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| SEITE IM AUFBAU
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| | [[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]] |
| {{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}} | | {{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}} |
| | <br> |
| {{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen| Quadratische Funktionen - Startseite]]<br> | | {{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen| Quadratische Funktionen - Startseite]]<br> |
| [[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Quadratische Funktionen entdecken|1 Quadratische Funktionen entdecken]]}} | | [[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Quadratische Funktionen entdecken|1 Quadratische Funktionen entdecken]]<br> |
| [[Datei:Duisburg-Friedrich-Ebert-Brücke.jpg|mini|links|<small>© Raimond Spekking / CC BY-SA 4.0 (via Wikimedia Commons)</small>|652x652px]][[Datei:Essen Grugapark Wasserfontäne.jpg|mini|links|Jardín de flores |473x473px]][[Datei:EVD-saltolargo-145.jpg|ohne|mini|Künstler: User:Evdcoldeportes|479x479px]] | | [[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Normalparabel|2 Die Normalparabel f(x) = x²]]<br> |
| | [[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Gestreckte und gestauchte Parabel|3 Die gestreckte und gestauchte Parabel: Bedeutung des Parameters '''a '''in f(x) = '''a'''x²]]<br> |
| | [[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Verschiebung entlang der y-Achse|4 Die verschobene Parabel: Bedeutung des Parameters''' c''' in f(x) = ax² + '''c''']]<br> |
| | [[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Scheitelpunktform|5 Die Scheitelpunktform quadratischer Funktionen f(x) = a(x+d)² + e]]<br> |
| | [[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Normalform|6 Die Normalform f(x) = x² + px + q und die allgemeine Form quadratischer Funktionen f(x) = ax² + bx + c]]<br> |
| | [[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Nullstellen|7 Nullstellen quadratischer Funktionen]]<br> |
| | [[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Modellieren|8 Modellieren (Anwendungsaufgaben)]]}} |
| | [[Datei:Duisburg-Friedrich-Ebert-Brücke.jpg|652x652px|links|<small>© Raimond Spekking / CC BY-SA 4.0 (via Wikimedia Commons)</small>]][[Datei:Essen Grugapark Wasserfontäne.jpg|links|Jardín de flores |300x300px]][[Datei:EVD-saltolargo-145.jpg|ohne|mini|Künstler: User:Evdcoldeportes|400x400px]]<br> |
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| <br> | | <br> |
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| ===1 Mathematik im Sportunterricht - Quadratische Funktionen entdecken=== | | ===1 Mathematik im Sportunterricht - Quadratische Funktionen entdecken=== |
| {{Box|Mathematik im Sportunterricht|[[Datei:Wurfparabel Ballwurf.jpg|rechts|rahmenlos]]Wähle eine Wurf-bzw. Stoßbewegung aus und beantworte die nachfolgenden Fragen. | | {{Box|Mathematik im Sportunterricht|[[Datei:Basketball Bild HLR.png|rechts|rahmenlos]]Wähle eine Wurf-bzw. Stoßbewegung aus und beantworte die nachfolgenden Fragen. |
| * Weitwurf | | * Weitwurf |
| * Kugelstoßen | | * Kugelstoßen |
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| {{!}} Nullstelle | | {{!}} Nullstelle |
| y = 0 | | y = 0 |
| {{!)}}{{!}}{{!}}|2=Mathematische Bedeutung der Fragen|3=Verbergen}} | | {{!)}}<br> |
| | |2=Mathematische Bedeutung der Fragen|3=Verbergen}} |
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| {{Box|Übung 1 (HA)|Suche parabelförmige Bögen in deiner Umgebung. Fotografiere mindestens eine Parabel, notiere, wo du sie entdeckt hast und wie sie aussieht (z.B. breit, schmal, nach oben oder nach unten geöffnet). Lade das Foto im Gruppenordner Mathematik hoch.|Üben}} | | {{Box|Übung 1 (HA)|Suche parabelförmige Bögen in deiner Umgebung. Fotografiere mindestens eine Parabel, notiere, wo du sie entdeckt hast und wie sie aussieht (z.B. breit, schmal, nach oben oder nach unten geöffnet). Lade das Foto im Gruppenordner Mathematik hoch.|Üben}} |
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| {{Box|Übung 2 Parabel und Gleichung|* Skizziere die Flugkuren/Bögen aus den Applets in dein Heft. | | {{Box|Übung 2 Parabel und Gleichung|* Skizziere die Flugkurven/Bögen aus den Applets in dein Heft. |
| * Notiere die passende Funktionsgleichung. | | * Notiere die passende Funktionsgleichung. |
| * Notiere Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Flugkurven und Funktionsgleichungen.|Üben}} | | * Notiere Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Flugkurven und Funktionsgleichungen.|Üben}} |
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| Beispiel 1:<br> | | {{Lösung versteckt|1=Links zu den Applets der 9a 2023 2024:<br> |
| Link zum Applet (falls es nicht vollständig dargestellt wird): [https://www.geogebra.org/m/b7pqybdv]<br> | | Wurf https://www.geogebra.org/m/k9zju6rf <br> |
| <ggb_applet id="es55tfdb" width="1020" height="695" border="888888" /> | | Tischtennis https://www.geogebra.org/classic/rj6mv7pv<br> |
