Digitale Werkzeuge in der Schule/Funktioniert's? Übergang von der SI zur SII/Terme und Gleichungen: Unterschied zwischen den Versionen
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__NOTOC__ | |||
In diesem Lernpfad geht es um das | |||
{{Box|1=Terme und Gleichungen|2= | |||
In diesem Lernpfad geht es um das Wiederholen und Vertiefen deines Wissens über '''Terme und Gleichungen'''. | |||
Du findest hier Übungsaufgaben zu den Themen '''Terme aufstellen, Terme umformen und Gleichungen lösen'''. | |||
Der Lernpfad orientiert sich dabei an der Tabelle zur Selbsteinschätzung des Diagnosetests Mathematik zum Übergang SI / SII, sodass du gezielt die Aufgaben bearbeiten kannst, bei denen du dich noch verbessern möchtest. | |||
Solltest du bei einer Aufgabe nicht weiterkommen, findest du unter dieser verschiedene Tipps, die dir helfen könnten. Versuche die Aufgabe jedoch zunächst ohne Hilfe zu bearbeiten; klappt dies nicht oder stimmt deine Lösung nicht mit der angegebenen Lösung überein, so kannst du dir nacheinander die Tipps anschauen. Falls es mehrere Tipps gibt, starte damit dir Tipp 1 anzuschauen und versuche dann zunächst wieder die Aufgabe zu lösen, usw. | Solltest du bei einer Aufgabe nicht weiterkommen, findest du unter dieser verschiedene Tipps, die dir helfen könnten. Versuche die Aufgabe jedoch zunächst ohne Hilfe zu bearbeiten; klappt dies nicht oder stimmt deine Lösung nicht mit der angegebenen Lösung überein, so kannst du dir nacheinander die Tipps anschauen. Falls es mehrere Tipps gibt, starte damit dir Tipp 1 anzuschauen und versuche dann zunächst wieder die Aufgabe zu lösen, usw. | ||
|3=Lernpfad}} | |||
== Terme aufstellen == | ==Terme aufstellen== | ||
{{ | {{Box|1=1. Flächeninhalt|2= | ||
Klicke alle Terme an, die den Flächeninhalt der Fläche beschreiben. | Klicke alle Terme an, die den Flächeninhalt der Fläche beschreiben. | ||
{{LearningApp|app=pxj3hfqot18|width=100%|height=400px}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Worin liegt der Unterschied zwischen Flächeninhalt und Umfang?|2= Tipp 1|3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Mache dir bewusst, welche Bedeutung die einzelnen Glieder der Terme haben.|2=Tipp 2|3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Zeichne die Rechtecke, die durch die einzelnen Term-Glieder repräsentiert werden, in dein Heft und überprüfe, ob sich daraus die Figur zusammen setzen lässt.|2=Tipp 3|3=schließen}} | |||
|3=Üben}} | |||
{{Box|1=2. Kerze|2= | |||
Eine Kerze ist 15 cm hoch und brennt pro Stunde 3,5 cm ab. Begründe für die folgenden Terme, ob sie die Höhe der Kerze nach einer gewissen Brenndauer sinnvoll beschreiben oder nicht. | |||
1.) <math> f(x)=3,5x+15</math> | |||
2.)<math>f(x)=15x-3,5</math> | |||
3.)<math> f(x)=-3,5x+15</math> | |||
{{ | 4.) <math>f(x)=-15x+3,5</math> | ||
Berechne mit dem richtigen Term die Höhe der Kerze nach 3 und nach 7 Stunden. Interpretiere die Ergebnisse. | |||
