu75522|width=100%|height=400px}}
{{LearningApp|app=pw8kvjrcc19|width=100%|height=400px}}
Originallink https://www.geogebra.org/m/a2au34jt
{{LearningApp|app=pqakit8v519|width=100%|height=400px}}
<ggb_applet id="emnnvsen" width="800" height="600" border="888888" />
{{LearningApp|app=p14q4gmda19|width=100%|height=600px}}
<small>Applet des FLINK Teams</small>
{{LearningApp|app=p88enyoet19|width=100%|height=300px}}
{{Lösung versteckt|1=Link zur Übungsseite des FLINK Teams auf GeoGebra: https://www.geogebra.org/m/zecjkn3s#chapter/1032892|2=Link zur Übungsseite des FLINK Teams auf GeoGebra|3=Verbergen}}
{{Box|Aufgabe|Löse im Buch die Nr.: 2, 3, 4, 5 und 6 auf Seite 32|Üben}}
 
{{Box|Übung 2 - Aufgaben im Buch|Löse die folgenden Aufgaben aus dem Buch. Vergleiche deine Lösungen.
* S. 32, Nr. 2 (oben als App)
* S. 32, Nr. 3 (oben als App)
* S. 32, Nr. 4
* S. 32, Nr. 5
* S. 32, Nr. 6
* S. 32, Nr. 8|Üben}}
{{Lösung versteckt|Nr. 2a)<br>
{{Lösung versteckt|Nr. 2a)<br>
2; 5 und 10&#124;90<br>
2; 5 und 10&#124;90<br>
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5600; 5604; 5608; 5612; 5616; 5620; 5624; 5628; 5632; 5636; 5640; 5644, 5648; 5652; 5656; 5660; 5664; 5668; 5672; 5676; 5680; 5684; 5688; 5692; 5696<br> also 25 Zahlen|Lösungen zu Nr. 6|Schließen}}
5600; 5604; 5608; 5612; 5616; 5620; 5624; 5628; 5632; 5636; 5640; 5644, 5648; 5652; 5656; 5660; 5664; 5668; 5672; 5676; 5680; 5684; 5688; 5692; 5696<br> also 25 Zahlen|Lösungen zu Nr. 6|Schließen}}


'''2. Die Quersummenregeln'''
{{Box|Sprinteraufgabe - Teilbarkeit durch 25|Welche Endziffern muss eine Zahl haben, damit sie durch 25 teilbar ist?
 
* S. 32, Nr. 9|Üben}}
<br />{{Box|Info|Die Summe der Ziffern einer Zahl heißt '''Quersumme'''.
 
Eine Zahl ist nur dann
 
*        durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
*        durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.|Kurzinfo}}
 
'''Beispiele:'''
 
1728 ist durch 3 und 9 teilbar, da die Quersumme 1 + 7 + 2 + 8 = 18 durch 3 und 9 teilbar ist.
 
7467 ist durch 3, aber nicht durch 9 teilbar, da die Quersumme 7 + 4 + 6 + 7 = 24 durch 3, aber nicht durch 9 teilbar ist.
 
2615 ist weder durch 3 noch durch 9 teilbar, denn die Quersumme 14 ist weder durch 3 noch durch 9 teilbar.
 
<br />
 
{{#ev:youtube|hAN4Fjzqax4}}
 
{{Box|Übung 1: Quersummenregeln|Wende dein Wissen über die Quersummenregeln in den LearningApps an|Üben}}
{{LearningApp|app=p47v5un6k20|width=100%|height=400px}}
{{LearningApp|app=p152w5y2k20|width=100%|height=400px}}
{{LearningApp|app=prm1jmc9a21|width=100%|height=400px}}
{{LearningApp|app=pcycpfit320|width=100%|height=400px}}
 
{{Box|Aufgabe|Löse im Buch die Nr.: 1, 2, 3, 4, 5 und 6 auf den Seiten 33 und 34|Üben}}
 