| | Fußball: https://www.geogebra.org/m/sxh99kru<br> |
| | Badminton: https://www.geogebra.org/m/w29w4hjx <br>|2=Flugkurven 9a 2023 2024 (Links zu den GeoGebra-Applets)|3=Verbergen}} |
| | {{Lösung versteckt|1=Links zu den Applets der 9b 2023 2024:<br> |
| | Wurf auf die Mülltonne: https://www.geogebra.org/m/zfgkppmn<br> |
| | Wurf auf die Bank: https://www.geogebra.org/m/bzhnrydq<br> |
| | Wurf Tennisball https://www.geogebra.org/m/yrnxme64<br> |
| | Tischtennis: https://www.geogebra.org/m/pgdvm87z<br>|2=Würfe 9b 2023 2024 (Links zu den GeoGebra-Applets) |
| | |3=Verbergen}} |
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| | Beispiel 1: Korbwurf 10b 2023 2024<br> |
| | Link zum Applet (falls es nicht vollständig dargestellt wird): https://www.geogebra.org/m/tkdcma2h<br> |
| | <ggb_applet id="tkdcma2h" width="1274" height="756" border="888888" /> |
| Applet von C. Buß-Haskert<br> | | Applet von C. Buß-Haskert<br> |
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| Beispiel 2:<br> | | Beispiel 2: Kugelstoß 10b 2023 2024<br> |
| Link zum Applet (falls es nicht vollständig dargestellt wird): [https://www.geogebra.org/m/esyvbkcu]<br> | | Link zum Applet (falls es nicht vollständig dargestellt wird): https://www.geogebra.org/m/hmazfya9<br> |
| <ggb_applet id="esyvbkcu" width="1052" height="760" border="888888" /> | | <ggb_applet id="hmazfya9" width="1536" height="802" border="888888" /> |
| Applet von C. Buß-Haskert<br> | | Applet von C. Buß-Haskert<br> |
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| Beispiel 3:<br> | | Beispiel 3: Ballwurf 10b 2023 2024<br> |
| Link zum Applet (falls es nicht vollständig dargestellt wird): [https://www.geogebra.org/m/pt9j34yt]<br> | | Link zum Applet (falls es nicht vollständig dargestellt wird): https://www.geogebra.org/m/svrkmjct<br> |
| <ggb_applet id="pt9j34yt" width="1068" height="691" border="888888" /> | | <ggb_applet id="svrkmjct" width="1340" height="734" border="888888" /> |
| Applet von C. Buß-Haskert<br> | | Applet von C. Buß-Haskert<br> |
| | |
| | Beispiel 4: Weitsprung 10b 2023 2024<br> |
| | Link zum Applet (falls es nicht vollständig dargestellt wird): https://www.geogebra.org/m/twt9sbmp<br> |
| | <ggb_applet id="twt9sbmp" width="1394" height="686" border="888888" /> |
| | Applet von C. Buß-Haskert |
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| | weiter Anwendungen:<br> |
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| Link zum Applet (falls es nicht vollständig dargestellt wird): [https://www.geogebra.org/m/SYvynYvH]<br> | | Link zum Applet (falls es nicht vollständig dargestellt wird): [https://www.geogebra.org/m/SYvynYvH]<br> |
| Zeile 69: |
Zeile 109: |
| Applet von Bobby Knurek<br> | | Applet von Bobby Knurek<br> |
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| Link zum Applet (falls es nicht vollständig dargestellt wird):[https://www.geogebra.org/m/xqrwxs77] br> | | Link zum Applet (falls es nicht vollständig dargestellt wird):[https://www.geogebra.org/m/xqrwxs77] <br> |
| <ggb_applet id="pds2u3jn" width="519" height="659" border="888888" /> | | <ggb_applet id="pds2u3jn" width="519" height="659" border="888888" /> |
| Applet von Luc Morth<br> | | Applet von Luc Morth<br> |
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| Link zum Applet (falls es nicht vollständig dargestellt wird):[https://www.geogebra.org/m/kAmAHEzU] | | Link zum Applet: https://www.geogebra.org/m/qzqfzmvk |
| <ggb_applet id="UEdR9CNz" width="1890" height="839" border="888888" /> | | <ggb_applet id="r4dwbgrp" width="1890" height="1000" border="888888" /> |
| Applet von G.von Lechberg<br> | | <small>Applet von G.von Lechberg<br> |
| | </small> |
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| {{Box|1=Ergebnis: Quadratische Funktionen|2=Die Funktionsgleichungen quadratischer Funktionen haben immer die Form<br> | | {{Box|1=Ergebnis: Quadratische Funktionen|2=Die Funktionsgleichungen quadratischer Funktionen haben immer die Form<br> |
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| {{Fortsetzung|weiter=2 Die Normalparabel|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Normalparabel}} | | {{Fortsetzung|weiter=2 Die Normalparabel|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Normalparabel}} |
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| ===2 Die Normalparabel===
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| {{Box|1=Die Normalparabel|2=Die einfachste Form der quadratischen Funktionen lautet '''<big>f(x) = x²</big>'''. <br>
| |
| Der Graph der quadratischen Funktion '''<big>f(x) = x²</big>''' heißt <big>'''Normalparabel'''</big>.<br>
| |
| Erstelle eine Wertetabelle und zeichne die Normalparabel in dein Heft. <br>
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| {{(!}} class=wikitable
| |
| {{!-}}
| |
| {{!}} x
| |
| {{!}} -2
| |
| {{!}} -1
| |
| {{!}} -0,5
| |
| {{!}} 0
| |
| {{!}} 0,5
| |
| {{!}} 1
| |
| {{!}} 2
| |
| {{!-}}
| |
| {{!}} f(x)=x²
| |
| {{!}} 4
| |
| {{!}}...