{{Lösung versteckt|1=Die allgemeine Geradengleichung lautet <math>y=m*x+n</math>, wobei n die Steigung und m der y-Achsenabschnitt ist. Welche Bedeutung haben diese im Sachzusammenhang?|2=Tipp 1|3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Liegt ein positives oder ein negatives Wachstum vor?|2=Tipp 2|3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=<math>f(x)=-3,5x+15</math>, wobei <math>f(x)</math> die Höhe der Kerze in Zentimetern angibt und <math>x</math> die Zeit in Stunden ist. Zum Zeitpunkt <math>x=0</math> ist die Kerze 15 cm hoch (<math>m=15</math>) und wird pro Stunde 3,5 cm kleiner (<math>n=-3,5</math>). | |||
|2=Tipp 3|3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Nach 3 Stunden ist die Kerze noch <math>15-3*3.5=4.5</math> cm hoch. | |||
Nach 7 Sunden ergibt sich <math>15-7*3.5=-9.5</math> cm. Die Kerze ist daher schon vor Ende der 7 Stunden abgebrannt.}} | |||
|3=Üben}} | |||
{{Box|3. Krankenhaus|2= | |||
Einem Patienten soll nach einer Operation innerhalb von 8 Stunden 500 ml Infusionslösung über einen Tropf verabreicht werden. Innerhalb der ersten vier Stunden laufen bereits 300 ml durch den Tropf. Danach soll die Dosierung langsam verringert werden. | Einem Patienten soll nach einer Operation innerhalb von 8 Stunden 500 ml Infusionslösung über einen Tropf verabreicht werden. Innerhalb der ersten vier Stunden laufen bereits 300 ml durch den Tropf. Danach soll die Dosierung langsam verringert werden. | ||
Um die restlichen 200 ml in den verbleibenden vier Stunden zu verabreichen wird die Tropfgeschwindigkeit auf 50 ml pro Stunde verringert. | Um die restlichen 200 ml in den verbleibenden vier Stunden zu verabreichen, wird die Tropfgeschwindigkeit auf 50 ml pro Stunde verringert. | ||
Stelle einen Term für das Volumen der insgesamt bereits verabreichten Infusionslösung innerhalb der letzten 4 Stunden auf. | Stelle einen Term für das Volumen der insgesamt bereits verabreichten Infusionslösung innerhalb der letzten 4 Stunden auf. | ||
{{Lösung versteckt|1=Welche der gegebenen Werte entsprechen der Steigung und dem Startwert?|2=Tipp 1|3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Welchen y-Wert muss der Term für <math>x=4</math> aufweisen?|2=Tipp 2|3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Hier siehst du einen Ausschnitt des gesuchten Graphen. | |||
[[Datei:Krankenhaus Graph.png|ohne|500px]]|2=Tipp 3|3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=<math>y=50(x-4)+300</math>}} | |||
|3=Üben}} | |||
==Terme zusammenfassen== | |||
{{Box|1=4. Terme mit einer Variablen|2= | |||
{{ | |||
Fasse die Terme zusammen. | Fasse die Terme zusammen. | ||
Zeile 49: | Zeile 68: | ||
c) <math>11x+x</math> | c) <math>11x+x</math> | ||
{{Lösung versteckt|1=Klammere die Variable aus und berechne anschließend den Term innerhalb der Klammer. ''Beispiel:'' <math>2x+7x=(2+7) \cdot x=9x</math>. Dieser Tipp geht auf das Distributivgesetz zurück.|2=Tipp 1|3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=zu c): Der Vorfaktor <math>1</math> wird in der Regel nicht ausgeschrieben. Steht also kein Faktor vor einer Variablen, so handelt es sich um <math>1</math>.|2=Tipp 2|3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= | |||
a) <math>8x</math> | |||
b) <math>9y</math> | b) <math>9y</math> | ||
c) <math>12x</math> | c) <math>12x</math>}} | ||
|3=Üben}} | |||
{{ | {{Box|5. Terme mit einer Variablen und Konstanten|2= | ||