{{Lösung versteckt|Nr. 1<br><nowiki> Zahl 35 und Quersumme: 3 + 5 =8 </nowiki><br>
<nowiki>Zahl 87 und Quersumme: 8 + 7 = 15 </nowiki><br>
<nowiki>Zahl 94 und Quersumme: 9 + 4 = 13 </nowiki><br>
<nowiki>Zahl 150 und Quersumme: 1 + 5 + 0 = 6 </nowiki><br>
<nowiki>Zahl 101 und Quersumme: 1 + 0 + 1 = 2 </nowiki><br>
<nowiki>Zahl 143 und Quersumme: 1 + 4 + 3 = 8 </nowiki><br>
<nowiki>Zahl 135 und Quersumme: 1 + 3 + 5 = 9 </nowiki><br>
<nowiki>Zahl 207 und Quersumme: 2 + 0 + 7 = 9 </nowiki><br>
<nowiki>Zahl 189 und Quersumme: 1 + 8 + 9 = 18 </nowiki><br>
<nowiki>Zahl 226 und Quersumme: 2 + 2 + 6 = 10</nowiki><br>|Lösungen zu Nr. 1|Schließen}}
 
{{Lösung versteckt|Nr. 2<br>
Zahlen, die durch drei teilbar sind, da die Quersumme durch drei teilbar ist:<br>
a) 165    Quersumme 12 <br>
b) 213    Quersumme 6 <br>
c) 678    Quersumme 21 <br>
d) 921    Quersumme 12 <br>
f) 3942  Quersumme 18 <br>
i) 51723  Quersumme 18 <br>
j) 82464  Quersumme 24 <br>
k) 33771  Quersumme 21 <br>
l) 48331  Quersumme 24 <br>
m) 349752 Quersumme 30 <br>
0) 602427 Quersumme 21 <br>
 
Zahlen, die <u>nicht</u> durch drei teilbar sind, da die Quersumme <u>nicht</u><br>
durch drei teilbar ist:<br>
e) 1049  Quersumme 14 <br>
g) 7201  Quersumme 10 <br>
n) 509486 Quersumme 32 <br>
|Lösungen zu Nr. 2|Schließen}}
 
{{Lösung versteckt|Nr. 3<br>
Zahlen, die durch neun teilbar sind, da die Quersumme durch neun teilbar ist:<br>
b) 252    Quersumme 9 <br>
c) 423    Quersumme 9 <br>
e) 8640  Quersumme 21 <br>
f) 1296  Quersumme 18 <br>
h) 8298  Quersumme 27 <br>
i) 99999  Quersumme 45 <br>
j) 17388  Quersumme 27 <br>
n) 123456789  Quersumme 45 <br>
 
Zahlen, die <u>nicht</u> durch neun teilbar sind, da die Quersumme <u>nicht</u><br>
durch neun teilbar ist:<br>
a) 181  Quersumme 10 <br>
d) 780  Quersumme 15 <br>
g) 5861 Quersumme 20 <br>
k) 47653  Quersumme 25 <br>
l) 27496  Quersumme 28 <br>
m) 123456 Quersumme 21 <br>
|Lösungen zu Nr. 3|Schließen}}
 
{{Lösung versteckt|Nr. 4<br>
Zahlen, die durch drei teilbar sind:<br>
12345654321<br>
7563<br>
5796<br>
17322<br>
99075<br>
123456789<br>
Zahlen, die durch drei und neun teilbar sind<br>
durch neun teilbar ist:<br>
12345654321<br>
5796<br>
123456789<br>
|Lösungen zu Nr. 4|Schließen}}
 
 
{{Lösung versteckt|Nr. 5<br>
a) 252; 255; 258<br>
b) 732; 735; 738<br>
c) 924; 954; 984<br>
d) 156; 456; 756<br>
e) 2256; 5256; 8256<br>
f) 2001; 2031; 2061; 2091<br>
g) 8652; 8655; 8658 <br>
h) 1002; 1005; 1008<br>
|Lösungen zu Nr. 5|Schließen}}
 
{{Lösung versteckt|Nr. 6<br>
 
a) 141; 741    <br>
b) 318; 348    <br>
c) 651; 654    <br>
d) 420; 480    <br>
e) 6339; 6639  <br>
f) 7203; 7206  <br>
g) 3210; 3270  <br>
h) 4440; 4443; 4449  <br>
i) 31812; 31872  <br>
j) 33726; 63726  <br>
k) 90228; 90528  <br>
l) 10002; 10005  <br>
|Lösungen zu Nr. 6|Schließen}}
 
