Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Zinsrechnung/Zinsformel: Unterschied zwischen den Versionen
Keine Bearbeitungszusammenfassung Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung |
Keine Bearbeitungszusammenfassung Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung |
||
(8 dazwischenliegende Versionen von einem anderen Benutzer werden nicht angezeigt) | |||
Zeile 1: | Zeile 1: | ||
In der Zinsrechnung berechnen wir nun ebenfalls den Prozentwert von einem bestimmten Geldbetrag. Statt Prozentsatz sagen wir also Zinssatz und anstelle von Grundwert sprechen wir nun von Kapital. Zuletzt sind die Zinsen dann der Prozentwert. Statt mit aufwändigen Worten zu rechnen, kürzen wir diese Begriffe nun (wie in der Mathematik üblich) mit einem Buchstaben ab: | In der Zinsrechnung berechnen wir nun ebenfalls den Prozentwert von einem bestimmten Geldbetrag. Statt Prozentsatz sagen wir also Zinssatz und anstelle von Grundwert sprechen wir nun von Kapital. Zuletzt sind die Zinsen dann der Prozentwert. Statt mit aufwändigen Worten zu rechnen, kürzen wir diese Begriffe nun (wie in der Mathematik üblich) mit einem Buchstaben ab: | ||
Zeile 24: | Zeile 4: | ||
Dabei sind <math>Z</math> die Zinsen, <math>K</math> das Kapital und <math>p</math> der Zinssatz. Als Formel ergibt sich somit: | Dabei sind <math>Z</math> die Zinsen, <math>K</math> das Kapital und <math>p</math> der Zinssatz. Als Formel ergibt sich somit: | ||
{{Box | Formel um Zinsen zu berechnen | <math id="Zinsformel">Z = K\cdot \frac{p}{100}</math>. | Merksatz}} | {{Box | Formel um Zinsen zu berechnen | <math id="Zinsformel">Z = K\cdot \frac{p}{100}</math>. | Merksatz}} | ||
====Beispielaufgabe zur Zinsformel mit Lösung==== | ====Beispielaufgabe zur Zinsformel mit Lösung==== | ||
Zeile 30: | Zeile 9: | ||
Probieren wir die Zinsformel doch mal zusammen anhand eines Beispiels aus: | Probieren wir die Zinsformel doch mal zusammen anhand eines Beispiels aus: | ||
{{Box| | {{Box|Katharinas Geburtstag|Katharina hat zum Geburtstag ein Sparkonto bekommen. Dort bekommt sie in einem Jahr <math>1%</math> Zinsen gezahlt. Sie zahlt direkt all ihr Geburtstagsgeld von <math>100</math> € auf das Sparkonto. Wie viel Geld hat sie an ihrem nächsten Geburtstag auf diesem Konto?|Hervorhebung1}} | ||
Lösung: | Lösung: | ||
Zeile 37: | Zeile 16: | ||
'''Gesucht:''' Kapital nach einem Jahr. | '''Gesucht:''' Kapital nach einem Jahr. | ||
'''Rechnung:''' Um das Kapital nach einem Jahr zu bestimmen, berechnen wir zunächst die Zinsen | '''Rechnung:''' Um das Kapital nach einem Jahr zu bestimmen, berechnen wir zunächst die Zinsen:<math id="Zinsformel Bsp1">Z = 100\text{ €} \cdot \frac{1}{100} = 1\text{ €}</math>. Nach einem Jahr hat sie demnach das Kapital von ihrem Geburtstag plus die Zinsen, <math>100\text{ €} + 1\text{ €} = 101\text{ €}</math>, auf dem Konto. | ||
'''Antwort:''' Katharina hat an ihrem nächsten Geburtstag <math>101</math> € auf dem Konto. | '''Antwort:''' Katharina hat an ihrem nächsten Geburtstag <math>101</math> € auf dem Konto. | ||