| |
| {{!}}...
| |
| {{!}}...
| |
| {{!}}...
| |
| {{!}}...
| |
| {{!}}...
| |
| {{!)}}
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| |
| Beschreibe die Parabel:<br>
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| * Wie verläuft der Graph im Koordinatensystem?
| |
| * Wie ist die Lage des Graphen im Koordiantensystem?
| |
| * Welche Form hat der Graph?
| |
| |3=Arbeitsmethode}}
| |
| <br>
| |
| Erinnerung: (-2)² = (-2)·(-2) = +4<br>
| |
| (Falls du später den Taschenrechner benutzt, denke an die Klammer, falls die Zahl ein Minuszeichen als Vorzeichen hat.)<br>
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|
| |
| {{Lösung versteckt|[[Datei:F(x) = x².png|rahmenlos]]|Hilfe zum Schaubild|Verbergen}}
| |
| {{Lösung versteckt|1=Fülle den Lückentext aus.<br>
| |
| {{LearningApp|app=prohah15a20|width=100%|height=900px}}|2=Hilfe zur Beschreibung der Normalparabel|3=Verbergen}}
| |
| {{Lösung versteckt|Vergleiche deine Lösung:<br>
| |
| [[Datei:Beschreibung der Normalparabel.png|rahmenlos|539x539px]]|Vergleiche deine Lösung|Verbergen}}
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| {{Box|Übung 3:Punkte auf der Normalparabel|Du hast eine Wertetabelle für die Normalparabel erstellt und diese gezeichnet. Prüfe nun zeichnerisch und rechnerisch, welche Punkte auf der Normalparabel liegen bzw. bestimme die fehlende Koordinate.
| |
| * S. 11 Nr. 6 (Tipps unten!, Beispiel)
| |
| * S. 11 Nr. 5
| |
| * S. 11 Nr. 7|Üben}}
| |
| Du kannst mithilfe des Schaubildes (Normalparabel) entscheiden, welche Punkte auf der Normalparabel liegen und welche nicht:<br>
| |
| [[Datei:SP 10 Punktprobe S.11 Nr. 6.png|rahmenlos|600x600px]]<br>
| |
| Wie kannst du rechnerisch prüfen, ob ein Punkt auf der Normalparabel liegt oder nicht?
| |
| {{Box|Liegt ein Punkt auf der Parabel? - Punktprobe|Um zu prüfen, ob ein Punkt auf der Parabel liegt, setze in die Funktionsgleichung die Werte der Koordinaten für x und y ein.<br>
| |
| Ergibt sich eine wahre Aussage (w), liegt der Punkt auf der Parabel, entsteht eine falsche Aussage (f), so liegt der Punkt nicht auf der Parabel.|Kurzinfo}}
| |
| Beispiel:<br>
| |
| Liegt der Punkt I(<span style="color:red">2,5</span>|<span style="color:blue">6,25</span>) auf der Normalparabel?<br>
| |
| <span style="color:blue">f(x)</span> = <span style="color:red">x</span>²<br>
| |
| <span style="color:blue">6,25</span> = <span style="color:red">2,5</span>²<br>
| |
| 6,25 = 6,25 '''(w)''', also liegt der Punkt I auf der Normalparabel.<br>
| |
| <br>
| |
| Liegt der Punkt H(<span style="color:red">-1,5</span>|<span style="color:blue">-2,25</span>) auf der Normalparabel?<br>
| |
| <span style="color:blue">f(x)</span> = <span style="color:red">x</span>²<br>
| |
| <span style="color:blue">-2,25</span> = <span style="color:red">(-1,5)</span>²<br>
| |
| -2,25 = 2,25 '''(f)''', also liegt der Punkt H '''nicht''' auf der Normalparabel.<br>
| |
| <br>
| |
| {{Box|Fehlende Koordinate bestimmen|Um eine fehlende Koordinate zu bestimmen, setze die gegebene Koordinate passend in die Funktionsgleichung ein und löse die Gleichung nach der fehlenden Koordinate auf.|Kurzinfo}}
| |
| Beispiel:<br>
| |
| [[Datei:SP 10 S. 11 Nr. 5 fehlende Koordinate y.png|rechts|rahmenlos|200x200px]]Bestimme die fehlende Koordinate von P(<span style="color:red">6</span>|__) auf der Normalparabel.<br>
| |
| f(x) = <span style="color:red">x</span>²<br>
| |
| <span style="color:blue">y</span> = <span style="color:red">6</span>²<br>
| |
| y = 36, also P(6|36)<br>
| |
| <br>
| |
| <br>
| |
| <br>
| |
| [[Datei:SP 10 S. 11 Nr. 5 fehlende Koordinate berechnen.png|rechts|rahmenlos|200x200px]]Bestimme die fehlende Koordinate von Q(__|<span style="color:blue">1,69</span>) auf der Normalparabel.<br>
| |
| <span style="color:blue">f(x)</span> = <span style="color:red">x</span>²<br>
| |
| <span style="color:blue">1,69</span> = <span style="color:red">x</span>² |<math>\surd</math><br>
| |
| <math>\pm \sqrt{1,69}</math> = x <br>
| |
| 1,3 = x<sub>1</sub>; -1,3 = x<sub>2</sub>, also lautet Q<sub>1</sub>(1,3|1,69) und Q<sub>2</sub>(-1,3|1,69).<br>
| |
| Es gibt zwei Punkte, die den y-Wert 1,69 haben, denn die Normalparabel ist symmetrisch zur y-Achse.
