Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Zinsrechnung/Zinsformel: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Box
|1=Info
|2=In diesem Kapitel geht es um die Zinsformel. Die Zinsformel hilft dir die einmaligen Zinsen ohne weitere Komplikationen zu berechnen.


Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
In der Zinsrechnung berechnen wir nun ebenfalls den Prozentwert von einem bestimmten Geldbetrag. Statt Prozentsatz sagen wir also Zinssatz und anstelle von Grundwert sprechen wir nun von Kapital. Zuletzt sind die Zinsen dann der Prozentwert. Statt mit aufwändigen Worten zu rechnen, kürzen wir diese Begriffe nun (wie in der Mathematik üblich) mit einem Buchstaben ab:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende
Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
* Aufgaben, die mit einem &#x2B50; gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.
Viel Erfolg!}}


====Prozentformel und Zinsformel====
Dabei sind <math>Z</math> die Zinsen, <math>K</math> das Kapital und <math>p</math> der Zinssatz. Als Formel ergibt sich somit:
Zinsen zu berechnen ist eigentlich einfach nur Prozentrechnung - mit etwas anderen Namen. Die Formel aus der Prozentrechnung kennst du ja schon:
{{Box | Formel um Zinsen zu berechnen | <math id="Zinsformel">Z = K\cdot \frac{p}{100}</math>. | Merksatz}}


<math id="Prozentformel">W = G \cdot \frac{p}{100}</math>.
====Beispielaufgabe zur Zinsformel mit Lösung====


Dabei ist <math>W</math> der Prozentwert, <math>G</math> der Grundwert und <math>p</math> die Prozentzahl. Möchtest du zum Beispiel wissen, was <math>3%</math> von 250g Mehl sind, rechnest du das mit genau dieser Formel aus:
Probieren wir die Zinsformel doch mal zusammen anhand eines Beispiels aus:


{{Box|Katharinas Geburtstag|Katharina hat zum Geburtstag ein Sparkonto bekommen. Dort bekommt sie in einem Jahr <math>1%</math> Zinsen gezahlt. Sie zahlt direkt all ihr Geburtstagsgeld von <math>100</math> € auf das Sparkonto. Wie viel Geld hat sie an ihrem nächsten Geburtstag auf diesem Konto?|Hervorhebung1}}
Lösung:


<math id="Prozentformel mit Beispiel">W = 250\cdot \frac{3}{100} = 7{,}5 \text{ g}</math>.
'''Gegeben:''' <math>K = 100</math> €, <math>p = 1%</math>.


'''Gesucht:''' Kapital nach einem Jahr.


In der Zinsrechnung berechnen wir nun ebenfalls die Prozente von einem bestimmten Geldbetrag. Statt Prozent sagen wir also Zinssatz und anstelle von Grundwert sprechen wir nun von Kapital. Zuletzt sind die Zinsen dann der Prozentwert. Statt die aufwändigen Worte kürzen wir diese Begriffe nun wie in der Mathematik üblich mit eine, Buchstaben ab:
'''Rechnung:''' Um das Kapital nach einem Jahr zu bestimmen, berechnen wir zunächst die Zinsen:<math id="Zinsformel Bsp1">Z = 100\text{ €} \cdot \frac{1}{100} = 1\text{ €}</math>. Nach einem Jahr hat sie demnach das Kapital von ihrem Geburtstag plus die Zinsen, <math>100\text{ €} + 1\text{ €} = 101\text{ €}</math>, auf dem Konto.


Dabei sind <math>Z</math> die Zinsen, <math>K</math> das Kapital und <math>z</math> der Zinssatz. Als Formel ergibt sich somit:
'''Antwort:''' Katharina hat an ihrem nächsten Geburtstag <math>101</math> € auf dem Konto.


