Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Zinsrechnung/Zinsformel: Unterschied zwischen den Versionen
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In der Zinsrechnung berechnen wir nun ebenfalls den Prozentwert von einem bestimmten Geldbetrag. Statt Prozentsatz sagen wir also Zinssatz und anstelle von Grundwert sprechen wir nun von Kapital. Zuletzt sind die Zinsen dann der Prozentwert. Statt mit aufwändigen Worten zu rechnen, kürzen wir diese Begriffe nun (wie in der Mathematik üblich) mit einem Buchstaben ab: | In der Zinsrechnung berechnen wir nun ebenfalls den Prozentwert von einem bestimmten Geldbetrag. Statt Prozentsatz sagen wir also Zinssatz und anstelle von Grundwert sprechen wir nun von Kapital. Zuletzt sind die Zinsen dann der Prozentwert. Statt mit aufwändigen Worten zu rechnen, kürzen wir diese Begriffe nun (wie in der Mathematik üblich) mit einem Buchstaben ab: | ||
Dabei sind <math>Z</math> die Zinsen, <math>K</math> das Kapital und <math>p</math> der Zinssatz. Als Formel ergibt sich somit: | Dabei sind <math>Z</math> die Zinsen, <math>K</math> das Kapital und <math>p</math> der Zinssatz. Als Formel ergibt sich somit: | ||
{{Box | Formel um Zinsen zu berechnen | <math id="Zinsformel">Z = K\cdot \frac{p}{100}</math>. | Merksatz}} | |||
<math id="Zinsformel">Z = K\cdot \frac{p}{100}</math>. | |||
====Beispielaufgabe zur Zinsformel mit Lösung==== | ====Beispielaufgabe zur Zinsformel mit Lösung==== | ||
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Probieren wir die Zinsformel doch mal zusammen anhand eines Beispiels aus: | Probieren wir die Zinsformel doch mal zusammen anhand eines Beispiels aus: | ||
{{Box| | {{Box|Katharinas Geburtstag|Katharina hat zum Geburtstag ein Sparkonto bekommen. Dort bekommt sie in einem Jahr <math>1%</math> Zinsen gezahlt. Sie zahlt direkt all ihr Geburtstagsgeld von <math>100</math> € auf das Sparkonto. Wie viel Geld hat sie an ihrem nächsten Geburtstag auf diesem Konto?|Hervorhebung1}} | ||
Lösung: | Lösung: | ||
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'''Gesucht:''' Kapital nach einem Jahr. | '''Gesucht:''' Kapital nach einem Jahr. | ||
'''Rechnung:''' Um das Kapital nach einem Jahr zu bestimmen, berechnen wir zunächst die Zinsen | '''Rechnung:''' Um das Kapital nach einem Jahr zu bestimmen, berechnen wir zunächst die Zinsen:<math id="Zinsformel Bsp1">Z = 100\text{ €} \cdot \frac{1}{100} = 1\text{ €}</math>. Nach einem Jahr hat sie demnach das Kapital von ihrem Geburtstag plus die Zinsen, <math>100\text{ €} + 1\text{ €} = 101\text{ €}</math>, auf dem Konto. | ||
'''Antwort:''' Katharina hat an ihrem nächsten Geburtstag <math>101</math> € auf dem Konto. | '''Antwort:''' Katharina hat an ihrem nächsten Geburtstag <math>101</math> € auf dem Konto. | ||
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<math id="Zinsformel fortsetzung1">100\text{ €} + 1\text{ €} = 101\text{ € } | \text{ Da die 100 € das Kapital sind ersetzen wir sie durch ein K.} </math> | <math id="Zinsformel fortsetzung1">100\text{ €} + 1\text{ €} = 101\text{ € } | \text{ Da die 100 € das Kapital sind ersetzen wir sie durch ein K.} </math> | ||
<math id="Zinsformel fortsetzung2">K + 1\text{ €} = 101\text{ € } | \text{ Die 1 € sind die Zinsen, also ersetzen wir sie durch ein Z.} </math> | <math id="Zinsformel fortsetzung2">K + 1\text{ €} = 101\text{ € } | \text{ Die 1 € sind die Zinsen, also ersetzen wir sie durch ein Z.} </math> | ||
<math id="Zinsformel fortsetzung3">K + Z = 101\text{ € } | \text{ Das Z ersetzen wir durch die Zinsformel} </math>. | <math id="Zinsformel fortsetzung3">K + Z = 101\text{ € } | \text{ Das Z ersetzen wir durch die Zinsformel} </math>. | ||
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<math id="Zinsformel fortsetzung6">K\cdot(1 + 1\cdot \frac{p}{100}) = 101\text{ € } | \text{ Da wir eine allgemein Formel suchen geben wir den 101 € auch noch einen Namen: }K_t</math>. | <math id="Zinsformel fortsetzung6">K\cdot(1 + 1\cdot \frac{p}{100}) = 101\text{ € } | \text{ Da wir eine allgemein Formel suchen geben wir den 101 € auch noch einen Namen: }K_t.</math>. | ||