Fasse die Terme zusammen. | Fasse die Terme zusammen. | ||
Zeile 67: | Zeile 88: | ||
c) <math>-4x+5+9x-7</math> | c) <math>-4x+5+9x-7</math> | ||
{{Lösung versteckt|1=Beginne zunächst damit den Term nach der Variable zu sortieren. ''Beispiel:'' <math>3+2x+11+7x=2x+7x+3+11</math>. Dieser Tipp geht auf das Kommutativgesetz zurück, welches bei der Addition gilt. Jede Subtraktion <math>a-b</math> kann zudem in eine Addition umgeformt werden <math>a-b=a+(-b)=(-b)+a=-b+a</math>.|2=Tipp 1|3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Fasse alle Konstanten zusammen. ''Beispiel:'' <math>2x+14+5=2x+19</math>.|2=Tipp 2|3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= | |||
a) <math>12x+18</math> | |||
b) <math>12x+19</math> | b) <math>12x+19</math> | ||
c) <math>5x-2</math> | c) <math>5x-2</math>}} | ||
|3=Üben}} | |||
{{ | {{Box|1=6. Terme mit zwei Variablen|2= | ||
Fasse die Terme zusammen. | Fasse die Terme zusammen. | ||
Zeile 85: | Zeile 108: | ||
c) <math>-9+y+2x+12x-7y</math> | c) <math>-9+y+2x+12x-7y</math> | ||
{{Lösung versteckt|1=Beginne zunächst damit den Term nach der Variable zu sortieren. ''Beispiel:'' <math>2x+13y+7x=2x+7x+13y</math>. Dieser Tipp geht auf das Kommutativgesetz zurück, welches bei der Addition gilt. Jede Subtraktion <math>a-b</math> kann zudem in eine Addition umgeformt werden <math>a-b=a+(-b)=(-b)+a=-b+a</math>.|2=Tipp 1|3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Bei Addition/Subtraktion dürfen gleichartige Terme zusammengefasst werden. ''Beispiel:'' <math>2x+7x+13y=9x+13y</math>. Diese Regel geht auf das Distributivgesetz zurück, indem die Variable ausgeklammert wird.|2=Tipp 2|3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=a) <math>8x+5y</math> | |||
b) <math>-5x-4y+10</math> | b) <math>-5x-4y+10</math> | ||
c) <math>14x-6y-9</math> | c) <math>14x-6y-9</math>}} | ||
|3=Üben}} | |||
{{ | {{Box|1=7. Terme mit Variablen und Exponenten|2= | ||
Fasse die Terme zusammen. | Fasse die Terme zusammen. | ||
Zeile 103: | Zeile 127: | ||
c) <math>7y^2+6+4y^2-14x^2-6x^2</math> | c) <math>7y^2+6+4y^2-14x^2-6x^2</math> | ||
{{Lösung versteckt|1=Vorfaktoren einer Variable mit unterschiedlichen Exponenten dürfen <span style="color: red">'''nicht'''</span> verrechnet werden! ''Beispiel:'' <math>7x^2+2x+4x=7x^2+6x</math>.|2=Tipp|3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=a) <math>16x^2+6y</math> | |||
b) <math>2x^2+13x</math> | b) <math>2x^2+13x</math> | ||
c) <math>-20x^2+11y^2+6</math> | c) <math>-20x^2+11y^2+6</math>}} | ||
|3=Üben}} | |||
== Klammern in Termen auflösen == | ==Klammern in Termen auflösen== | ||
{{ | {{Box|1=8. Terme mit konstanten ersten Faktoren|2= | ||
Löse die Klammern auf. | Löse die Klammern auf. | ||
Zeile 122: | Zeile 147: | ||
c) <math>3 (11-7y)</math> | c) <math>3 (11-7y)</math> | ||
{{Lösung versteckt|1=Steht in der Klammer eine Addition, so multipliziere den Faktor vor der Klammer mit jedem Summanden in der Klammer. Bei der Subtraktion geht es genau so. ''Beispiel:'' <math>{\color{blue}6} \cdot ({\color{red}6}+{\color{green}9}) = {\color{blue}6} \cdot {\color{red}6} + {\color{blue}6} \cdot {\color{green}9} = 36+54 = 90</math>. Dieser Tipp geht auf das Distributivgesetz zurück.|2=Tipp 1|3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=zu c): Ist kein Rechenzeichen explizit vor die Klammer geschrieben, so ist die Multiplikation gemeint.|2=Tipp 2|3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=a) <math>4x+20</math> | |||