<math id="Zinsformel">Z = K\cdot \frac{z}{100}</math>.
====<math>K</math> berechnen geht sogar noch schneller====
 
In der Beispielaufgabe haben wir am Ende das Kapital noch mit den Zinsen verrechnet. Das können wir auch direkt in einer einzelnen Rechnung machen:
====Beispielaufgabe mit Lösung====
 
Probieren wir die doch mal zusammen aus anhand einem Beispiel:
 
{{Box|Beispiel|Katharina hat zum Geburtstag ein Sparkonto bekommen. Dort bekommt sie in einem Jahr <math>1%</math> Zinsen gezahlt. Sie zahlt direkt all ihr Geburtstagsgeld von <math>100</math> Euro auf das Sparkonto. Wieviel Geld hat sie an ihrem nächsten Geburtstag auf diesem Konto?|Hervorhebung1}}
Lösung:


'''Gegeben:''' K = <math>100</math> Euro, z = <math>1%</math>.


'''Gesucht:''' Z und Kapital nach einem Jahr.
<math id="Zinsformel fortsetzung1">100\text{ €} + 1\text{ €} = 101\text{ € } | \text{ Da die 100 € das Kapital sind ersetzen wir sie durch ein K.} </math>
 
'''Rechnung:''' <math id="Zinsformel Bsp1">Z = 100\text{ Euro} \cdot \frac{1}{100} = 1\text{ Euro}</math>. Nach einem Jahr hat sie demnach <math>100\text{ Euro} + 1\text{ Euro} = 101\text{ Euro}</math> auf dem Konto.
 
'''Antwort:''' Katharina hat an ihrem nächsten Geburtstag <math>101</math> Euro auf dem Konto.
 
====Das geht sogar noch schneller====
In der Beispielaufgabe haben wir am Ende das Kapital noch mit den Zinsen verrechnet. Das können wir auch direkt in einer einzelnen Rechnung machen:


<math id="Zinsformel fortsetzung2">K + 1\text{ €} = 101\text{ € } | \text{ Die 1 € sind die Zinsen, also ersetzen wir sie durch ein Z.} </math>


<math id="Zinsformel fortsetzung1">100\text{ Euro} + 1\text{ Euro} = 101\text{ Euro } | \text{ Die 100 ersetzen wir durch ein K} </math>.
<math id="Zinsformel fortsetzung3">K + Z = 101\text{ € } | \text{ Das Z ersetzen wir durch die Zinsformel} </math>.


<math id="Zinsformel fortsetzung2">K + 1\text{ Euro} = 101\text{ Euro } | \text{ Die 1 Euro ersetzen wir durch Z} </math>.
<math id="Zinsformel fortsetzung4">K + K\cdot \frac{p}{100} = 101\text{ € } | \text{ Beachte: Vor dem K ist eine 1 Multipliziert.} </math>.


<math id="Zinsformel fortsetzung3">K + Z = 101\text{ Euro } | \text{ Das Z ersetzen wir durch die Zinsformel} </math>.
<math>1 \cdot K + 1 \cdot K \cdot \frac{p}{100} = 101\text{ € } | \text{ Das K können wir nun ausklammern} </math>.


<math id="Zinsformel fortsetzung4">K + K\cdot \frac{z}{100} = 101\text{ Euro } | \text{ Vor dem K ist eine 1 Multipliziert} </math>.


<math>1 \cdot K + 1 \cdot K \cdot \frac{z}{100} = 101\text{ Euro } | \text{ Das K können wir nun ausklammern} </math>.
<math id="Zinsformel fortsetzung6">K\cdot(1 + 1\cdot \frac{p}{100}) = 101\text{ € } | \text{ Da wir eine allgemein Formel suchen geben wir den 101 € auch noch einen Namen: }K_t.</math>.


{{Box | Zinsformel | <math id="Zinsformel fortsetzung7">K\cdot(1 + 1\cdot \frac{p}{100}) = K_t</math> | Merksatz}}


<math id="Zinsformel fortsetzung6">K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100}) = 101\text{ Euro } | \text{ Der 101 geben wir auch noch einen Namen}</math>.
In eurem Buch wird <math id="Nicht euer Ernst">1+\frac{p}{100}</math> als <math>q</math> abgekürzt. Es ist allerdings euch überlassen, ob ihr das lieber ausschreiben möchtet oder eben abkürzen wollt.


