Digitale Werkzeuge in der Schule/Funktioniert's? Übergang von der SI zur SII/Terme und Gleichungen

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Terme und Gleichungen

In diesem Lernpfad geht es um das Wiederholen und Vertiefen deines Wissens über Terme und Gleichungen.

Du findest hier Übungsaufgaben zu den Themen Terme aufstellen, Terme umformen und Gleichungen lösen.

Der Lernpfad orientiert sich dabei an der Tabelle zur Selbsteinschätzung des Diagnosetests Mathematik zum Übergang SI / SII, sodass du gezielt die Aufgaben bearbeiten kannst, bei denen du dich noch verbessern möchtest.

Solltest du bei einer Aufgabe nicht weiterkommen, findest du unter dieser verschiedene Tipps, die dir helfen könnten. Versuche die Aufgabe jedoch zunächst ohne Hilfe zu bearbeiten; klappt dies nicht oder stimmt deine Lösung nicht mit der angegebenen Lösung überein, so kannst du dir nacheinander die Tipps anschauen. Falls es mehrere Tipps gibt, starte damit dir Tipp 1 anzuschauen und versuche dann zunächst wieder die Aufgabe zu lösen, usw.


Terme aufstellen

1. Flächeninhalt

Klicke alle Terme an, die den Flächeninhalt der Fläche beschreiben.



Worin liegt der Unterschied zwischen Flächeninhalt und Umfang?
Mache dir bewusst, welche Bedeutung die einzelnen Glieder der Terme haben.
Zeichne die Rechtecke, die durch die einzelnen Term-Glieder repräsentiert werden, in dein Heft und überprüfe, ob sich daraus die Figur zusammen setzen lässt.


2. Kerze

Eine Kerze ist 15 cm hoch und brennt pro Stunde 3,5 cm ab. Begründe für die folgenden Terme, ob sie die Höhe der Kerze nach einer gewissen Brenndauer sinnvoll beschreiben oder nicht.

1.)

2.)

3.)

4.)

Berechne mit dem richtigen Term die Höhe der Kerze nach 3 und nach 7 Stunden. Interpretiere die Ergebnisse.

Die allgemeine Geradengleichung lautet , wobei n die Steigung und m der y-Achsenabschnitt ist. Welche Bedeutung haben diese im Sachzusammenhang?
Liegt ein positives oder ein negatives Wachstum vor?
, wobei die Höhe der Kerze in Zentimetern angibt und die Zeit in Stunden ist. Zum Zeitpunkt ist die Kerze 15 cm hoch () und wird pro Stunde 3,5 cm kleiner ().

Nach 3 Stunden ist die Kerze noch cm hoch.

Nach 7 Sunden ergibt sich cm. Die Kerze ist daher schon vor Ende der 7 Stunden abgebrannt.


3. Krankenhaus

Einem Patienten soll nach einer Operation innerhalb von 8 Stunden 500 ml Infusionslösung über einen Tropf verabreicht werden. Innerhalb der ersten vier Stunden laufen bereits 300 ml durch den Tropf. Danach soll die Dosierung langsam verringert werden. Um die restlichen 200 ml in den verbleibenden vier Stunden zu verabreichen, wird die Tropfgeschwindigkeit auf 50 ml pro Stunde verringert. Stelle einen Term für das Volumen der insgesamt bereits verabreichten Infusionslösung innerhalb der letzten 4 Stunden auf.

Welche der gegebenen Werte entsprechen der Steigung und dem Startwert?
Welchen y-Wert muss der Term für aufweisen?

Hier siehst du einen Ausschnitt des gesuchten Graphen.

Krankenhaus Graph.png

Terme zusammenfassen

4. Terme mit einer Variablen

Fasse die Terme zusammen.

a)

b)

c)

Klammere die Variable aus und berechne anschließend den Term innerhalb der Klammer. Beispiel: . Dieser Tipp geht auf das Distributivgesetz zurück.
zu c): Der Vorfaktor wird in der Regel nicht ausgeschrieben. Steht also kein Faktor vor einer Variablen, so handelt es sich um .

a)

b)

c)


5. Terme mit einer Variablen und Konstanten

Fasse die Terme zusammen.

a)

b)

c)

Beginne zunächst damit den Term nach der Variable zu sortieren. Beispiel: . Dieser Tipp geht auf das Kommutativgesetz zurück, welches bei der Addition gilt. Jede Subtraktion kann zudem in eine Addition umgeformt werden .
Fasse alle Konstanten zusammen. Beispiel: .

a)

b)

c)


6. Terme mit zwei Variablen

Fasse die Terme zusammen.

a)

b)

c)