Zeile 45: | Zeile 24: | ||
<math id="Zinsformel fortsetzung1">100\text{ €} + 1\text{ €} = 101\text{ € } | \text{ Da die 100 € das Kapital sind ersetzen wir sie durch ein K.} </math> | <math id="Zinsformel fortsetzung1">100\text{ €} + 1\text{ €} = 101\text{ € } | \text{ Da die 100 € das Kapital sind ersetzen wir sie durch ein K.} </math> | ||
<math id="Zinsformel fortsetzung2">K + 1\text{ €} = 101\text{ € } | \text{ Die 1 € sind die Zinsen, also ersetzen wir sie durch ein Z.} </math> | <math id="Zinsformel fortsetzung2">K + 1\text{ €} = 101\text{ € } | \text{ Die 1 € sind die Zinsen, also ersetzen wir sie durch ein Z.} </math> | ||
<math id="Zinsformel fortsetzung3">K + Z = 101\text{ € } | \text{ Das Z ersetzen wir durch die Zinsformel} </math>. | <math id="Zinsformel fortsetzung3">K + Z = 101\text{ € } | \text{ Das Z ersetzen wir durch die Zinsformel} </math>. | ||
Zeile 56: | Zeile 35: | ||
<math id="Zinsformel fortsetzung6">K\cdot(1 + 1\cdot \frac{p}{100}) = 101\text{ € } | \text{ Da wir eine allgemein Formel suchen geben wir den 101 € auch noch einen Namen: }K_t</math>. | <math id="Zinsformel fortsetzung6">K\cdot(1 + 1\cdot \frac{p}{100}) = 101\text{ € } | \text{ Da wir eine allgemein Formel suchen geben wir den 101 € auch noch einen Namen: }K_t.</math>. | ||
<math id="Zinsformel fortsetzung7">K\cdot(1 + 1\cdot \frac{p}{100}) = K_t</math> | {{Box | Zinsformel | <math id="Zinsformel fortsetzung7">K\cdot(1 + 1\cdot \frac{p}{100}) = K_t</math> | Merksatz}} | ||
In eurem Buch wird <math id="Nicht euer Ernst">\frac{p}{100}</math> als <math>q</math> abgekürzt. Es ist allerdings euch überlassen, ob ihr das lieber | In eurem Buch wird <math id="Nicht euer Ernst">1+\frac{p}{100}</math> als <math>q</math> abgekürzt. Es ist allerdings euch überlassen, ob ihr das lieber ausschreiben möchtet oder eben abkürzen wollt. | ||
Probieren wir diese Formel doch direkt mal aus mit <math>K = 100</math> € und <math>p=1%</math> aus der Beispielaufgabe aus. | Probieren wir diese Formel doch direkt mal aus mit <math>K = 100</math> € und <math>p=1%</math> aus der Beispielaufgabe "Katharinas Geburtstag" aus. | ||
<math id="Zinsformel Beispiel">100\cdot(1 + 1\cdot \frac{1}{100}) = 101</math>. | <math id="Zinsformel Beispiel">100\cdot(1 + 1\cdot \frac{1}{100}) = 101</math>. | ||
Damit können wir mit dieser Formel also das berechnen der Zinsen, sowie das addieren der Zinsen zu dem bestehenden Kapital überspringen. Wie in der Lösung kommen wir also auch auf <math>101</math> € kommen. | |||
====Aufgaben==== | ====Aufgaben==== | ||
Zeile 71: | Zeile 52: | ||
'''a)''' Wieviel Geld hat Katharina bei Bank A nach einem Jahr auf dem Konto? | '''a)''' Wieviel Geld hat Katharina bei Bank A nach einem Jahr auf dem Konto? | ||
{{Lösung versteckt|1= Benutze die Zinsformel, welche du gerade gelernt hast.|2=Allgemeiner Tipp zu Aufgabe 1. |3=Einklappen}} | {{Lösung versteckt|1= Benutze die Zinsformel, welche du gerade gelernt hast.|2=Allgemeiner Tipp zu Aufgabe 1 a). |3=Einklappen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= Überleg dir zuerst, was <math>K</math> und <math>p</math> ist. |2=Kleiner Tipp zu Aufgabe 1 a). |3=Einklappen}} | {{Lösung versteckt|1= Überleg dir zuerst, was <math>K</math> und <math>p</math> ist. |2=Kleiner Tipp zu Aufgabe 1 a). |3=Einklappen}} | ||