<math id="Zinsformel fortsetzung7">K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100}) = K_t</math>.
Probieren wir diese Formel doch direkt mal aus mit <math>K = 100</math> € und <math>p=1%</math> aus der Beispielaufgabe "Katharinas Geburtstag" aus.


Probieren wir diese Formel doch direkt mal aus mit <math>K = 100</math> und <math>z=1%</math> aus der Beispielaufgabe aus.
<math id="Zinsformel Beispiel">100\cdot(1 + 1\cdot \frac{1}{100}) = 101</math>.


<math id="Zinsformel Beispiel">100\cdot(1 + 1\cdot \frac{1}{100}) = 101</math>. Es geht auf!
Damit können wir mit dieser Formel also das berechnen der Zinsen, sowie das addieren der Zinsen zu dem bestehenden Kapital überspringen. Wie in der Lösung kommen wir also auch auf <math>101</math> € kommen.


====Aufgaben====
====Aufgaben====
{{Box | Aufgabe 1: Rechnen mit Zinsen | Katharina hat nun <math>100 </math> Euro auf ihrem Konto. Sie bekommt zwei Angebote von Banken. Bank A bietet ihr 2% Zinsen in einem Jahr, Bank B bietet ihr 1% Zinsen in einem halben Jahr.
{{Box | Aufgabe 1: Rechnen mit Zinsen | Katharina hat nun <math>100 </math> € auf ihrem Konto. Sie bekommt zwei Angebote von Banken. Bank A bietet ihr 2% Zinsen in einem Jahr, Bank B bietet ihr 1% Zinsen in einem halben Jahr.


'''a)''' Wieviel Geld hat Katharina bei Bank A nach einem Jahr auf dem Konto?
'''a)''' Wieviel Geld hat Katharina bei Bank A nach einem Jahr auf dem Konto?


{{Lösung versteckt|1= Benutze die Zinsformel, welche du gerade gelernt hast.|2=Allgemeiner Tipp zu Aufgabe 1 |3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Benutze die Zinsformel, welche du gerade gelernt hast.|2=Allgemeiner Tipp zu Aufgabe 1 a). |3=Einklappen}}


{{Lösung versteckt|1= Überleg dir zuerst, was <math>G</math> und <math>z</math> ist. |2=kleiner Tipp zu Aufgabe 1 a) |3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Überleg dir zuerst, was <math>K</math> und <math>p</math> ist. |2=Kleiner Tipp zu Aufgabe 1 a). |3=Einklappen}}


{{Lösung versteckt|1= Es ist <math>G = 100 </math> Euro und <math>z = 2</math>. Nun benutze die Formel von oben |2=großer Tipp zu Aufgabe 1 1) |3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Es ist <math>K = 100 </math> € und <math>p = 2</math>.
|2=Großer Tipp zu Aufgabe 1 a). |3=Einklappen}}


{{Lösung versteckt|1= Katharina bekommt bei Bank A in einem Jahr <math>2</math> Euro Zinsen. Also hat sie dann ein Kapital von <math>102</math> Euro auf ihrem Konto.|2=Lösung zu 1. a)|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Benutze die Formel von oben:
<math>K\cdot(1 + 1\cdot \frac{p}{100}) = K_t</math>. Eingesetzt ergibt sich
<math>100\cdot(1 + 1\cdot \frac{2}{100}) = 102</math> €. Damit befinden sich also <math>102</math> € nach einem Jahr auf ihrem Konto.|2=Lösung zu Aufgabe 1 a).|3=Einklappen}}


'''b)''' Wieviel Geld hätte Katharina nach einem halben Jahr bei Bank B auf dem Konto?
'''b)''' Wieviel Geld hätte Katharina nach einem halben Jahr bei Bank B auf dem Konto?