Hier kannst du noch einmal üben. Stelle die Schwierigkeit für dich passend ein.
<ggb_applet id="m4yvwrsh" width="836" height="599" border="888888" />
 
<ggb_applet id="sxnpbyfd" width="837" height="599" border="888888" />
 
====''' Zusammengesetzte Teilbarkeit'''====
 
Schau dir das folgende Video an:{{#ev:youtube|x5q3njLmpe8}}
 
Überprüfe dein Wissen mit folgender LearningApp:
 
{{LearningApp|app=pjirgcvun20|width=100%|height=400px}}
 
{{Box|Aufgabe|Bearbeite die Aufgaben 9 und 10 auf Seite 34.<br> Notiere und ergänze zu 9a nach der Bearbeitung folgenden Satz: Eine Zahl ist durch 12 teilbar, wenn sie durch ___ und ___ teilbar ist.<br>
Notiere dasselbe für die Zahl 15 bei Nummer 9b.|Üben
}}
 
{{Lösung versteckt|1=Nr. 9<br>
 
a) 492; Quersumme: 4 + 9 + 2 = 15 => teilbar durch 3; die letzten beiden Ziffern bilden die Zahl 92, die durch 4 teilbar ist      <br>
1260; Quersumme: 1 + 2 + 6 = 9 => teilbar durch 3; die letzten beiden Ziffern bilden die Zahl 60, die durch 4 teilbar ist      <br> 
Eine Zahl ist durch 12 teilbar, wenn sie durch 3 und 4 teilbar ist.<br>
 
b) 540; Quersumme: 5 + 4 = 9 => teilbar durch 3; die letzte Ziffer ist eine 0, somit ist die Zahl durch 5 teilbar    <br>
5580 Quersumme: 5 + 5 + 8 + 0 = 18 => teilbar durch 3; die letzte Ziffer ist eine 0, somit ist die Zahl durch 5 teilbar      <br>
1560 Quersumme: 1 + 5 + 6 + 0 = 12 => teilbar durch 3; die letzte Ziffer ist eine 0, somit ist die Zahl durch 5 teilbar  <br>
7785  Quersumme: 7 + 7 + 8 + 5 = 27 => teilbar durch 3; die letzte Ziffer ist eine 5, somit ist die Zahl durch 5 teilbar  <br>
Eine Zahl ist durch 15 teilbar, wenn sie durch 3 und 5 teilbar ist.<br>
|2=Lösungen zu Nr. 9|3=Schließen}}
 
{{Lösung versteckt|Nr. 10a)<br>
 
2088 und 1332 <br>
 
Regel: Die Zahlen sind durch 4 und 9 teilbar, da die letzten beiden Ziffern eine durch 4 teilbare Zahl bilden und die Quersumme durch 9 teilbar ist.<br> 
 
 
b) 36  <br>
 
|Lösungen zu Nr. 10|Schließen}}
 
Hausaufgabe: Aufgabe 8 auf Seite 34
 
====''' Primzahlen'''====
 
Eine Zahl heißt Primzahl, wenn sie genau zwei Teiler hat, die "Eins" und sich selbst.
 
Beispiele:
 
Die ersten zehn Primzahlen sind 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23 und 29.<br>
 
Um zu prüfen, ob die Zahl 97 eine Primzahl ist, geht man die möglichen Teiler durch.<br>
 
Geschicktes Überlegen spart dabei viel Arbeit.<br>
 
*<u>2 ist kein Teiler</u> von 97. Deshalb sind auch die <u>'''Vielfachen''' von 2</u> (also 4; 6; 8; 10; ...) <u>keine Teiler</u> von 97.
*<u>3 ist kein Teiler</u> von 97. Deshalb sind auch die <u>'''Vielfachen''' von 3</u>, also 6; 9; 12;... <u>keine Teiler</u> von 97.
*<u>5 ist kein Teiler</u> von 97. Deshalb sind auch die <u>'''Vielfachen''' von 5</u>, also 10; 15; 20;... <u>keine Teiler</u> von 97.
*7 ist kein Teiler von 97. Denn 97 : 7 = 13 Rest 6.
*11 ist kein Teiler von 97. Denn 97 : 11 = 8 Rest 9.
 