<math id="Zinsformel fortsetzung7">K\cdot(1 + 1\cdot \frac{p}{100}) = K_t</math> | {{Box | Zinsformel | <math id="Zinsformel fortsetzung7">K\cdot(1 + 1\cdot \frac{p}{100}) = K_t</math> | Merksatz}} | ||
In eurem Buch wird <math id="Nicht euer Ernst">\frac{p}{100}</math> als <math>q</math> abgekürzt. Es ist allerdings euch überlassen, ob ihr das lieber | In eurem Buch wird <math id="Nicht euer Ernst">1+\frac{p}{100}</math> als <math>q</math> abgekürzt. Es ist allerdings euch überlassen, ob ihr das lieber ausschreiben möchtet oder eben abkürzen wollt. | ||
Probieren wir diese Formel doch direkt mal aus mit <math>K = 100</math> € und <math>p=1%</math> aus der Beispielaufgabe aus. | Probieren wir diese Formel doch direkt mal aus mit <math>K = 100</math> € und <math>p=1%</math> aus der Beispielaufgabe "Katharinas Geburtstag" aus. | ||
<math id="Zinsformel Beispiel">100\cdot(1 + 1\cdot \frac{1}{100}) = 101</math>. | <math id="Zinsformel Beispiel">100\cdot(1 + 1\cdot \frac{1}{100}) = 101</math>. | ||
Damit können wir mit dieser Formel also das berechnen der Zinsen, sowie das addieren der Zinsen zu dem bestehenden Kapital überspringen. Wie in der Lösung kommen wir also auch auf <math>101</math> € kommen. | |||
====Aufgaben==== | ====Aufgaben==== | ||
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'''a)''' Wieviel Geld hat Katharina bei Bank A nach einem Jahr auf dem Konto? | '''a)''' Wieviel Geld hat Katharina bei Bank A nach einem Jahr auf dem Konto? | ||
{{Lösung versteckt|1= Benutze die Zinsformel, welche du gerade gelernt hast.|2=Allgemeiner Tipp zu Aufgabe 1. |3=Einklappen}} | {{Lösung versteckt|1= Benutze die Zinsformel, welche du gerade gelernt hast.|2=Allgemeiner Tipp zu Aufgabe 1 a). |3=Einklappen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= Überleg dir zuerst, was <math>K</math> und <math>p</math> ist. |2=Kleiner Tipp zu Aufgabe 1 a). |3=Einklappen}} | {{Lösung versteckt|1= Überleg dir zuerst, was <math>K</math> und <math>p</math> ist. |2=Kleiner Tipp zu Aufgabe 1 a). |3=Einklappen}} | ||
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{{Lösung versteckt|1= Hier musst du nicht rechnen. Überlege dir zum Beispiel was auf kurze oder lange Sicht passiert und was der Unterschied zwischen einem Sparschwein und einem Konto ist.|2=kleiner Tipp zu Aufgabe 2 b). |3=Einklappen}} | {{Lösung versteckt|1= Hier musst du nicht rechnen. Überlege dir zum Beispiel was auf kurze oder lange Sicht passiert und was der Unterschied zwischen einem Sparschwein und einem Konto ist.|2=kleiner Tipp zu Aufgabe 2 b). |3=Einklappen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= Ein Sparschwein ist immer verfügbar. Wenn Sipan dringend Geld braucht, kann er sein Sparschwein schnell plündern. Auf lange Sicht ist das Sparkonto von Esma aber die klügere Wahl, da sie nicht nur den gleichen Betrag bekommt, sondern immer mehr | {{Lösung versteckt|1= Ein Sparschwein ist immer verfügbar. Wenn Sipan dringend Geld braucht, kann er sein Sparschwein schnell plündern. Auf lange Sicht ist das Sparkonto von Esma aber die klügere Wahl, da sie nicht nur den gleichen Betrag bekommt, sondern die Zinsen zunehmen und sie so immer mehr Kapital ansammelt. Das rechnet sich auf lange Sicht.|2=Lösung zu Aufgabe 2 b).|3=Einklappen}} | ||
| Arbeitsmethode}} | | Arbeitsmethode}} | ||
{{Box | Aufgabe 3: Zinsen nur bei Geld? | Manchmal beobachtet man in der Natur Vorgänge, die man nicht mit Linearem Wachstum erklären kann. Wasserlinsen können sich an nur einem Tag verdoppeln. | {{Box | Aufgabe 3: Zinsen nur bei Geld? | Manchmal beobachtet man in der Natur Vorgänge, die man nicht mit Linearem Wachstum erklären kann. Wasserlinsen sind kleine Pflanzen, welche an der Wasseroberfläche treiben. Enten und Glaskarpfen fressen diese gerne. Sie können sich an nur einem Tag verdoppeln. | ||
'''a)''' Stell dir vor, dass unbemerkt zwei Wasserlinsen in ein Aquarium kommen. Wieviele Wasserlinsen sind dann am nächsten Tag in dem Aquarium? Wieviele sind es nächste Woche? | '''a)''' Stell dir vor, dass unbemerkt zwei Wasserlinsen in ein Aquarium kommen. Wieviele Wasserlinsen sind dann am nächsten Tag in dem Aquarium? Wieviele sind es nächste Woche? | ||
