Digitale Werkzeuge in der Schule/Ableitungen üben und vertiefen/Graphisches Ableiten - Die Ableitung als Funktionsdetektor: Unterschied zwischen den Versionen
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|2=In diesem Lernpfad könnt ihr den Zusammenhang zwischen Funktionsgraph und Ableitungsgraph üben und vertiefen. Es steht das graphische Ableitung im Vordergrund, d.h. der Zusammenhang zwischen besonderen Punkten und Merkmalen der Funktion und der Ableitung. Dabei unterscheiden wir zwischen Förder- und | |2=In diesem Lernpfad könnt ihr den Zusammenhang zwischen Funktionsgraph und Ableitungsgraph üben und vertiefen. Es steht das graphische Ableitung im Vordergrund, d.h. der Zusammenhang zwischen besonderen Punkten und Merkmalen der Funktion und der Ableitung. Dabei unterscheiden wir zwischen '''Förder'''- und '''Forder'''aufgaben. | ||
*Fällt dir das Thema leicht, konzentriere dich auf die '''Forder'''aufgaben: Aufgabe 4, Aufgabe 5. | |||
Fällt dir das Thema leicht, konzentriere dich auf die ''' | *Hast du noch Schwierigkeiten, konzentriere dich auf die '''Förder'''aufgaben: Aufgabe 1, Aufgabe 2, Aufgabe 3. | ||
Hast du noch Schwierigkeiten, konzentriere dich auf die ''' | |||
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< | <center>{{LearningApp|app=pvcv9fkun17|width=90%|height=800px}}</center> | ||
{{Lösung versteckt|1=Die Steigung der Tangente entspricht der Steigung des Funktionsgraphen am Berührungspunkt. |2=Hilfestellung 1|3=schließen}} | {{Lösung versteckt|1=Die Steigung der Tangente entspricht der Steigung des Funktionsgraphen am Berührungspunkt. |2=Hilfestellung 1|3=schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Besitzt der Funktionsgraph einen Hoch- oder Tiefpunkt, so hat die Tangente keine Steigung.|2=Hilfestellung 2|3=schließen}} | {{Lösung versteckt|1=Besitzt der Funktionsgraph einen Hoch- oder Tiefpunkt, so hat die Tangente keine Steigung.|2=Hilfestellung 2|3=schließen}} | ||
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{{Lösung versteckt|1=Betrachte zunächst auffällige Punkte des Funktionsgraphen und versuche diese Punkte im Ableitungsgraphen wieder zu erkennen.|2=Hilfestellung 1|3=schließen}} | {{Lösung versteckt|1=Betrachte zunächst auffällige Punkte des Funktionsgraphen und versuche diese Punkte im Ableitungsgraphen wieder zu erkennen.|2=Hilfestellung 1|3=schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Was sagt eine Nullstelle im Ableitungsgraphen aus?{{Lösung versteckt|1=Eine Nullstelle im Ableitungsgraphen stellt einen Hoch- oder Tiefpunkt im Funktionsgraphen dar.|2=Lösung|3=schließen}}|2=Hilfestellung 2|3=schließen}} | {{Lösung versteckt|1=Was sagt eine Nullstelle im Ableitungsgraphen aus?{{Lösung versteckt|1=Eine Nullstelle im Ableitungsgraphen stellt einen Hoch- oder Tiefpunkt im Funktionsgraphen dar.|2=Lösung|3=schließen}}|2=Hilfestellung 2|3=schließen}} | ||
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{{Lösung versteckt|1=Versuche zunächst den Graphen der beschriebenen Funktion auf einem Blatt zu zeichnen. |2=Hilfestellung 1|3=schließen}} | {{Lösung versteckt|1=Versuche zunächst den Graphen der beschriebenen Funktion auf einem Blatt zu zeichnen. |2=Hilfestellung 1|3=schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Was sagt eine Nullstelle im Ableitungsgraphen aus? {{Lösung versteckt|1=Achte auf die Vorzeichen!|2=Eine Nullstelle im Ableitungsgraphen stellt einen Hoch- oder Tiefpunkt im Funktionsgraphen dar.|3=schließen}}|2=Hilfestellung 2|3=schließen}} | {{Lösung versteckt|1=Was sagt eine Nullstelle im Ableitungsgraphen aus? {{Lösung versteckt|1=Achte auf die Vorzeichen!|2=Eine Nullstelle im Ableitungsgraphen stellt einen Hoch- oder Tiefpunkt im Funktionsgraphen dar.|3=schließen}}|2=Hilfestellung 2|3=schließen}} | ||
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< | <center>{{LearningApp|app=pqxp8bemc17|width=90%|height=500px}}</center> | ||
{{Lösung versteckt|1=Zeichne eine Funktion dritten Grades. Ebenso zeichne die ersten drei Ableitungen von dieser und überlege, welche Zusammenhänge dir auffallen. Wenn dir dies noch Probleme bereitet, schaue dir die Hilfestellung 2 an.|2=Hilfestellung 1|3=schließen}} | {{Lösung versteckt|1=Zeichne eine Funktion dritten Grades. Ebenso zeichne die ersten drei Ableitungen von dieser und überlege, welche Zusammenhänge dir auffallen. Wenn dir dies noch Probleme bereitet, schaue dir die Hilfestellung 2 an.|2=Hilfestellung 1|3=schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungen.png|rahmenlos|700px|Hilfestellung]]|2=Hilfestellung 2|3=schließen}} | {{Lösung versteckt|1=[[Datei:Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungen.png|rahmenlos|700px|Hilfestellung]]|2=Hilfestellung 2|3=schließen}} | ||
Aktuelle Version vom 23. März 2021, 15:58 Uhr
Aufgabe 1: Lückentext (Förderaufgabe)
Um den Graphen größer zu sehen und somit die Werte besser zu erkennen, klicke den Graphen an. Wenn du die Aufgabe gelöst hast, klicke zur Kontrolle unten rechts auf den Haken.