Zahlen, die größer als 11 sind, braucht man als Teiler nicht mehr ausprobieren. Die Zahlen bis 10 sind aber schon überprüft.
 
 
 
Schau dir das folgende Video an:{{#ev:youtube|rs7G5srTni4}}
 
====''' Das Sieb des Eratosthenes'''====
 
{{Box|Aufgabe|Finde alle Primzahlen von 1 bis 1000.
Gehe auf den folgenden Link und bearbeite das Sieb des Eratosthenes.<br>
Stelle dazu in der Mitte ''Entfernen'' ein und klicke auf ''Vielfache''. <br>
Gehe nun die einzelnen Primzahlen durch, indem du immer wieder auf ''Vielfache'' drückst. Beobachte was passiert.
Beschreibe im Heft kurz deine Beobachtungen.|Üben
}}
 
 
<ggb_applet id="dCK22eYY" width="900" height="600" border="888888" />
 
{{Box|Aufgabe|Folge dem untenstehenden Link, nimm dir einen Würfel und ein Arbeitsblatt von deinem Lehrer. Spiele mit deinem Partner.|Üben
}}
 
https://www.mathe-online.at/materialen/lisa.hauszer/files/Primzahlen/Primzahlen_HimmelUnd_Spiel_LH.pdf
 
{{Box|Übung: Primzahlen|Wende dein Wissen über die Primzahlen an und löse die Aufgaben 1–4 auf Seite 35|Üben
}}
 
====''' Primfaktorzerlegung'''====
{{Box|1=Info|2=Bei der Primfaktorzerlegung wird eine Zahl in möglichst kleine Primzahlen zerlegt. Diese Primzahlen werden miteinander multipliziert.<br>
Was sind Primfaktoren?
Das sind Primzahlen, die miteinander multipliziert werden. Das Wort Faktor sollte noch von der Multiplikation bekannt sein: Erster Faktor mal zweiter Faktor gleich Produkt, zum Beispiel 3 · 4 = 12.<br>
 
Beispiel: Die Zahl 72 soll in Primfaktoren zerlegt werden:
 
72 =  9  ·  8 <br>
72 = 3 · 3 ·  8 <br>
72 = 3 · 3 · 2 ·  4 <br>
72 = 3 · 3 · 2 · 2 ·  2 <br>
|3=Kurzinfo}}
 
Schau dir das folgende Video an:{{#ev:youtube|7Z-bwJ5F6-M}}
 
{{Box|Aufgabe|Lies dir den grünen Kasten auf Seite 36 durch und bearbeite im Anschluss
 
Nr. 10<br>
Nr. 11<br>
Nr. 12 |Üben}}
 
Deine Lösungen von Nummer 10 kannst Du mit folgendem Primzahlfaktorenrechner überprüfen: <br>
 
https://rechneronline.de/primfaktoren/
 
{{Lösung versteckt|Nr. 11<br>
a) 70<br>
b) 210<br>
c) 950 <br>
|Lösungen zu Nr. 11|Schließen}}
 
{{Lösung versteckt|Nr. 12<br>
a) Nein, hier ist eine 2 zu viel.
b) Das Ergebnis ist richtig<br>
c) Das Ergebnis ist richtig<br>
d) Nein, die Primfaktorzerlegung müsste lauten: 2 · 2 · 2 · 2 · 11
|Lösungen zu Nr. 12|Schließen}}
'''<u>'''
Sprinteraufgabe:</u>'''<br>'''
Bearbeite die Aufgabe unten auf der Seite unter den Beispielen


https://www.gut-erklaert.de/mathematik/primfaktorzerlegung-primfaktoren.html
{{Fortsetzung|weiter=3) Quersummenregeln|weiterlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Teilbarkeit/3) Quersummenregeln|vorher= 1) Teiler und Vielfache|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Teilbarkeit/1) Teiler und Vielfache}}

Aktuelle Version vom 28. September 2024, 15:26 Uhr

Schullogo HLR.jpg


Die Endziffernregeln

Wie das Wort besagt, geht es um die letzte Ziffer einer Zahl. Diese Ziffer bestimmt die jeweilige Teilbarkeit.


