Benutzer:Buss-Haskert/Terme(mit Klammern)/Binomische Formeln: Unterschied zwischen den Versionen

Aus ZUM Projektwiki
K (Übungen und LearningApps ergänzt)
Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung
Keine Bearbeitungszusammenfassung
Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung
 
(86 dazwischenliegende Versionen von 2 Benutzern werden nicht angezeigt)
Zeile 1: Zeile 1:
{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Startseite|vorherlink=Benutzer:Buss-Haskert/Terme(mit Klammern)}}
[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}
<br />
{{Navigation |[[Benutzer: Buss-Haskert/Terme(mit Klammern)| 1. Vorwissen und Ausmultiplizieren/Ausklammern]]<br>
[[Benutzer: Buss-Haskert/Terme (mit Klammern)/Summen multiplizieren|2. Summen multiplizieren]]<br>[[Benutzer:Buss-Haskert/Terme(mit Klammern)/Binomische Formeln|3. Binomische Formeln und 4. Faktorisieren mit binomische Formeln]]<br>[[Benutzer:Buss-Haskert/Terme(mit Klammern)/Zusammenfassung| 5. Zusammenfassung]]<br>[[Benutzer:Buss-Haskert/Terme(mit Klammern)/Checkliste| 6. Checkliste]]}}
 
{{Box|1=Einstieg: Binomische Formeln|2=Welche der Aufgaben lassen sich zu Gruppen zusammenfassen?<br>
 
(1) x² + 3x - 11<br>
(2) x² - 2x + 1<br>
(3) 2x² + 4x<br>
(4) x² - 20x + 100<br>
(5) x² - 16<br>
(6) x³ + 10x² + 25<br>
(7) 4x² - 64<br>
(8) x² + 22x + 121<br>
 
* Worin ähneln sich die Aufgaben in einer Gruppe?
* Hat dein Partner/deine Partnerin dieselben Gruppen gebildet?
* Gehören alle Aufgaben zu je einer Gruppe?|3=Meinung}}
 


===3. Binomische Formeln===
===3. Binomische Formeln===
Zeile 6: Zeile 25:
Durch entsprechende Figuren lassen sie sich auch gut anschaulich erklären.  
Durch entsprechende Figuren lassen sie sich auch gut anschaulich erklären.  
<br />
<br />
{{Box|Vorübung: Wiederholung Quadratzahlen|Bearbeite die nachfolgenden LearningApps. Tipp: Du muss die Quadratzahlen auswendig können (siehe Tipp)|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Du musst die Quadratzahlen beherrschen! Erinnerung:<br>11² = 121<br>12² = 144<br>13² = 169<br>14² = 196<br>15² = 225<br>16² = 256<br>17² = 289<br>18² = 324<br>19² = 361<br>20² = 400<br>25² = 625<br>
{{LearningApp|app=pwbnw837j19|width=100%|height=600px}}|2= Tipp Quadratzahlen|3=Verbergen}}
{{LearningApp|app=pxb2hozmt22|width=100%|height=400px}}
====1. binomische Formel====
====1. binomische Formel====


Zeile 17: Zeile 42:
Beispiele:
Beispiele:


[[Datei:1.binomische Formel Beispiele 1.png|rahmenlos|427x427px]]
[[Datei:1.binomische Formel Beispiele 2.png|rahmenlos|753x753px]]<br />
<br />
 
{{Box|1=1. binomische Formel|2=Übertrage die Herleitung und die Beispiele in dein Heft.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<br>
<big>'''(a + b)²= a² + 2ab + b²'''</big>|3=Arbeitsmethode}}
 
{{#ev:youtube|yk6BqXWEz6g|800|center|||start=0&end=124}}
{{#ev:youtube|_bvjm1qcBhw|800|center}}
 
=====Übung=====
 
{{Box|Übung 1: 1. binomische Formel|Bearbeite die nachfolgenden LearningApps (anmelden).|Üben}}
{{LearningApp|app=pxex4db4n24|width=100%|height=400px}}