{{Lösung versteckt|1= Das geht genau so wie in Aufgage a). |2=kleiner Tipp zu Aufgabe 2 b) |3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Das geht genau so wie in Aufgage a). Lass dich von dem Zeitraum nicht verwirren, da sich die angegeben Zinsen schon auf ein halbes Jahr beziehen. |2=Kleiner Tipp zu Aufgabe 1 b). |3=Einklappen}}


{{Lösung versteckt|1= Rechne mit <math>G = 100 </math> Euro und <math>z = 1</math>.|2=großer Tipp zu 2. b)|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Rechne mit <math>K = 100 </math> € und <math>p = 1</math>.|2=Großer Tipp zu Aufgabe 1 b.)|3=Einklappen}}


{{Lösung versteckt|1= Katharina bekommt in einem halben Jahr bei Bank B <math>1</math> Euro Zinsen. Damit hat sie ein Kapital von <math>101</math> Euro auf ihrem Konto.|2=Lösung zu 2. b)|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Rechne wie in Aufgabe 1 a). <math>100\cdot(1 + 1\cdot \frac{1}{100}) = 101</math> €. Damit hat sie ein Kapital von <math>101</math> € auf ihrem Konto.|2=Lösung zu Aufgabe 1 b).|3=Einklappen}}


'''c)''' Nach eine halben Jahr hat Katharina nun <math>101</math> Euro auf ihrem Konto. Wieviel Geld hat sie ein weiteres halbes Jahr später?
'''c)''' Nach einem halben Jahr hat Katharina nun <math>101</math> € auf ihrem Konto. Wieviel Geld hat sie ein weiteres halbes Jahr später?


{{Lösung versteckt|1= Verfahre genauso wie in b).|2=kleiner Tipp zu Aufgabe 2 c) |3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Verfahre genauso wie in b).|2=kleiner Tipp zu Aufgabe 1 c). |3=Einklappen}}


{{Lösung versteckt|1= Bedenke, dass sich im Unterschied zu b) nun <math>G</math> verändert hat.|2=großer Tipp zu 2 c)|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Bedenke, dass sich im Unterschied zu b) nun <math>K</math> verändert hat.|2=großer Tipp zu Aufgabe 1 c).|3=Einklappen}}


{{Lösung versteckt|1= Katharina bekommt für ein weiteres halbes Jahr insgesamt <math>1{,}01</math> Euro Zinsen. Sie hat also <math>101{,}01</math> Euro auf ihrem Konto.|2=Lösung zu 2 c)|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Rechne wie in Aufgabe 1 a). <math>101\cdot(1 + 1\cdot \frac{1}{100}) = 102{,}01</math> €. Sie hat also <math>102{,}01</math> € auf ihrem Konto.|2=Lösung zu Aufgabe 1 c).|3=Einklappen}}


'''d)''' Was fällt dir im Vergleich der beiden Agebote auf?
'''d)''' Was fällt dir im Vergleich der beiden Angebote auf?


{{Lösung versteckt|1= Ist ein Angebot besser?|2=kleiner Tipp zu Aufgabe 2 d) |3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Ist ein Angebot besser?|2=kleiner Tipp zu Aufgabe 1 d). |3=Einklappen}}


{{Lösung versteckt|1= Überlege, ob sich die Zinsen mit der Zeit verändern oder immer gleich bleiben.|2=großer Tipp zu 2 d)|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Überlege, ob sich die Zinsen mit der Zeit verändern oder immer gleich bleiben.|2=großer Tipp zu Aufgabe 1 d).|3=Einklappen}}


{{Lösung versteckt|1= Das Angebot von Bank B ist besser. Es klingt zwar so, als seien beide Angebote gleich, aber da sich nach jedem auszahlen der Zinsen auch <math>G</math> vergrößert, werden die Zinsen auch größer. Nach zweimal auszahlen hat Katharina daher etwas mehr Geld auf ihrem Konto.|2=Lösung zu 2 d)|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Das Angebot von Bank B ist besser. Es klingt zwar so, als seien beide Angebote gleich, aber da sich nach jedem Auszahlen der Zinsen auch <math>K</math> vergrößert, werden die Zinsen auch größer. Nachdem zweimal ausgezahlt wurde, hat Katharina daher etwas mehr Geld auf ihrem Konto.|2=Lösung zu Aufgabe 1 d).|3=Einklappen}}


| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}


{{Box | Aufgabe 2: Vergleich Zinsen mit Linearem Wachstum | Sipan hat ein Sparschwein. Er legt jedes Jahr immer 5 Euro in dieses Sparschwein. Seine Schwester Esma legt ihr Geld bei einer Bank an, wo sie 2% Zinsen im Jahr bekommt.
{{Box | Aufgabe 2: Vergleich Zinsen mit proportionalem Wachstum | Sipan besitzt ein Sparschwein. Er legt jedes Jahr immer 5 € in dieses Sparschwein. Seine Schwester Esma legt ihr Geld bei einer Bank an, bei welcher sie 2% Zinsen im Jahr bekommt.


'''a)''' Beide starten mit <math>250</math> Euro Erspartem. Berechne wieviel Geld sie jeweils nach zwei Jaren auf ihrem Konto haben.
'''a)''' Beide starten mit <math>250</math> € Erspartem. Berechne wieviel Geld sie jeweils nach zwei Jahren auf ihrem Konto beziehungsweise Sparschwein haben.


{{Lösung versteckt|1= Gehe Schrittweise vor. Berechne bei beiden zuerst das Geld nach einem Jahr und dann nach zwei Jahren.|2=kleiner Tipp zu Aufgabe 2 a) |3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Gehe Schrittweise vor. Berechne bei beiden zuerst das Geld nach einem Jahr und dann nach zwei Jahren.|2=kleiner Tipp zu Aufgabe 2 a). |3=Einklappen}}


{{Lösung versteckt|1= Sipan wird in zwei Jahren <math>10</math> Euro zu seinem Ersparten legen. Er besitzt dann also <math>260</math> Euro. Esma bekommt im ersten Jahr <math>5</math> Euro Zinsen und im zweiten Jahr <math>5{,}10</math> Euro Zinsen. Also hat sie nach zwei Jahren <math>260,10</math> Euro auf ihrem Konto.|2=Lösung zu 2 a)|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Sipan wird in zwei Jahren <math>10</math> € zu seinem Ersparten legen. Er besitzt dann also <math>260</math> €. Esma bekommt im ersten Jahr <math id="Zinsformel">250 \text{ €}\cdot \frac{2}{100}=5\text{ €}</math> Zinsen und im zweiten Jahr <math id="Zinsformel">255 \text{ €}\cdot \frac{2}{100}=5{,}10\text{ €}</math> Zinsen. Also hat sie nach zwei Jahren <math>250\text{ €}+5\text{ €}+5{,}10\text{ €}=260,10</math> € auf ihrem Konto.|2=Lösung zu Aufgabe 2 a).|3=Einklappen}}


'''b)''' Fallen dir Vorteile der beiden Sparmethoden von Sipan und Esma ein?
'''b)''' Fallen dir Vorteile der beiden Sparmethoden von Sipan und Esma ein?
{{Lösung versteckt|1= Hier musst du nicht rechnen. Überlege dir zum Beispiel was auf kurze oder lange Sicht passiert und was der Unterschied zwischen einem Sparschwein und einem Konto ist.|2=kleiner Tipp zu Aufgabe 2 b) |3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Hier musst du nicht rechnen. Überlege dir zum Beispiel was auf kurze oder lange Sicht passiert und was der Unterschied zwischen einem Sparschwein und einem Konto ist.|2=kleiner Tipp zu Aufgabe 2 b). |3=Einklappen}}


{{Lösung versteckt|1= Ein Sparschwein ist immer verfügbar. Wenn Sipan dringend Geld braucht, kann er sein Sparschwein schnell plündern. Auf lange Sicht ist das Sparkonto von Esma aber die klügere Wahl, da sie nicht nur den gleichen Betrag bekommt, sondern immer mehr Geld. Das rechnet sich auf lange Sicht.|2=Lösung zu 2 b)|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Ein Sparschwein ist immer verfügbar. Wenn Sipan dringend Geld braucht, kann er sein Sparschwein schnell plündern. Auf lange Sicht ist das Sparkonto von Esma aber die klügere Wahl, da sie nicht nur den gleichen Betrag bekommt, sondern die Zinsen zunehmen und sie so immer mehr Kapital ansammelt. Das rechnet sich auf lange Sicht.|2=Lösung zu Aufgabe 2 b).|3=Einklappen}}
| Arbeitsmethode}}
| Arbeitsmethode}}