Merke: Endziffernregeln
Merkkasten Endziffernregeln.jpg



Beispiele:

3156 ist durch 2 teilbar, da die Endziffer 6 durch 2 teilbar ist.

3156 ist durch 4 teilbar, da 56 durch 4 teilbar ist.

3156 ist nicht durch 5 teilbar, da die Endziffer weder eine 0 noch eine 5 ist.

3156 ist nicht durch 8 teilbar, da 156 nicht durch 8 teilbar ist.

3250 ist durch 10 teilbar, da die Endziffer eine 0 ist.

3250 ist nicht durch 4 teilbar, da 50 nicht durch 4 teilbar ist.

3250 ist durch 25 teilbar, da die letzten beiden Ziffern 50 sind.

6848 ist durch 4 teilbar, da 48 durch 4 teilbar ist.

6848 ist nicht durch 5 teilbar, da die Endziffer weder eine 0 noch eine 5 ist.

6848 ist durch 8 teilbar, da 848 durch 8 teilbar ist.



Übung 1: Endziffernregeln
Wende dein Wissen über die Endziffernregeln in den LearningApps an


Originallink https://www.geogebra.org/m/a2au34jt

GeoGebra

Applet des FLINK Teams

Link zur Übungsseite des FLINK Teams auf GeoGebra: https://www.geogebra.org/m/zecjkn3s#chapter/1032892


Übung 2 - Aufgaben im Buch

Löse die folgenden Aufgaben aus dem Buch. Vergleiche deine Lösungen.

  • S. 32, Nr. 2 (oben als App)
  • S. 32, Nr. 3 (oben als App)
  • S. 32, Nr. 4
  • S. 32, Nr. 5
  • S. 32, Nr. 6
  • S. 32, Nr. 8

Nr. 2a)
2; 5 und 10|90
2; 5 und 10 | 110
5 |225
5 |765
5 |825
b) 2|1258
2; 5 und 10|2270
2; 5 und 10|3280
5|6475
2; 5 und 10|8500
c)5|11075
2|13406

5|37895

Nr. 3
a)116; 428; 532; 740
b)1000; 1152; 3172: 4184; 7192

c)15300

Nr. 4)
a)2 teilt 374, da die Endziffer durch 2 teilbar ist.
b)2 teilt nicht 3983, da die Endziffer nicht durch 2 teilbar ist.
c)2 teilt 8590, da die Endziffer durch 2 teilbar ist.
d)5 teilt nicht 954, da die Endziffer nicht durch 5 teilbar ist.
e)5 teilt nicht 948, da die Endziffer nicht durch 5 teilbar ist.
f)5 teilt 6410, da die Endziffer durch 5 teilbar ist.
g)10 teilt 320, da die Endziffer durch 10 teilbar ist.
h)10 teilt nicht 1092, da die Endziffer nicht durch 10 teilbar ist.
i)10 teilt nicht 4005, da die Endziffer nicht durch 10 teilbar ist.
j)4 teilt 264, da 64 durch 4 teilbar ist.
k)4 teilt 9852, da 52 durch 4 teilbar ist.
l)4 teilt 8360, da 60 durch 4 teilbar ist.

Nr. 5
durch 2 teilbar: 7350; 366; 738; 480; 576; 1586; 890; 8092
durch 4 teilbar: 480; 576; 8092
durch 5 teilbar: 7350; 480; 225; 890; 8535
durch 10 teilbar: 7350; 480; 890

Nr. 6

5600; 5604; 5608; 5612; 5616; 5620; 5624; 5628; 5632; 5636; 5640; 5644, 5648; 5652; 5656; 5660; 5664; 5668; 5672; 5676; 5680; 5684; 5688; 5692; 5696
also 25 Zahlen


Sprinteraufgabe - Teilbarkeit durch 25

Welche Endziffern muss eine Zahl haben, damit sie durch 25 teilbar ist?

  • S. 32, Nr. 9