b) <math>36x-12y</math> | b) <math>36x-12y</math> | ||
c) <math>-21y+33</math> | c) <math>-21y+33</math>}} | ||
|3=Üben}} | |||
{{Box|1=9. Terme mit konstanten zweiten Faktoren|2= | |||
{{ | |||
Löse die Klammern auf. | Löse die Klammern auf. | ||
Zeile 140: | Zeile 165: | ||
c) <math>(10-5y) \cdot 11</math> | c) <math>(10-5y) \cdot 11</math> | ||
{{Lösung versteckt|1=Ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht ist nicht wichtig. Dieser Tipp geht darauf zurück, dass die Multiplikation und Addition sowohl links- als auch rechtsdistributiv sind.|2=Tipp|3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= | |||
a) <math>4y+8</math> | |||
b) <math>28x+42y</math> | b) <math>28x+42y</math> | ||
c) <math>-55y+110</math> | c) <math>-55y+110</math>}} | ||
|3=Üben}} | |||
{{Box|1=10. Terme mit Variablen in beiden Faktoren|2= | |||
{{ | |||
Löse die Klammern auf. | Löse die Klammern auf. | ||
Zeile 157: | Zeile 183: | ||
c) <math>x (x-15y)</math> | c) <math>x (x-15y)</math> | ||
{{Lösung versteckt|1=Auch wenn außerhalb der Klammer eine Variable steht, ändert sich das Vorgehen nicht.|2=Tipp 1|3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Achte auf die unterschiedlichen Variablen.|2=Tipp 2|3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=a) <math>33x+15xy</math> | |||
b) <math>33x^2-30xy</math> | b) <math>33x^2-30xy</math> | ||
c) <math>x^2-15xy</math | c) <math>x^2-15xy</math>}} | ||
|3=Üben}} | |||
{{ | {{Box|1=11. Terme mit quadratischen Klammern|2= | ||
Löse die Klammern auf. | Löse die Klammern auf. | ||
Zeile 175: | Zeile 201: | ||
c) <math>(-6x-y)^2</math> | c) <math>(-6x-y)^2</math> | ||
{{Lösung versteckt|1=Du kannst hier die binomischen Formeln anwenden. <math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2</math> und <math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2</math>. Die binomischen Formeln gehen auf die doppelte Anwendung des Distributivgesetzes zurück.|2=Tipp 1|3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Statt die binomischen Formeln anzuwenden, kannst du die Klammer auch per Hand ausmultiplizieren. Der Exponent <math>()^2</math> bedeutet, dass die Klammer mit sich selbst multipliziert werden soll. ''Beispiel:'' <math>(x+3)^2=(x+3) \cdot (x+3)</math>.|2=Tipp 2|3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Beim Multiplizieren von zwei Klammern, muss jeder Summand mit jedem Summanden multipliziert werden. ''Beispiel:'' <math>({\color{blue}x}+{\color{red}3}) \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}3}) = {\color{blue}x} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}3}) + {\color{red}3} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}3}) = {\color{blue}x} \cdot {\color{Orange}x} + {\color{blue}x} \cdot {\color{green}3} + {\color{red}3} \cdot {\color{Orange}x} + {\color{red}3} \cdot {\color{green}3} = x^2+3x+3x+9 = x^2+6x+9</math>. Diese Regel geht auf die doppelte Anwendung des Distributivgesetzes zurück.|2=Tipp 3|3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= | |||