Aufgabe 2: Welche Ableitung gehört zu welchem Funktionsgraphen? (Förderaufgabe)
Um den Graphen größer zu sehen und somit die Werte besser zu erkennen, klicke den Graphen an. Wenn du die Aufgabe gelöst hast, klicke zur Kontrolle unten rechts auf den Haken.
Aufgabe 3: Die 1.000.000 Euro Frage (Förderaufgabe)
Um die Funktionsgraphen größer zu sehen, kannst du diese anklicken. Wenn du die Aufgabe gelöst hast, klicke zur Kontrolle unten rechts auf den Haken.
Die gesuchte Ableitung ist die linke Abbildung.
Die Funktion hat an der Stelle x=3 eine Wendestelle, da sie dort die stärkste Steigung aufweist. Wenn die Funktion eine Wendestelle besitzt, so hat die Ableitung einen Hoch- oder Tiefpunkt. Die linke und rechte Abbildung erfüllen dieses Kriterium. Die mittlere Abbildung kommt nun nicht mehr in Frage.
Da die Funktion einen Hochpunkt bei (2,1) und einen Tiefpunkt bei (4,-1) besitzt, muss die zugehörige Ableitung an den Stellen x=2 und x=4 Nullstellen besitzen. Auch dies ist bei der linken und rechten Abbildung der Fall.
Im Intervall 2 < x <4 fällt die beschriebene Funktion monoton, da sie in (2,1) einen Hochpunkt und in (4,-1) einen Tiefpunkt besitzt. Wenn die Funktion monoton fällt, so ist die Ableitung negativ.
Aufgabe 4: Pärchenbildung (Forderaufgabe)
Wenn du die Aufgabe gelöst hast, klicke zur Kontrolle unten rechts auf den Haken.
f(x) hat eine Tiefpunkt, wenn die Steigung der Tangente (also die Steigung der Ableitung) in diesem Punkt gleich 0 ist. Versuche dir dieses graphisch vorzustellen. Versuch dann die erste Ableitung ein weiteres mal graphisch abzuleiten. Welche zusätzliche Bedingung für einen Tiefpunkt fällt dir auf?
Die Wendestelle gibt die stärkste Steigung des Funktionsgraphen an. Dies bedeutet, dass die Ableitung die Steigung des Funktionsgraphen angibt.
Aufgabe 5: Temperatur im Jahresverlauf (Forderaufgabe)
Der unten dargestellte Graph f stellt die durchschnittliche Tagestemperatur im Jahr 2016 in Deutschland dar. Auf der x-Achse sind die Monate von 0 bis 12 darstellt, wobei 0 den 1.Januar, 1 den 1.Februar, …, 11 den 1.Dezember darstellt. Auf der y-Achse ist die Temperatur in °C angegeben.
a) Zeichne den zugehörigen Ableitungsgraphen in dein Heft und beschreibe schrittweise, wie du ihn konstruiert hast. Was stellt der Ableitungsgraph im Sachkontext dar?
Die dargestellte Gerade ist der Ableitungsgraph f' von f.
Beispielhafte Konstruktion:
1.) Es liegt eine Funktion zweiten Grades vor. Also hat die Ableitung den Grad 1. Sie ist also eine Gerade.
b) In welchem Monat ist die Temperatur am höchsten?
c) In welchen Monaten steigt bzw. fällt die Temperatur und wann steigt sie am schnellsten an? Versuche dieses mit dem Ableitungsgraphen zu begründen.
Die Temperatur steigt in den Monaten Januar bis Juli. Da dort der Ableitungsgraph im positiven Bereich verläuft. Allerdings nimmt die Temperaturzunahme ab, da die angegebenen Werte in °C/Monat weniger positiv werden.
Die Temperatur fällt in den Monaten Juli bis Dezember. Da dort der Ableitungsgraph im nrgativen Bereich verläuft. zusätzlich nimmt die Temperaturabnahme zu, da die angegebenen Werte in °C/Monat negativer werden werden.
Die Temperatur steigt im Monat Januar am stärksten an. Dieses ist daran zu erkenne, dass die Ableitung dort den größten Wert annimmt.