{{Box | Aufgabe 3: Zinsen nur bei Geld? | Manchmal beobachtet man in der Natur Vorgänge, die man nicht mit Linearem Wachstum erklären kann. Wasserlinsen können sich an nur einem Tag verdoppeln.
{{Box | Aufgabe 3: Zinsen nur bei Geld? | Manchmal beobachtet man in der Natur Vorgänge, die man nicht mit Linearem Wachstum erklären kann. Wasserlinsen sind kleine Pflanzen, welche an der Wasseroberfläche treiben. Enten und Glaskarpfen fressen diese gerne. Sie können sich an nur einem Tag verdoppeln.


'''a)''' Stell dir vor, dass unbemerkt zwei Wasserlinsen in ein Aquarium kommen. Wieviele Wasserlinsen sind dann am nächsten Tag in dem Aquarium? Wieviele sind es nächste Woche?
'''a)''' Stell dir vor, dass unbemerkt zwei Wasserlinsen in ein Aquarium kommen. Wieviele Wasserlinsen sind dann am nächsten Tag in dem Aquarium? Wieviele sind es nächste Woche?


{{Lösung versteckt|1= Gehe Schrittweise vor. Du brauchst hier keine Formel anwenden.|2=kleiner Tipp zu Aufgabe 3 a) |3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Gehe Schrittweise vor. Du brauchst hier keine Formel anwenden.|2=kleiner Tipp zu Aufgabe 3 a). |3=Einklappen}}


{{Lösung versteckt|1= Verdoppelt bedeutet immer doppelt so viele. Also einen Tag später sind es vier Wasserlinsen, nach zwei Tagen acht Wasserlinsen, nach drei Tagen <math>16</math> Wasserlinsen, nach vier Tagen <math>32</math>, nach fünf Tagen <math>64</math>, nach sechs Tagen <math>128</math> und nach sieben Tagen, also einer Woche <math>256</math> Wasserlinsen.|2=Lösung zu 3 a)|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Verdoppelt bedeutet immer doppelt so viele. Also einen Tag später sind es vier Wasserlinsen, nach zwei Tagen acht Wasserlinsen, nach drei Tagen <math>16</math> Wasserlinsen, nach vier Tagen <math>32</math>, nach fünf Tagen <math>64</math>, nach sechs Tagen <math>128</math> und nach sieben Tagen, also einer Woche <math>256</math> Wasserlinsen.|2=Lösung zu Aufgabe 3 a).|3=Einklappen}}


'''b)''' Wie könntest du verdoppeln als Prozent darstellen. Probiere deine Ideen mit der Formel aus!
'''b)''' Wie könntest du verdoppeln als Zinssatz darstellen. Probiere deine Ideen mit der Zinsformel aus!
{{Lösung versteckt|1= Ausprobieren ist vollkommen in Ordnung.|2=kleiner Tipp zu Aufgabe 3 b) |3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Ausprobieren ist vollkommen in Ordnung. Schau bei welchem Zinssatz sich hinterher doppelt soviel Kapital ergibt.|2=kleiner Tipp zu Aufgabe 3 b). |3=Einklappen}}


{{Lösung versteckt|1= Verdoppeln bedeutet ein Wachstum von <math>100%</math>. Die Zinsformel funktioniert also nicht nur bei Geld.|2=Lösung zu 3 b)|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Verdoppeln bedeutet ein Wachstum von <math>100%</math>. Damit ist die Rechnung <math>2\cdot(1 + 1\cdot \frac{100}{100}) = 4</math>. Die Zinsformel funktioniert also nicht nur im Kontext Kapital. Natürlich nennt sich das Wachstum von Wasserlinsen nicht Zinsen. Mathematisch ist das jedoch das Gleiche.|2=Lösung zu Aufgabe 3 b).|3=Einklappen}}
| Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|gruen}}}}
| Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|gruen}}}}