{{Box|1=1. binomische Formel|2=Übertrage die Herleitung und die Beispiele in dein Heft.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<br>'''(a+b)²=a²+2ab+b²'''|3=Arbeitsmethode}}
=====Übung 1=====
{{Box|Übung 1|Bearbeite die nachfolgenden LearningApps.|Üben}}
{{LearningApp|app=p7ieycjz519|width=100%|height=400px}}
{{LearningApp|app=pb65n03bk20|width=100%|height=400px}}
{{LearningApp|app=puxvanzw220|width=100%|height=400px}}


====2. binomische Formel====
====2. binomische Formel====
Zeile 31: Zeile 60:
=====Herleitung der 2. binomischen Formel=====
=====Herleitung der 2. binomischen Formel=====


Das GeoGebra-Applet leitet anschaulich die 2. binomische Formel her. Erkläre deinem Partner die einzelnen Schritte.
Das GeoGebra-Applet leitet anschaulich die 2. binomische Formel her. Erkläre deinem Partner die einzelnen Schritte.<br>
 
Originallink: https://www.geogebra.org/m/HRqRgykt
<br />
<br />
<ggb_applet id="HRqRgykt" width="882" height="500" border="888888" />
<ggb_applet id="HRqRgykt" width="882" height="500" border="888888" />
Zeile 42: Zeile 71:


<br />
<br />
{{Box|1=2. binomische Formel|2=Übertrage die Herleitung und die Beispiele in dein Heft.<br>
<big>'''(a - b)² = a² - 2ab + b²'''</big>|3=Arbeitsmethode}}


{{Box|1=2. binomische Formel|2=Übertrage die Herleitung und die Beispiele in dein Heft.<br>'''(a-b)²=a²-2ab+b²'''|3=Arbeitsmethode}}
{{#ev:youtube|KfDoZMCDcxM|800|center}}
=====Übung=====
{{Box|Übung 2: 2. binomische Formel|Bearbeite die nachfolgenden LearningApps (anmelden).|Üben}}
{{LearningApp|app=p6n7rtvzc24|width=100%|height=400px}}
 
{{Box|Übung 3: 1. und 2. binomische Formel|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Schreibe die Aufgabe ab und löse die Klammern mithilfe der binomischen Formeln auf (Tipp unten).
* S. 15, Nr. 3
* S. 20, Nr. 10
* S. 22, Nr. 10. |Üben}}
Kontrolliere deine Lösungen (als Variablen sind nur x und y erlaubt):<br>
<ggb_applet id="t6syugs7" width="950" height="550" border="888888" />
<small>Applet von Thorsten Glaser</small>
{{Lösung versteckt|Bei den Aufgaben auf S. 15 Nr. 3 handelt es sich jeweils um die 1. bzw. 2. binomische Formel. Löse also die Klammern auf, wie in den Learningapps oben. Notiere - falls nötig - Zwischenschritte.|Tipp zu S. 15 Nr. 3|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Lösungen zu den grünen Seiten findest du zum Vergleich hinten im Buch!|Tipp zu S. 20 Nr. 10|Verbergen}}


=====Übung 2=====
{{Box|Übung 2|Bearbeite die nachfolgenden LearningApps.|Üben}}
{{LearningApp|app=pwvujeibn19|width=100%|height=400px}}
{{LearningApp|app=p9nchsgna20|width=100%|height=400px}}
{{LearningApp|app=pry36ofd319|width=100%|height=400px}}


====3. binomische Formel====
====3. binomische Formel====
Zeile 59: Zeile 98:
<ggb_applet id="UuV4bfRd" width="849" height="707" border="888888" />
<ggb_applet id="UuV4bfRd" width="849" height="707" border="888888" />


[[Datei:3.binomische Formel rechnerisch und anschaulich.png|rahmenlos|844x844px]]<br>
[[Datei:3.binomische Formel rechnerisch und anschaulich.png|rahmenlos|899x899px]]<br>
Beispiele:<br>
Beispiele:<br>[[Datei:3. binomische Formel Beispiele berichtigt.png|rahmenlos|670x670px]]<br>
[[Datei:3. binomische Formel Beispiele.png|rahmenlos]]<br>