a) <math>16x^2+40x+25</math> | |||
b) <math>4x^2+12xy+9y^2</math> | b) <math>4x^2+12xy+9y^2</math> | ||
c) <math>36x^2+12xy+y^2</math> | c) <math>36x^2+12xy+y^2</math>}} | ||
|3=Üben}} | |||
== In Termen ausklammern == | ==In Termen ausklammern== | ||
{{ | {{Box|1=12. Memory-Spiel zum Ausklammern|2= | ||
Ordne die Paare zu, indem du zugehörige Paare übereinander ziehst. | Ordne die Paare zu, indem du zugehörige Paare übereinander ziehst. | ||
{{LearningApp|app=p9q47bjo518|width=100%|height=400px}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Löse die Klammern auf, um die Paare zu erkennen.|2=Tipp|3=schließen}} | |||
|3=Üben}} | |||
{{ | {{Box|1=13. Analoges Ausklammern|2= | ||
Klammere soweit wie möglich aus. | Klammere soweit wie möglich aus.</nowiki> | ||
a) <math>12x-18y</math> | a) <math>12x-18y</math> | ||
Zeile 204: | Zeile 233: | ||
c) <math>12xy+6x-15x^3</math> | c) <math>12xy+6x-15x^3</math> | ||
{{Lösung versteckt|1=Finde den größten gemeinsamen Teiler der einzelnen Glieder der Terme.|2=Tipp|3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=a) <math>6 \cdot (2x-3y)</math> | |||
b) <math>7 \cdot (2x+4y-x)</math> | b) <math>7 \cdot (2x+4y-x)</math> | ||
c) <math>3x \cdot (4y+2-5x^2)</math | c) <math>3x \cdot (4y+2-5x^2)</math>}} | ||
|3=Üben}} | |||
== Lineare Gleichungen lösen == | ==Lineare Gleichungen lösen== | ||
{{ | {{Box|1=14. Lineare Gleichungen im Quiz lösen|2= | ||
Löse die linearen Gleichungen. | Löse die linearen Gleichungen. | ||
{{LearningApp|app=pj74qx1rj18|width=100%|height=400px}} | |||
{{Lösung versteckt|1= Bringe alle Glieder mit Variablen auf die eine Seite und alle Glieder ohne Variable auf die andere.|2=Tipp 1|3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Fasse die gleichartigen Glieder zusammen.|2=Tipp 2|3=schließen}} | |||
|3=Üben}} | |||
== Quadratische Gleichungen lösen == | ==Quadratische Gleichungen lösen== | ||
{{ | {{Box|1=15. Einfache quadratische Gleichungen|2= | ||
Löse die quadratischen Gleichungen '''ohne p-q-Formel'''. | Löse die quadratischen Gleichungen </nowiki>'''ohne p-q-Formel'''. | ||
a) <math>0=x^2-64</math> | a) <math>0=x^2-64</math> | ||
Zeile 234: | Zeile 264: | ||
c) <math>-2x=\frac{1}{2}x^2</math> | c) <math>-2x=\frac{1}{2}x^2</math> | ||
{{Lösung versteckt|1=zu a): Bei Gleichungen der Form <math>ax^2+c</math>, also ohne linearen Summanden <math>bx</math> kannst du die Gleichung umstellen, sodass <math>x^2</math> alleine steht und anschließend die Wurzel ziehen.|2=Tipp 1|3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=zu a): Achte beim Wurzelziehen auf die positive und negative Lösung.|2=Tipp 2|3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=zu b): Bei Gleichungen der Form <math>ax^2+bx</math>, also ohne konstanten Summanden <math>c</math> kannst du <math>x</math> ausklammern.|2=Tipp 3|3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=zu b): Ein Produkt ist genau dann <math>0</math>, wenn einer der beiden Faktoren bereits <math>0</math> ist. ''Beispiel:'' <math>{\color{blue}x} \cdot ({\color{red}x-2})=0</math> bedeutet, dass entweder <math>{\color{blue}x}=0</math> oder <math>{\color{red}x-2}=0</math> gilt.|2=Tipp 4|3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=zu c): Stelle um, sodass auf einer Seite des Gleichheitszeichen <math>0</math> steht.|2=Tipp 5|3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= | |||