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[[Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Zinsrechnung/Zinseszins]]
[[Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Zinsrechnung/Zinseszins]]

Aktuelle Version vom 29. November 2020, 16:10 Uhr

In der Zinsrechnung berechnen wir nun ebenfalls den Prozentwert von einem bestimmten Geldbetrag. Statt Prozentsatz sagen wir also Zinssatz und anstelle von Grundwert sprechen wir nun von Kapital. Zuletzt sind die Zinsen dann der Prozentwert. Statt mit aufwändigen Worten zu rechnen, kürzen wir diese Begriffe nun (wie in der Mathematik üblich) mit einem Buchstaben ab:

Dabei sind die Zinsen, das Kapital und der Zinssatz. Als Formel ergibt sich somit:

Formel um Zinsen zu berechnen
.

Beispielaufgabe zur Zinsformel mit Lösung

Probieren wir die Zinsformel doch mal zusammen anhand eines Beispiels aus:


Katharinas Geburtstag
Katharina hat zum Geburtstag ein Sparkonto bekommen. Dort bekommt sie in einem Jahr Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 1%} Zinsen gezahlt. Sie zahlt direkt all ihr Geburtstagsgeld von € auf das Sparkonto. Wie viel Geld hat sie an ihrem nächsten Geburtstag auf diesem Konto?

Lösung:

Gegeben: €, Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle p = 1%} .

Gesucht: Kapital nach einem Jahr.

Rechnung: Um das Kapital nach einem Jahr zu bestimmen, berechnen wir zunächst die Zinsen:. Nach einem Jahr hat sie demnach das Kapital von ihrem Geburtstag plus die Zinsen, , auf dem Konto.

Antwort: Katharina hat an ihrem nächsten Geburtstag € auf dem Konto.

berechnen geht sogar noch schneller

In der Beispielaufgabe haben wir am Ende das Kapital noch mit den Zinsen verrechnet. Das können wir auch direkt in einer einzelnen Rechnung machen:


.

.

.


.


Zinsformel

In eurem Buch wird als abgekürzt. Es ist allerdings euch überlassen, ob ihr das lieber ausschreiben möchtet oder eben abkürzen wollt.

Probieren wir diese Formel doch direkt mal aus mit € und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle p=1%} aus der Beispielaufgabe "Katharinas Geburtstag" aus.

.

Damit können wir mit dieser Formel also das berechnen der Zinsen, sowie das addieren der Zinsen zu dem bestehenden Kapital überspringen. Wie in der Lösung kommen wir also auch auf € kommen.

Aufgaben

Aufgabe 1: Rechnen mit Zinsen 
Katharina hat nun  € auf ihrem Konto. Sie bekommt zwei Angebote von Banken. Bank A bietet ihr 2% Zinsen in einem Jahr, Bank B bietet ihr 1% Zinsen in einem halben Jahr.

a) Wieviel Geld hat Katharina bei Bank A nach einem Jahr auf dem Konto?

Benutze die Zinsformel, welche du gerade gelernt hast.
Überleg dir zuerst, was und ist.
Es ist € und .

Benutze die Formel von oben: . Eingesetzt ergibt sich

€. Damit befinden sich also € nach einem Jahr auf ihrem Konto.

b) Wieviel Geld hätte Katharina nach einem halben Jahr bei Bank B auf dem Konto?

Das geht genau so wie in Aufgage a). Lass dich von dem Zeitraum nicht verwirren, da sich die angegeben Zinsen schon auf ein halbes Jahr beziehen.
Rechne mit € und .
Rechne wie in Aufgabe 1 a). €. Damit hat sie ein Kapital von € auf ihrem Konto.

c) Nach einem halben Jahr hat Katharina nun € auf ihrem Konto. Wieviel Geld hat sie ein weiteres halbes Jahr später?