{{Box|1=3. binomische Formel|2=Übertrage die Herleitung und die Beispiele in dein Heft.<br> '''(a+b)(a-b) = a² - b² '''|3=Arbeitsmethode}}
{{Box|1=3. binomische Formel|2=Übertrage die Herleitung und die Beispiele in dein Heft.<br> '''(a+b)(a-b) = a² - b² '''|3=Arbeitsmethode}}
=====Übung 3=====
=====Übung=====
{{Box|Übung 3|Bearbeite die nachfolgenden LearningApps.|Üben}}
{{Box|Übung 4: 3. binomische Formel|Bearbeite die nachfolgenden LearningApps.|Üben}}
{{LearningApp|app=pw4x96c9c19|width=100%|height=400ps}}
{{LearningApp|app=pw4x96c9c19|width=100%|height=400px}}
hier noch ergänzen!
{{LearningApp|app=ppj4v8caa20|width=100%|height=400px}}
{{LearningApp|app= |width=100%|height=400ps}}


====Zusammenfassung====
====Zusammenfassung====
[[Datei:Zusammenfassung binomische Formeln.png|rahmenlos|800x800px]]<br>
Das nachfolgende Video fasst die binomischen Formeln noch einmal zusammen.
Das nachfolgende Video fasst die binomischen Formeln noch einmal zusammen.
{{#ev:youtube|0yY_EwRwkDs|800|center}}
{{#ev:youtube|0yY_EwRwkDs|800|center}}




Nun hast du alle drei binomischen Formeln kennengelernt. Höre das Lied dazu an, dann kannst du dir die Formeln gut merken (es ist ein Ohrwurm).
Nun hast du alle drei binomischen Formeln kennengelernt. Höre das Lied dazu an, dann kannst du dir die Formeln gut merken (es ist ein Ohrwurm!&#128521;).
{{#ev:youtube|EYbvhWEG6kE|800|center}}
{{#ev:youtube|EYbvhWEG6kE|800|center}}
====Vermischte Übungen zu den binomischen Formeln?====
====Vermischte Übungen zu den binomischen Formeln====
{{Box|Übung 5|Löse auf der Seite realmath so viele Aufgaben, dass du die 300 Punkte-Marke knackst.
* [https://realmath.de/Neues/Klasse8/binome/binomei01.php Level 1 (realmath)]
* [https://www.realmath.de/Neues/Klasse8/binome/binomevar02a-2.php Level 2 (realmath)]
|Üben}}


=====Übung 4=====
{{Box|Übung 6|Bearbeite die nachfolgenden LearningApps und Quizze.|Üben}}
{{Box|Übung 4|Bearbeite die nachfolgenden LearningApps und Quizze.|Üben}}
{{LearningApp|app=7804644|width=100%|height=600px}}
{{LearningApp|app=7804644|width=100%|height=600px}}
{{LearningApp|app=pcuwev2x319|width=100%|height=600px}}
{{LearningApp|app=pcuwev2x319|width=100%|height=600px}}
{{LearningApp|app=padiizght19|width=100%|height=400px}}
{{LearningApp|app=padiizght19|width=100%|height=400px}}
{{h5p-zum|id=23962|heigth=800px}}
(Quizz von B. Lachner)


=====Übung 5=====
{{Box|Übung 7|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere deine Rechnungen in dein Heft.
{{Box|Übung 5|Löse Buch S. 16 Nr. 6, 7, 9 und 11. Notiere deine Rechnungen in dein Heft.|Üben}}
* S. 16, Nr. 6
* S. 16, Nr. 7
* S. 16, Nr. 9  
* S. 16, Nr. 11. |Üben}}
{{Lösung versteckt|Löse Nr. 11 schrittweise:<br>
{{Lösung versteckt|Löse Nr. 11 schrittweise:<br>
Wende zuerst die binomischen Formeln an. Prüfe dann, ob zum Auflösen der Klammer noch ein weitere Schritt notwendig ist (wenn z.B. ein Minuszeichen vor der Klammer steht). Fasse danach zusammen.|1.Tipp zu Nr. 11|Verbergen}}
Wende zuerst die binomischen Formeln an. Prüfe dann, ob zum Auflösen der Klammer noch ein weitere Schritt notwendig ist (wenn z.B. ein Minuszeichen vor der Klammer steht). Fasse danach zusammen.|1.Tipp zu Nr. 11|Verbergen}}
Zeile 93: Zeile 140:
{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung zu S. 16 Nr. 11b.png|rahmenlos|600px]]|Lösung mit Hinweisen zu 11b|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung zu S. 16 Nr. 11b.png|rahmenlos|600px]]|Lösung mit Hinweisen zu 11b|Verbergen}}


=====Übung 6 Quadratzahlen und besondere Produkte mit den binomischen Formeln berechnen=====
=====Übung: Quadratzahlen und besondere Produkte mit den binomischen Formeln berechnen=====
 
{{#ev:youtube|Eb03tnkWeuY|start=12&end=69}}
Die 1. und 2. binomische Formel helfen beim Berechnen von größeren Quadratzahlen.
Die 1. und 2. binomische Formel helfen beim Berechnen von größeren Quadratzahlen.