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{{Lösung versteckt|1= Verdoppelt bedeutet immer doppelt so viele. Also einen Tag später sind es vier Wasserlinsen, nach zwei Tagen acht Wasserlinsen, nach drei Tagen <math>16</math> Wasserlinsen, nach vier Tagen <math>32</math>, nach fünf Tagen <math>64</math>, nach sechs Tagen <math>128</math> und nach sieben Tagen, also einer Woche <math>256</math> Wasserlinsen.|2=Lösung zu Aufgabe 3 a).|3=Einklappen}} | {{Lösung versteckt|1= Verdoppelt bedeutet immer doppelt so viele. Also einen Tag später sind es vier Wasserlinsen, nach zwei Tagen acht Wasserlinsen, nach drei Tagen <math>16</math> Wasserlinsen, nach vier Tagen <math>32</math>, nach fünf Tagen <math>64</math>, nach sechs Tagen <math>128</math> und nach sieben Tagen, also einer Woche <math>256</math> Wasserlinsen.|2=Lösung zu Aufgabe 3 a).|3=Einklappen}} | ||
'''b)''' Wie könntest du verdoppeln als | '''b)''' Wie könntest du verdoppeln als Zinssatz darstellen. Probiere deine Ideen mit der Zinsformel aus! | ||
{{Lösung versteckt|1= Ausprobieren ist vollkommen in Ordnung.|2=kleiner Tipp zu Aufgabe 3 b). |3=Einklappen}} | {{Lösung versteckt|1= Ausprobieren ist vollkommen in Ordnung. Schau bei welchem Zinssatz sich hinterher doppelt soviel Kapital ergibt.|2=kleiner Tipp zu Aufgabe 3 b). |3=Einklappen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= Verdoppeln bedeutet ein Wachstum von <math>100%</math>. Die Zinsformel funktioniert also nicht nur | {{Lösung versteckt|1= Verdoppeln bedeutet ein Wachstum von <math>100%</math>. Damit ist die Rechnung <math>2\cdot(1 + 1\cdot \frac{100}{100}) = 4</math>. Die Zinsformel funktioniert also nicht nur im Kontext Kapital. Natürlich nennt sich das Wachstum von Wasserlinsen nicht Zinsen. Mathematisch ist das jedoch das Gleiche.|2=Lösung zu Aufgabe 3 b).|3=Einklappen}} | ||
| Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|gruen}}}} | | Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|gruen}}}} | ||
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Aktuelle Version vom 29. November 2020, 16:10 Uhr
In der Zinsrechnung berechnen wir nun ebenfalls den Prozentwert von einem bestimmten Geldbetrag. Statt Prozentsatz sagen wir also Zinssatz und anstelle von Grundwert sprechen wir nun von Kapital. Zuletzt sind die Zinsen dann der Prozentwert. Statt mit aufwändigen Worten zu rechnen, kürzen wir diese Begriffe nun (wie in der Mathematik üblich) mit einem Buchstaben ab:
Dabei sind die Zinsen, das Kapital und der Zinssatz. Als Formel ergibt sich somit:
Beispielaufgabe zur Zinsformel mit Lösung
Probieren wir die Zinsformel doch mal zusammen anhand eines Beispiels aus:
Lösung:
Gegeben: €, Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle p = 1%} .
Gesucht: Kapital nach einem Jahr.
Rechnung: Um das Kapital nach einem Jahr zu bestimmen, berechnen wir zunächst die Zinsen:. Nach einem Jahr hat sie demnach das Kapital von ihrem Geburtstag plus die Zinsen, , auf dem Konto.
Antwort: Katharina hat an ihrem nächsten Geburtstag € auf dem Konto.
berechnen geht sogar noch schneller
In der Beispielaufgabe haben wir am Ende das Kapital noch mit den Zinsen verrechnet. Das können wir auch direkt in einer einzelnen Rechnung machen:
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In eurem Buch wird als abgekürzt. Es ist allerdings euch überlassen, ob ihr das lieber ausschreiben möchtet oder eben abkürzen wollt.
Probieren wir diese Formel doch direkt mal aus mit € und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle p=1%} aus der Beispielaufgabe "Katharinas Geburtstag" aus.
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Damit können wir mit dieser Formel also das berechnen der Zinsen, sowie das addieren der Zinsen zu dem bestehenden Kapital überspringen. Wie in der Lösung kommen wir also auch auf € kommen.
Aufgaben
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