| |
| <br>
| |
| <br>
| |
| <br>
| |
| <br>
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| |
| ===3 Die gestreckte und gestauchte Parabel: Bedeutung des Parameters''' a''' in f(x) = '''a'''x²===
| |
| Link zum Applet (falls es nicht vollständig dargestellt wird):[https://www.geogebra.org/m/kAmAHEzU]
| |
| <ggb_applet id="UEdR9CNz" width="1890" height="839" border="888888" />
| |
| Applet von G.von Lechberg<br>
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| |
| {{Box|1=f(x) = ax² Bedeutung des Parameters a|2= Untersuche die Bedeutung des Parameters a in der Gleichung f(x) = ax² mithilfe der Geometriesoftware GeoGebra.
| |
| * Gib im Algebrafenster die Gleichung f(x) = x² ein. Es wird die Normalparabel gezeichnet.
| |
| * Erstelle einen Schieberegler a mit der Schrittweite 0,1.
| |
| * Gib im Algebrafenster die Gleichung f(x) = ax² ein. Verändere den Wert von a mithilfe des Schiebereglers.
| |
| * Wie verändert sich die Parabel? Notiere deine Beobachtungen.|3=Lösung|Icon=brainy hdg-tablet04}}
| |
| {{Lösung versteckt|1=Wie erstelle ich einen Schieberegler für die Funktionsgleichung f(x) = ax²?<br>
| |
| Gehe vor, wie in den Bildern beschrieben:<br>
| |
| [[Datei:GeoGebra Normalparabel zeichnen.png|rahmenlos|800x800px]]<br>
| |
| [[Datei:GeoGebra Schieberegler a erstellen.png|rahmenlos|800x800px]]<br>
| |
| [[Datei:GeoGebra Schieberegler Schrittweite.png|rahmenlos|800x800px]]<br>
| |
| [[Datei:Geogebra Schieberegler fertig.png|rahmenlos|800x800px]]<br>
| |
| [[Datei:GeoGebra Funktionsgleichung mit Schieberegler.png|rahmenlos|800x800px]]<br>
| |
| [[Datei:GeoGebra Schieberegler a verändern.png|rahmenlos|800x800px]]|2=Wie erstelle ich einen Schieberegler für die Funktionsgleichung f(x) = ax²?|3=Verbergen}}
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| |
| {{Box|1=f(x) = ax² Bedeutung des Parameters a|2=Erstelle nun eine Wertetabelle zu den verschiedenen Funktionsgleichungen und zeichne die Parabeln in ein Koordinatenkreuz in dein Heft. Notiere die Bedeutung des Parameters a für den Verlauf der Parabel.<br>
| |
| {{(!}} class=wikitable
| |
| {{!-}}
| |
| {{!}} x
| |
| {{!}} -2
| |
| {{!}} -1
| |
| {{!}} -0,5
| |
| {{!}} 0
| |
| {{!}} 0,5
| |
| {{!}} 1
| |
| {{!}} 2
| |
| {{!}} Öffnung
| |
| {{!}} Form
| |
| {{!-}}
| |
| {{!}} f(x) = x²
| |
| {{!}} 4
| |
| {{!}} 1
| |
| {{!}} 0,25
| |
| {{!}} 0
| |
| {{!}} ...
| |
| {{!}} ...
| |
| {{!}} ...
| |
| {{!}} nach oben
| |
| {{!}} Normalparabel
| |
| {{!-}}
| |
| {{!}} f(x) = 2x²
| |
| {{!}} 8
| |
| {{!}} 2
| |
| {{!}} 0,5
| |
| {{!}} 0
| |
| {{!}} ...
| |
| {{!}} ...
| |
| {{!}} ...