Zeile 114: Zeile 161:
&nbsp;        =3591<br>
&nbsp;        =3591<br>


{{LearningApp|app=pctqrzjdc20|width=100%|height=600px}}
{{Box|Übung 8a|Löse die Learningapps (anmelden).|Üben}}
{{LearningApp|app=pm8tca2u324|width=100%|height=400px}}
 
 
{{Box|Übung 8b|Löse die Aufgaben aus dem Buch (grüner Kasten).
* S. 16, Nr. 14
* S. 16, Nr. 15
* Erstelle zu Nr. 14 eine Learningapp.|Üben}}
 


=====Übung 7 Anwendungsaufgabe: Grundstückstausch=====
=====Übung: Anwendungsaufgabe - Grundstückstausch=====


{{Box|Grundstückstausch|[[Datei:Residential-48715_1280.png|alternativtext=|rechts|rahmenlos|220x220px]]Frau Müller besitzt ein quadratisches Grundstück. Dort soll eine Straße gebaut werden. Man bietet ihr zum Tausch ein rechteckiges Grundstück an. Das ist auf der einen Seite 3m kürzer und zum Ausgleich auf der anderen Seite 3m länger als ihr bisheriges Grundstück.  Ist dieser Tausch fair?|Üben}}
{{Box|Übung 9a: Grundstückstausch 1|[[Datei:Residential-48715_1280.png|alternativtext=|rechts|rahmenlos|220x220px]]Frau Müller besitzt ein quadratisches Grundstück. Dort soll eine Straße gebaut werden. Man bietet ihr zum Tausch ein rechteckiges Grundstück an. Das ist auf der einen Seite 3m kürzer und zum Ausgleich auf der anderen Seite 3m länger als ihr bisheriges Grundstück.  Ist dieser Tausch fair?|Üben}}


{{Lösung versteckt|Benenne die Länge des quadratischen Grundstückes mit x.<br>Nun hilft eine Skizze:[[Datei:Skizze zum Grundstückstausch.png|rahmenlos|600px]]|Tipp 1|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Benenne die Länge des quadratischen Grundstückes mit x.<br>Nun hilft eine Skizze:[[Datei:Skizze zum Grundstückstausch.png|rahmenlos|600px]]|Tipp 1|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schau das Video an und übertrage die Idee auf die Aufgabe.{{ev:youtube|2_bwIaC66AU|500|center}}|Tipp 2|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schau das Video an und übertrage die Idee auf die Aufgabe.{{#ev:youtube|2_bwIaC66AU|500|center}}|Tipp 2|Verbergen}}
 
{{Box|Übung 9b: Grundstückstausch 2|Löse die Aufgabe aus dem Buch.
*  S. 21, Nr. 7b|Üben}}


===4. Binomische Formeln "rückwärts" - Faktorisieren mit binomischen Formeln===
===4. Binomische Formeln "rückwärts" - Faktorisieren mit binomischen Formeln===
Zeile 127: Zeile 185:


Du kannst bestimmte Summen mithilfe der binomischen Formeln in ein Produkt verwandeln.  Dazu müssen die Summen die Form einer binomischen Formel haben.  
Du kannst bestimmte Summen mithilfe der binomischen Formeln in ein Produkt verwandeln.  Dazu müssen die Summen die Form einer binomischen Formel haben.  