Zeile 122: | Zeile 103: | ||
| Arbeitsmethode}} | | Arbeitsmethode}} | ||
{{Box | Aufgabe 3: Zinsen nur bei Geld? | Manchmal beobachtet man in der Natur Vorgänge, die man nicht mit Linearem Wachstum erklären kann. Wasserlinsen können sich an nur einem Tag verdoppeln. | {{Box | Aufgabe 3: Zinsen nur bei Geld? | Manchmal beobachtet man in der Natur Vorgänge, die man nicht mit Linearem Wachstum erklären kann. Wasserlinsen sind kleine Pflanzen, welche an der Wasseroberfläche treiben. Enten und Glaskarpfen fressen diese gerne. Sie können sich an nur einem Tag verdoppeln. | ||
'''a)''' Stell dir vor, dass unbemerkt zwei Wasserlinsen in ein Aquarium kommen. Wieviele Wasserlinsen sind dann am nächsten Tag in dem Aquarium? Wieviele sind es nächste Woche? | '''a)''' Stell dir vor, dass unbemerkt zwei Wasserlinsen in ein Aquarium kommen. Wieviele Wasserlinsen sind dann am nächsten Tag in dem Aquarium? Wieviele sind es nächste Woche? |
Aktuelle Version vom 29. November 2020, 16:10 Uhr
In der Zinsrechnung berechnen wir nun ebenfalls den Prozentwert von einem bestimmten Geldbetrag. Statt Prozentsatz sagen wir also Zinssatz und anstelle von Grundwert sprechen wir nun von Kapital. Zuletzt sind die Zinsen dann der Prozentwert. Statt mit aufwändigen Worten zu rechnen, kürzen wir diese Begriffe nun (wie in der Mathematik üblich) mit einem Buchstaben ab:
Dabei sind die Zinsen, das Kapital und der Zinssatz. Als Formel ergibt sich somit:
Beispielaufgabe zur Zinsformel mit Lösung
Probieren wir die Zinsformel doch mal zusammen anhand eines Beispiels aus:
Lösung:
Gegeben: €, Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle p = 1%} .
Gesucht: Kapital nach einem Jahr.
Rechnung: Um das Kapital nach einem Jahr zu bestimmen, berechnen wir zunächst die Zinsen:. Nach einem Jahr hat sie demnach das Kapital von ihrem Geburtstag plus die Zinsen, , auf dem Konto.
Antwort: Katharina hat an ihrem nächsten Geburtstag € auf dem Konto.
berechnen geht sogar noch schneller
In der Beispielaufgabe haben wir am Ende das Kapital noch mit den Zinsen verrechnet. Das können wir auch direkt in einer einzelnen Rechnung machen:
.
.
.
.
In eurem Buch wird als abgekürzt. Es ist allerdings euch überlassen, ob ihr das lieber ausschreiben möchtet oder eben abkürzen wollt.
Probieren wir diese Formel doch direkt mal aus mit € und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle p=1%} aus der Beispielaufgabe "Katharinas Geburtstag" aus.
.
Damit können wir mit dieser Formel also das berechnen der Zinsen, sowie das addieren der Zinsen zu dem bestehenden Kapital überspringen. Wie in der Lösung kommen wir also auch auf € kommen.
Aufgaben
Link zum nächsten Teil:
Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Zinsrechnung/Zinseszins
Link zurück zur Übersicht:
Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Zinsrechnung