| |
| {{!}} nach oben
| |
| {{!}} gestreckt
| |
| {{!-}}
| |
| {{!}} f(x) = <math>\tfrac{1}{2}</math>x²
| |
| {{!}} 2
| |
| {{!}} 0,5
| |
| {{!}} ...
| |
| {{!}} ...
| |
| {{!}} ...
| |
| {{!}} ...
| |
| {{!}} ...
| |
| {{!}} ...
| |
| {{!}} gestaucht
| |
| {{!-}}
| |
| {{!}} f(x) = -x²
| |
| {{!}} -4
| |
| {{!}} ...
| |
| {{!}} ...
| |
| {{!}} ...
| |
| {{!}} ...
| |
| {{!}} ...
| |
| {{!}} ...
| |
| {{!}} ...
| |
| {{!}} ...
| |
| {{!-}}
| |
| {{!}} f(x) = -2x²
| |
| {{!}} -8
| |
| {{!}} ...
| |
| {{!}} ...
| |
| {{!}} ...
| |
| {{!}} ...
| |
| {{!}} ...
| |
| {{!}} ...
| |
| {{!}} ...
| |
| {{!}} ...
| |
| {{!-}}
| |
| {{!}} f(x) = -<math>\tfrac{1}{2}</math>x²
| |
| {{!}} -2
| |
| {{!}} ...
| |
| {{!}} ...
| |
| {{!}} ...
| |
| {{!}} ...
| |
| {{!}} ...
| |
| {{!}} ...
| |
| {{!}} ...
| |
| {{!}} ...
| |
| {{!)}}<br>
| |
| Verwende verschiedene Farben.|3=Arbeitsmethode}}
| |
| {{Lösung versteckt|Vergleiche deine Lösungen<br>
| |
| [[Datei:F(x)=ax² Tabelle.png|rahmenlos|800x800px]]|Schaubilder zur Wertetabelle|Verbergen}}
| |
| <br>
| |
| {{Box|Die Parameter sportlich erarbeiten|Bearbeite im [[Herta-Lebenstein-Realschule/Die Scheitelpunktform quadratischer Funktionen sportlich erarbeiten|'''Lernpfad''']] das Kapitel zu'''<big> a</big>'''nton.|Üben}}
| |
|
| |
| {{Box|1=Quadratische Funktion der Form f(x) = ax²|2= Der Graph einer quadratischen Funktion der Form f(x) = ax² ist eine Parabel mit folgenden Eigenschaften:
| |
| * '''Symmetrie:''' Die Parabel ist symmetrisch zur y-Achse
| |
| * '''Scheitelpunkt:''' Der Scheitelpunkt (höchster bzw. tiefster Punkt) liegt im Ursprung S(0|0).
| |
| * '''Öffnung:''' Das Vorzeichen von a bestimmt die Öffnung der Parabel: Für '''a>0''' (a positiv) ist die Parabel nach '''oben''' geöffnet, für '''a<0 '''(a negativ) ist sie nach '''unten '''geöffnet.
| |
| * '''Form:''' Die Parabel ist gestaucht (breiter) für 0 < |a| < 1 (also für Werte von a zwischen -1 und 1). Sie ist gestreckt (schmaler) für |a| > 1 (also für Werte von a > 1 bzw. a < -1).|3=Arbeitsmethode}}
| |
|
| |
| Zusammenfassung:
| |
| {{#ev:youtube|WWw-XFO3CBE|800|center}}
| |
| <br>
| |
| {{Box|1=Übung 4: Den Faktor a der Funktionsgleichung bestimmen|2=a) Gegeben ist die Funktionsgleichung f(x) = ax² und ein Punkt P(2|-8).<br>
| |
| Bestimme den Faktor a und beschreibe die Parabel.<br>
| |
| b) Löse aus dem Buch
| |
| * S. 14 Nr. 11
| |
| * S. 14 Nr. 12|3=Üben}}
| |
| Lösung:<br>
| |
| geg: f(x) = ax²; P(2|-8)<br>
| |
| ges: a<br>
| |
| [[Datei:Idee Flipchart.png|links|rahmenlos|100x100px]] Setze die Koordinaten des Punktes P in die Funktionsgleichung ein und löse die Gleichung nach a auf.<br>
| |
| <br>
| |
| <br>
| |
| f(x) = ax²;P(<span style="color:red">2</span>|<span style="color:blue">-8</span>)<br>
| |
| <span style="color:blue">-8</span> = a·<span style="color:red">2</span>²<br>
| |
| -8 = a·4 |:4<br>
| |
| -2 = a<br>
| |
| also f(x) = -2x².<br>
| |
| Form: Die Parabel zur Funktionsgleichung f(x) = -2x² ist eine nach unten geöffnete, gestreckte Parabel. Der Scheitelpunkt liegt im Ursprung S(0|0).<br>
| |
|
| |
| {{Box|[[Datei:Modellieren.png|rahmenlos|rechts|200x200px]]Modellieren - Golden Gate Bridge|Die Seile von Hängeseilbrücken verlaufen parabelförmig.<br>Die Spannweite zwischen den Brückenpfeilern der Golden Gate Bridge beträgt 1280m, die Höhe der Pfeiler über der Straße 144m. In jeweils 20 m Abstand verbinden Lastkabel das Halteseil mit der Straße. Notiere gemeinsam mit deinem Partner/deiner Partnerin Fragen zu dieser Brücke und beantworte sie mithilfe einer Rechnung.<br>
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| [[Datei:Golden Gate Bridge and San Francisco skyline from Hawk Hill at Blue Hour dllu.jpg|mini|Künstler: Daniel L. Lu|links|600x600px]][[File:Golden-Gate-Bridge.svg|thumb|Von Roulex 45 - Eigenes Werk, CC BY-SA 3.0, |links|600x600px]]|Meinung}}
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| {{Lösung versteckt|1=Mögliche Fragen:<br>
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| - Wie lautet die Funktionsgleichung für das Halteseil? Zeichne das Koordinatensystem passend für die Funktionsgleichung der Form f(x) = ax² ein.<br>
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| Wie lang ist längste das Lastkabel zwischen Halteseil und Straße?<br>
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| Wie lang sind alle Lastkabel der Brücke insgesamt?<br>
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| ...|2=Tipp zur Aufgabe|3=Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|1=Realität: Halteseil der Brücke.<br>