zu a) | |||
<math> | |||
\begin{alignat}{3} | |||
& & 0 &= x^2-64 \qquad &&| +64\\ | |||
&\Leftrightarrow \qquad & 64 &= x^2 &&| \sqrt{\text{ }}\\ | |||
&\Leftrightarrow &\pm 8 &= x &&\\ | |||
&\Leftrightarrow & x_1 &= -8 \text{ oder } x_2=8&& | |||
\end{alignat} | |||
</math> | |||
zu b) | |||
<math> | |||
\begin{alignat}{5} | |||
& & & & 0 &= x^2+13x & & &&| x \text{ ausklammern}\\ | |||
&\Leftrightarrow \qquad & & & 0 &= x \cdot (x+13) & & &&| \text{einer der beiden Faktoren muss } 0 \text{ sein}\\ | |||
&\Leftrightarrow & 0 &= x_1 \qquad & \text{ o}&\text{der } & 0 &= x_2+13 \qquad &&|-13\\ | |||
&\Leftrightarrow & 0 &= x_1 & \text{ o}&\text{der } & -13 &= x_2 &&\\ | |||
&\Leftrightarrow & x_1 &= 0 & \text{ o}&\text{der } & x_2 &= -13 && | |||
\end{alignat} | |||
</math> | |||
zu c) | |||
<math> | |||
\begin{alignat}{5} | |||
& & & & -2x &= \frac{1}{2}x^2 & & &&| +2x\\ | |||
&\Leftrightarrow \qquad & & & 0 &= \frac{1}{2}x^2+2x & & &&| \cdot 2\\ | |||
&\Leftrightarrow & & & 0 &= x^2+4x & & &&| x \text{ ausklammern}\\ | |||
&\Leftrightarrow & & & 0 &= x \cdot (x+4) & & &&| \text{einer der beiden Faktoren muss } 0 \text{ sein}\\ | |||
&\Leftrightarrow & 0 &= x_1 \qquad & \text{ o}&\text{der } & 0 &= x_2+4 \qquad &&|-4\\ | |||
&\Leftrightarrow & 0 &= x_1 & \text{ o}&\text{der } & -4 &= x_2 &&\\ | |||
&\Leftrightarrow & x_1 &= 0 & \text{ o}&\text{der } & x_2 &= -4 && | |||
\end{alignat} | |||
</math>}} | |||
|3=Üben}} | |||
{{ | |||
Löse die quadratischen Gleichungen. | {{Box|1=16. Quadratische Gleichungen mit Standardverfahren|2= | ||
Löse die quadratischen Gleichungen.</nowiki> | |||
a) <math>0=x^2+12x+27</math> | a) <math>0=x^2+12x+27</math> | ||
Zeile 255: | Zeile 316: | ||
c) <math>16x=x^2-17</math> | c) <math>16x=x^2-17</math> | ||
{{Lösung versteckt|1=Verwende die p-q-Formel. Bringe die Gleichung also auf folgende Form <math>0=x^2+px+q</math>, lies dann <math>p</math> und <math>q</math> ab und bestimme die Lösung mit <math>x=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}</math>.|2=Tipp 1|3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=zu c): Stelle zunächst um, sodass auf einer Seite des Gleichheitszeichen <math>0</math> steht.|2=Tipp 2|3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= | |||
zu a) | |||
<math> | |||
\begin{alignat}{3} | |||
& & 0 &= x^2+12x+27 &&| p=12, q=27\\ | |||
&\Leftrightarrow \qquad & x &= -\frac{12}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{12}{2}\right)^2-27} \qquad &&\\ | |||
&\Leftrightarrow & x &= -6 \pm 3 &&\\ | |||
&\Leftrightarrow & x_1 &= -9 \text{ oder } x_2=3 && | |||
\end{alignat} | |||
</math> | |||
b) <math>x_1=-7 | zu b) | ||
<math> | |||
\begin{alignat}{3} | |||
& & 0 &= x^2+6x-7 &&| p=6, q=-7\\ | |||
&\Leftrightarrow \qquad & x &= -\frac{6}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{6}{2}\right)^2-(-7)} \qquad &&\\ | |||