Verfahre genauso wie in b).
Bedenke, dass sich im Unterschied zu b) nun verändert hat.
Rechne wie in Aufgabe 1 a). €. Sie hat also € auf ihrem Konto.

d) Was fällt dir im Vergleich der beiden Angebote auf?

Ist ein Angebot besser?
Überlege, ob sich die Zinsen mit der Zeit verändern oder immer gleich bleiben.
Das Angebot von Bank B ist besser. Es klingt zwar so, als seien beide Angebote gleich, aber da sich nach jedem Auszahlen der Zinsen auch vergrößert, werden die Zinsen auch größer. Nachdem zweimal ausgezahlt wurde, hat Katharina daher etwas mehr Geld auf ihrem Konto.


Aufgabe 2: Vergleich Zinsen mit proportionalem Wachstum 
Sipan besitzt ein Sparschwein. Er legt jedes Jahr immer 5 € in dieses Sparschwein. Seine Schwester Esma legt ihr Geld bei einer Bank an, bei welcher sie 2% Zinsen im Jahr bekommt.

a) Beide starten mit € Erspartem. Berechne wieviel Geld sie jeweils nach zwei Jahren auf ihrem Konto beziehungsweise Sparschwein haben.

Gehe Schrittweise vor. Berechne bei beiden zuerst das Geld nach einem Jahr und dann nach zwei Jahren.
Sipan wird in zwei Jahren € zu seinem Ersparten legen. Er besitzt dann also €. Esma bekommt im ersten Jahr Zinsen und im zweiten Jahr Zinsen. Also hat sie nach zwei Jahren € auf ihrem Konto.

b) Fallen dir Vorteile der beiden Sparmethoden von Sipan und Esma ein?

Hier musst du nicht rechnen. Überlege dir zum Beispiel was auf kurze oder lange Sicht passiert und was der Unterschied zwischen einem Sparschwein und einem Konto ist.
Ein Sparschwein ist immer verfügbar. Wenn Sipan dringend Geld braucht, kann er sein Sparschwein schnell plündern. Auf lange Sicht ist das Sparkonto von Esma aber die klügere Wahl, da sie nicht nur den gleichen Betrag bekommt, sondern die Zinsen zunehmen und sie so immer mehr Kapital ansammelt. Das rechnet sich auf lange Sicht.


Aufgabe 3: Zinsen nur bei Geld? 
Manchmal beobachtet man in der Natur Vorgänge, die man nicht mit Linearem Wachstum erklären kann. Wasserlinsen sind kleine Pflanzen, welche an der Wasseroberfläche treiben. Enten und Glaskarpfen fressen diese gerne. Sie können sich an nur einem Tag verdoppeln.

a) Stell dir vor, dass unbemerkt zwei Wasserlinsen in ein Aquarium kommen. Wieviele Wasserlinsen sind dann am nächsten Tag in dem Aquarium? Wieviele sind es nächste Woche?

Gehe Schrittweise vor. Du brauchst hier keine Formel anwenden.
Verdoppelt bedeutet immer doppelt so viele. Also einen Tag später sind es vier Wasserlinsen, nach zwei Tagen acht Wasserlinsen, nach drei Tagen Wasserlinsen, nach vier Tagen , nach fünf Tagen , nach sechs Tagen und nach sieben Tagen, also einer Woche Wasserlinsen.

b) Wie könntest du verdoppeln als Zinssatz darstellen. Probiere deine Ideen mit der Zinsformel aus!

Ausprobieren ist vollkommen in Ordnung. Schau bei welchem Zinssatz sich hinterher doppelt soviel Kapital ergibt.
Verdoppeln bedeutet ein Wachstum von Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 100%} . Damit ist die Rechnung . Die Zinsformel funktioniert also nicht nur im Kontext Kapital. Natürlich nennt sich das Wachstum von Wasserlinsen nicht Zinsen. Mathematisch ist das jedoch das Gleiche.


Link zum nächsten Teil:

Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Zinsrechnung/Zinseszins


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Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Zinsrechnung

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