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| Mathematisches Modell: Parabel, quadratische Funktion<br>
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| Rechnen: Lege das Koordinatenkreuz so, dass der Scheitelpunkt im Ursprung liegt. Damit hat die Funktionsgleichung die Form f(x) = ax².<br>
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| Du kennst die Punkte A(-640|144) und B(640|144). Setze diese in die Gleichung ein und löse nach a auf.<br>
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| Für die Lastseile kennst du die x-Koordinate, z.B. x = -600. Bestimme die zugehörige y-Koordinate, dies ist die Länge des Seils.<br>
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| Antwort: Beziehe deine Ergebnisse auf die Fragestellung: Die zugehörige y-Koordinate ist dann z.B. die Länge des Lastseils.|2=Tipp zum Modellieren|3=Verbergen}}
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| {{Box|1=Übung 5: Modellieren (Brückenaufgaben)|2=Löse aus dem Buch
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| * S. 24 Nr. 1
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| * S. 24 Nr. 2
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| * S. 24 Nr. 3|3=Üben}}
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| {{Lösung versteckt|1=[[File:Bridge-self-anchored.svg|thumb|Quelle: wikipedia.org]]<br>Tipp: Skizze!<br>
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| Zeichne das Koordinatensystem so ein, dass der Scheitelpunkt S im Ursprung liegt. Dann kannst du die Funktionsgleichung der Form f(x) = ax² nutzen. <br>Beschrifte die Skizze mit den gegebenen Größen. <br>
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| Kennst du einen Punkt auf der Parabel? Setze ein und löse nach a auf.|2=Tipp 1 zu Nr. 1|3=Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|1=Koordinatenkreuz passend eingetragen:<br>
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| [[Datei:SP10 S.24 Nr. 1 Graph.png|rahmenlos]]<br>
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| Die Spannweite w=486m und die Höhe h=88m führt zu den Punkten P(243|88) und Q(-243|88). Setze die Koordinaten passend in die Funktionsgleichung f(x) = ax² ein und löse nach a auf.<br>
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| Lösung: a=<math>\tfrac{88}{243^2}</math> ≈ 0,0015.|2=Tipp 2 zu Nr. 1|3=Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|Lies die Koordinaten der gegebenen Punkte ab und prüfe anschließend, ob sie alle zur selben Funktionsgleichung der From f(x) = ax² passen.|2=Tipp 1 zu Nr. 2|3=Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|1=Es können die Punkte P(-23,5|-6,6), Q(-17|-6,5), R(-10,5|-1,3) und S(0|0) abgelesen werden. Die Koordinaten von P eingesetzt in die Funktionsgleichung f(x) = ax² ergeben für a den Wert a=<math>\tfrac{(-6,5)}{(-23,5)^2}</math>≈-0,012.<br>
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| Bestimme a mithilfe des Punktes Q: a=<math>\tfrac{(-3,5)}{(-17)^2}</math>≈-0,012.<br>
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| Bestimme a mithilfe des Punktes R: a=<math>\tfrac{(-10,5)}{(-1,3)^2}</math>≈-0,012.<br>
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| Die Werte von a stimmen (annähernd) überein, daher passt der Brückenbogen zur Funktiongsgleichung f(x) = -0,012x².|2=Tipp 2 zu Nr. 2|3=Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|1=Zeichne eine Skizze passend zur Aufgabe. Wie ist die Form der Parabel? Kennst du schon einen Punkt auf der Parabel?|2=Tipp 1 zu Nr. 3|3=Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|1=Die Spannweite beträgt w=158m, die Höhe h=69m. Daher kennst du die Punkte P(-79|-69) und Q(79|-69)<br> Setze die Koordianten in die Funktionsgleichung ein und prüfe, ob du a=-<math>\tfrac{1}{90}</math> erhältst. <br>
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| ODER<br>
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| Setze die x-Koordiante eines Punktes in die Funktionsgleichung ein und prüfe, ob die berechnete y-Koordinate passt.<br>
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| Lösung: Die Daten passen zusammen.|2=Tipp 2 zu Nr. 3|3=Verbergen}}
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| <br>
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| ===4 Die verschobene Parabel: Bedeutung des Parameters''' c''' in f(x) = ax² + '''c'''===
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| {{Box|1=f(x) = ax² + c Bedeutung des Parameters c|2= Untersuche die Bedeutung des Parameters c in der Gleichung f(x) = ax² + c mithilfe der Geometriesoftware GeoGebra.