&\Leftrightarrow & x &= -3 \pm 4 &&\\ | |||
&\Leftrightarrow & x_1 &= -7 \text{ oder } x_2=1 && | |||
\end{alignat} | |||
</math> | |||
c) <math>x_1=-1 | zu c) | ||
<math> | |||
\begin{alignat}{3} | |||
& & 16x &= x^2-17 &&| -16x\\ | |||
&\Leftrightarrow \qquad & 0 &= x^2-16x-17 &&| p=-16, q=-17\\ | |||
&\Leftrightarrow & x &= -\frac{-16}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-16}{2}\right)^2-(-17)} \qquad &&\\ | |||
&\Leftrightarrow & x &= 8 \pm 9 &&\\ | |||
&\Leftrightarrow & x_1 &= -1 \text{ oder } x_2=17 && | |||
\end{alignat} | |||
</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung ausblenden}} | |||
|3=Üben}} | |||
{{ | {{Box|1=17. Fortgeschrittene quadratische Gleichungen mit Standardverfahren|2= | ||
Löse die quadratischen Gleichungen. | Löse die quadratischen Gleichungen.</nowiki> | ||
a) <math>0=4x^2+40x+36</math> | a) <math>0=4x^2+40x+36</math> | ||
Zeile 273: | Zeile 361: | ||
c) <math>14x=3x^2+2x-15</math> | c) <math>14x=3x^2+2x-15</math> | ||
{{Lösung versteckt|1=Um die p-q-Formel verwenden zu können muss vor dem <math>x^2</math> der Vorfaktor <math>1</math> (der in der Regel nicht ausgeschrieben wird) stehen.|2=Tipp 1|3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Steht vor dem <math>x^2</math> ein anderer Vorfaktor als <math>1</math>, so dividiere beide Seiten der Gleichung durch diesen Vorfaktor.|2=Tipp 2|3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= | |||
zu a) | |||
<math> | |||
\begin{alignat}{3} | |||
& & 0 &= 4x^2+40x+36 &&| \colon 4\\ | |||
&\Leftrightarrow \qquad & 0 &= x^2+10x+9 &&| p=10, q=9\\ | |||
&\Leftrightarrow & x &= -\frac{10}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{10}{2}\right)^2-9} \qquad &&\\ | |||
&\Leftrightarrow & x &= -5 \pm 4 &&\\ | |||
&\Leftrightarrow & x_1 &= -9 \text{ oder } x_2=-1 && | |||
\end{alignat} | |||
</math> | |||
zu b) | |||
<math> | |||
\begin{alignat}{3} | |||
& & 14x &= 7x^2-56 &&| -14x\\ | |||
&\Leftrightarrow \qquad & 0 &= 7x^2-14x-56 &&| \colon 7\\ | |||
&\Leftrightarrow & 0 &= x^2-2x-8 &&| p=-2, q=-8\\ | |||
&\Leftrightarrow & x &= -\frac{-2}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-2}{2}\right)^2-(-8)} \qquad &&\\ | |||
&\Leftrightarrow & x &= 1 \pm 3 &&\\ | |||
&\Leftrightarrow & x_1 &= -2 \text{ oder } x_2=4 && | |||
\end{alignat} | |||
</math> | |||
zu c) | |||
<math> | |||
\begin{alignat}{3} | |||
& & 14x &= 3x^2+2x-15 &&| -14x\\ | |||
&\Leftrightarrow \qquad & 0 &= 3x^2-12x-15 &&| \colon 3\\ | |||
&\Leftrightarrow & 0 &= x^2-4x-5 &&| p=-4, q=-5\\ | |||
&\Leftrightarrow & x &= -\frac{-4}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2-(-5)} \qquad &&\\ | |||
&\Leftrightarrow & x &= 2 \pm 3 &&\\ | |||
&\Leftrightarrow & x_1 &= -1 \text{ oder } x_2=5 && | |||
\end{alignat} | |||
</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung ausblenden}} | |||
|3=Üben}} | |||
{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}} | |||
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]] |
Aktuelle Version vom 23. März 2021, 16:24 Uhr
Terme aufstellen
Terme zusammenfassen
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