Beginne zunächst damit den Term nach der Variable zu sortieren. Beispiel: . Dieser Tipp geht auf das Kommutativgesetz zurück, welches bei der Addition gilt. Jede Subtraktion kann zudem in eine Addition umgeformt werden .
Bei Addition/Subtraktion dürfen gleichartige Terme zusammengefasst werden. Beispiel: . Diese Regel geht auf das Distributivgesetz zurück, indem die Variable ausgeklammert wird.

a)

b)

c)


7. Terme mit Variablen und Exponenten

Fasse die Terme zusammen.

a)

b)

c)

Vorfaktoren einer Variable mit unterschiedlichen Exponenten dürfen nicht verrechnet werden! Beispiel: .

a)

b)

c)


Klammern in Termen auflösen

8. Terme mit konstanten ersten Faktoren

Löse die Klammern auf.

a)

b)

c)

Steht in der Klammer eine Addition, so multipliziere den Faktor vor der Klammer mit jedem Summanden in der Klammer. Bei der Subtraktion geht es genau so. Beispiel: . Dieser Tipp geht auf das Distributivgesetz zurück.
zu c): Ist kein Rechenzeichen explizit vor die Klammer geschrieben, so ist die Multiplikation gemeint.

a)

b)

c)


9. Terme mit konstanten zweiten Faktoren

Löse die Klammern auf.

a)

b)

c)

Ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht ist nicht wichtig. Dieser Tipp geht darauf zurück, dass die Multiplikation und Addition sowohl links- als auch rechtsdistributiv sind.

a)

b)

c)


10. Terme mit Variablen in beiden Faktoren

Löse die Klammern auf.

a)

b)

c)

Auch wenn außerhalb der Klammer eine Variable steht, ändert sich das Vorgehen nicht.
Achte auf die unterschiedlichen Variablen.

a)

b)

c)


11. Terme mit quadratischen Klammern

Löse die Klammern auf.

a)

b)

c)

Du kannst hier die binomischen Formeln anwenden. und . Die binomischen Formeln gehen auf die doppelte Anwendung des Distributivgesetzes zurück.
Statt die binomischen Formeln anzuwenden, kannst du die Klammer auch per Hand ausmultiplizieren. Der Exponent bedeutet, dass die Klammer mit sich selbst multipliziert werden soll. Beispiel: .
Beim Multiplizieren von zwei Klammern, muss jeder Summand mit jedem Summanden multipliziert werden. Beispiel: . Diese Regel geht auf die doppelte Anwendung des Distributivgesetzes zurück.

a)

b)

c)


In Termen ausklammern

12. Memory-Spiel zum Ausklammern

Ordne die Paare zu, indem du zugehörige Paare übereinander ziehst.



Löse die Klammern auf, um die Paare zu erkennen.


13. Analoges Ausklammern

Klammere soweit wie möglich aus.</nowiki>

a)

b)

c)

Finde den größten gemeinsamen Teiler der einzelnen Glieder der Terme.

a)

b)

c)

Lineare Gleichungen lösen

14. Lineare Gleichungen im Quiz lösen

Löse die linearen Gleichungen.



Bringe alle Glieder mit Variablen auf die eine Seite und alle Glieder ohne Variable auf die andere.
Fasse die gleichartigen Glieder zusammen.


Quadratische Gleichungen lösen

15. Einfache quadratische Gleichungen

Löse die quadratischen Gleichungen </nowiki>ohne p-q-Formel.

a)

b)

c)

zu a): Bei Gleichungen der Form , also ohne linearen Summanden kannst du die Gleichung umstellen, sodass alleine steht und anschließend die Wurzel ziehen.
zu a): Achte beim Wurzelziehen auf die positive und negative Lösung.
zu b): Bei Gleichungen der Form , also ohne konstanten Summanden kannst du ausklammern.
zu b): Ein Produkt ist genau dann , wenn einer der beiden Faktoren bereits ist. Beispiel: bedeutet, dass entweder oder gilt.
zu c): Stelle um, sodass auf einer Seite des Gleichheitszeichen steht.

zu a)

zu b)

zu c)


16. Quadratische Gleichungen mit Standardverfahren

Löse die quadratischen Gleichungen.</nowiki>

a)

b)

c)

Verwende die p-q-Formel. Bringe die Gleichung also auf folgende Form , lies dann und ab und bestimme die Lösung mit .
zu c): Stelle zunächst um, sodass auf einer Seite des Gleichheitszeichen steht.

zu a)

zu b)

zu c)


17. Fortgeschrittene quadratische Gleichungen mit Standardverfahren

Löse die quadratischen Gleichungen.</nowiki>

a)

b)

c)

Um die p-q-Formel verwenden zu können muss vor dem der Vorfaktor (der in der Regel nicht ausgeschrieben wird) stehen.
Steht vor dem ein anderer Vorfaktor als , so dividiere beide Seiten der Gleichung durch diesen Vorfaktor.

zu a)

zu b)

zu c)