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| * Gib im Algebrafenster die Gleichung f(x) = x² ein. Es wird die Normalparabel gezeichnet.
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| * Erstelle einen Schieberegler a.
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| * Erstelle einen Schieberegler c.
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| * Gib im Algebrafenster die Gleichung f(x) = ax² + c ein. Verändere den Wert von c mithilfe des Schiebereglers. (Die Bedeutung des Parameters a hast du schon erarbeitet.)
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| * Wie verändert sich die Parabel? Notiere deine Beobachtungen.|3=Lösung|Icon=brainy hdg-tablet04}}
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| Link zu [https://www.geogebra.org/classic '''GeoGebra''']
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| {{Lösung versteckt|1=Falls du die Schieberegler nicht erstellen kannst, nutze das nachfolgende Applet.<br>
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| <ggb_applet id="wf9cqegc" width="1536" height="775" border="888888" />
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| <br>
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| |2=Applet mit Schiebereglern|3=Verbergen}}
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| {{Box|1=Arbeitsmethode|2=Der Graph der Funktion f(x) = ax² + c ist eine Parabel mit dem Scheitelpunkt S(0|c). Der Faktor a bestimmt die Öffnung und Form der Parabel, der Summand c verschiebt den Scheitelpunkt entlang der y-Achse.}}
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| {{Box|Übung 6|Löse die Aufgaben aus dem Buch
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| * S. 13 Nr. 8
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| * S. 14 Nr. 10
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| * S. 14 Nr. 13
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| * S. 14 Nr. 14
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| * S. 14 Nr. 16 (Kontrolliere mit GeoGebra)|Üben}}
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| {{Lösung versteckt|1="Punktprobe"!<br>
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| Setze die Koordinaten der Punkte in die Funktionsgleichungen ein und prüfe, ob eine wahre (w) Aussage oder falsche (f) Aussage entsteht. Demnach liegt der Punkt auf der Parabel bzw. nicht auf der Parabel.|2=Tipp zu Nr. 14|3=Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|1=Tipp zu Nr. 16 (Bilderfolge zur Nutzung von GeoGebra|2=Verbergen}}
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| ===5 Scheitelpunktform quadratischer Funktionen===
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| {{Box|Die Parameter sportlich erarbeiten|Bearbeite im [[Herta-Lebenstein-Realschule/Die Scheitelpunktform quadratischer Funktionen sportlich erarbeiten|'''Lernpfad''']] das Kapitel zu'''<big> d</big>'''etlef und '''<big> e</big>'''mil.|Üben}}
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| {{Box|1=Die Scheitelpunktform entdecken|2=Experimentiere mit der Normalparabel f(x) = x². Verschiebe den Scheitelpunkt S im Koordinatensystem und beobachte die Auswirkung auf die Funktionsgleichung. Was fällt dir auf? Diskutiere mit deinem Partner/deiner Partnerin.|3=Lösung|Icon=brainy hdg-tablet04}}
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| <ggb_applet id="hvm9xfmm" width="949" height="813" border="888888" />
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| {{Box|1=Die Scheitelpunktform quadratischer Funktionen|2=Die quadratische Funktion der Form '''f(x) = (x+d)²+e''' heißt '''Scheitelpunktform'''. Ihr Graph ist eine verschobene Normalparabel mit dem Scheitelpunkt '''S(-d|e)'''.<br>
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| Der Parameter d verschiebt den Scheitelpunkt in x-Richtung: d>0 nach links verschoben ("dusseliger Detelf") und d<0 nach rechts.<br> Der Parameter e verschiebt den Scheitelpunkt in y-Richtung (nach oben bzw. unten).|3=Arbeitsmethode}}
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| {{Box|Übung 7 - Verschobene Normalparabel|Bearbeite die nachfolgenden Übungen auf der Seite realmath so lange, bis du jeweils mindestens 200 Punkte gesammelt hast. Erkläre deinem Partner/deiner Partnerin, was in dieser Übung jeweils gefestigt werden soll. Notiere zu jeder Aufgabe ein Beispiel mit deinem erworbenen Wissen in dein Heft.
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| * [http://realmath.de/Neues/Klasse9/parabueb/parabelzeichnen2.html Aufgabe 1]
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| * [http://realmath.de/Neues/Klasse9/parabueb/parabelzeichnen1.html Aufgabe 2]
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| * [http://realmath.de/Neues/Klasse9/parabueb/parabelzeichnen01.html Aufgabe 3]
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| * [http://realmath.de/Neues/Klasse9/parabueb/parabelquiz.html Aufgabe 4]
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| * [http://realmath.de/Neues/Klasse9/parabueb/parabelquiz2.html Aufgabe 5]
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| * [http://realmath.de/Neues/Klasse9/parabueb/parabscheit2.html Aufgabe 6]
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| * [http://realmath.de/Neues/Klasse9/parabueb/parabscheit3.html Aufgabe 7]
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| |Üben}}
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| <ggb_applet id="tvngcubu" width="1200" height="850" border="888888" />
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| <small>Applet von Hans-Jürgen Elschenbroich</small><br>
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| <big>Verschobene Normalparabeln skizzieren/zeichnen ohne Schablone und ohne Wertetabelle:</big>
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| [[Datei:Idee Flipchart.png|links|rahmenlos|100x100px]] Um eine verschobene Normalparabel zu zeichnen, gehe vom Scheitelpunkt S aus immer eine Längeneinheit nach rechts und 1 Längeneinheit nach oben und dann 2 LE nach rechts und 4 LE nach oben. Das Video erklärt dies noch einmal anschaulich.
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| {{#ev:youtube|DeQRf1e4qZw|800|center|||start=0&end=89}}
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| {{Box|Übung 8|Nachdem du die Aufgaben auf der Seite realmath erfolgreich gelöst und diskutiert hast, sollten die nachfolgenden Aufgaben aus dem Buch kein Problem mehr für dich sein.
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| * S.16 Nr. 1
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| * S.16 Nr. 2
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| * S.16 Nr. 3
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| * S.16 Nr. 4
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| * S.16 Nr. 5
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| * S.16 Nr. 8
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| * S.16 Nr. 9
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| * S.16 Nr. 10 (Nutze in GeoGebra die Funktion "Spiegle an Gerade", s.Tipp unten)
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| * S.19 Nr. 13
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| Expertenaufgabe (Ergänzung zu Nr. 10): Spiegle die Parabeln auch an der x-Achse und gib die neue Funktionsgleichung an.|Üben}}
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| {{Lösung versteckt|Nutze zur Lösungskontrolle das obige Applet. Schiebe den Scheitelpunkt S an den von dir angegebenen Punkt und schau, ob die Funktionsgleichung mit der im Buch angegebenen übereinstimmt.|Tipp zur Lösungskontrolle Nr. 1|Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|Nutze auch hier zur Lösungskontrolle das obige Applet. Verschiebe den Scheitelpunkt auf den im Buch angegeben Punkt und vergleiche die Funktionsgleichung mit deiner Lösung.|Tipp zur Lösungskontrolle Nr. 3|Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|Schau das Video oben noch einmal an und skizziere die verschobene Normalparabel vom Scheitelpunkt aus entsprechend.|Tipp zu Nr. 4|Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|Erinnerung Quadraten:<br>
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| [[Datei:Cartesian-coordinate-system-with-quadrant.svg|mini|Künstler: W!B:]]|zu Nr. 5: Einteilung des Koordinatensystems in Quadranten (Erinnerung)|Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|Nutze das Applet oben: Verschiebe den Scheitelpunkt so, dass der Graph durch die angegebene Punkte verläuft. Wo liegt dann der Scheitelpunkt? Begründe!|Tipp zu Nr. 8|Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|Skizzen zu 8a, 8b:<br>
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| [[Datei:SP10 S.16 Nr. 8a Tipp.png|rahmenlos|600x600px]]<br>
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| [[Datei:SP10 S.16 Nr. 8b Tipp.png|rahmenlos|600x600px]]|Tipp: Skizzen zu 8a und 8b|Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|Nutze das obige Applet und verschiebe den Scheitelpunkt entsprechend der Angaben in der Aufgabe. Prüfe so deine Lösung.|Tipp zu Nr. 9|Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|Bilderfolge zum Spiegeln der verschobenen Normalparabel an der y-Achse:<br>
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| [[Datei:Verschobene Normalparabel spiegeln (GeoGebra) 1.png|rahmenlos|600x600px]]<br>
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| [[Datei:Verschobene Normalparabel spiegeln (GeoGebra) 2.png|rahmenlos|600x600px]]<br>
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| [[Datei:Verschobene Normalparabel spiegeln (GeoGebra) 3.png|rahmenlos|600x600px]]<br>
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| [[Datei:Verschobene Normalparabel spiegeln (GeoGebra) 4.png|rahmenlos|600x600px]]|zu Nr. 10: Spiegeln der verschobenen Normalparabel mithilfe von GeoGebra (Bilderfolge)|Verbergen}}
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| {{Box|Übung 8 - Punktprobe|Prüfe zeichnerisch (GeoGebra) und rechnerisch (Punktprobe), ob der Punkt P auf der Parabel liegt.
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| * S. 16 Nr. 6|Üben}}
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| ===6 Nullstellen quadratischer Funktionen===
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| ==7 Normalform quadratischer Funktionen==
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| ==8 Allgemeine Form und Scheitelpunktform quadratischer Funktionen==
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| IDEENSAMMLUNG
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| Modellieren
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| [http://realmath.de/Neues/Klasse9/parabueb/basketball.html Aufgabe Basektball (mit Lösungsschritten)]
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