{{Box|1=Binomische Formeln "rückwärts" - Faktorisieren mit binomischen Formeln|2=Gib die folgenden Summen als Produkte an:<br>
{{Box|1=Binomische Formeln "rückwärts" - Faktorisieren mit binomischen Formeln|2=Gib die folgenden Summen als Produkte an:<br>
a) a² + 2ab + b² = (.....)² &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;x² + 18x + 81 = (......)²<br>
a) a² + 2ab + b² = (........)² &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;x² + 18x + 81 = (......)²<br>
b) a² - 2ab + b² = (......)² &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;64x² - 48xy + 9y² = (......)²<br>
b) a² - 2ab + b² = (.........)² &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;64x² - 48xy + 9y² = (......)²<br>
c) a² - b² = (....)·(....) &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;4x² - 121y² = (...)·(...)<br>
c) a² - b² = (.......)·(.......) &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;4x² - 121y² = (......)·(......)<br>
Wie gehst du vor? Erkläre!|3=Üben}}
Wie gehst du vor? Erkläre!|3=Üben}}
<div class="grid">
<div class="grid">
<div class="width-1-3">
<div class="width-1-3">
{{Lösung versteckt|1=Erinnerung: a²+2ab+b²=(a+b)² Hier handelt es sich auf der linken Seite um den Summenterm der 1. binomische Formel, also muss das Produkt (a+b)(a+b) heißen, bzw. kurz (a+b)².<br>
{{Lösung versteckt|1=Erinnerung: a²+2ab+b²=(a+b)² Hier handelt es sich auf der linken Seite um den Summenterm der 1. binomische Formel, also muss das Produkt (a+b)(a+b) heißen, bzw. kurz (a+b)².<br>
Ebenso ist x² + 18x + 81 der Summenterm von (x+3)², denn (x+9)² = x² + 2·x·9 + 9² = x² + 18x + 81. Du musst also die 1. binomische Formel "rückwärts" anwenden.|2=Tipp zu a)|3=Verbergen}}</div>
Ebenso ist x² + 18x + 81 der Summenterm von (x+9)², denn (x+9)² = x² + 2·x·9 + 9² = x² + 18x + 81. Du musst also die 1. binomische Formel "rückwärts" anwenden.|2=Tipp zu a)|3=Verbergen}}</div>
<div class="width-1-3">
<div class="width-1-3">
{{Lösung versteckt|1=Erinnerung: a²-2ab+b²=(a-b)² Hier handelt es sich auf der linken Seite um den Summenterm der 2. binomische Formel, also muss das Produkt (a-b)(a-b) heißen, bzw. kurz (a-b)².<br>
{{Lösung versteckt|1=Erinnerung: a²-2ab+b²=(a-b)² Hier handelt es sich auf der linken Seite um den Summenterm der 2. binomische Formel, also muss das Produkt (a-b)(a-b) heißen, bzw. kurz (a-b)².<br>
Ebenso ist 64x² - 48xy + 9y² der Summenterm von (8x-3y)², denn (8x-3y)² = (8x)² + 2·8x·3y + (3y)² = 64x² + 48xy + 9y². Du musst also die 2. binomische Formel "rückwärts" anwenden.|2=Tipp zu b)|3=Verbergen}}</div>
Ebenso ist 64x² - 48xy + 9y² der Summenterm von (8x-3y)², denn (8x-3y)² = (8x)² + 2·8x·3y + (3y)² = 64x² + 48xy + 9y². Du musst also die 2. binomische Formel "rückwärts" anwenden.|2=Tipp zu b)|3=Verbergen}}</div>
<div class="width-1-3">
<div class="width-1-3">
{{Lösung versteckt|1=Erinnerung: a² - b² = (a+b)(a-b)= a² - b². Hier handelt es sich auf der linken Seite um den Summenterm der 3. binomische Formel, also muss das Produkt (a+b)(a-b) heißen.<br>
{{Lösung versteckt|1=Erinnerung: a² - b² = (a+b)(a-b) Hier handelt es sich auf der linken Seite um den Summenterm der 3. binomische Formel, also muss das Produkt (a+b)(a-b) heißen.<br>
Ebenso ist 4x² - 121y² der Summenterm von (2x+11y)(2x-11y), denn (2x+11y)(2x-11y) =(2x)² - (11y)² = 4x² - 121y². Du musst also die 3. binomische Formel "rückwärts" anwenden.|2=Tipp zu c)|3=Verbergen}}</div></div>
Ebenso ist 4x² - 121y² der Summenterm von (2x+11y)(2x-11y), denn (2x+11y)(2x-11y) =(2x)² - (11y)² = 4x² - 121y². Du musst also die 3. binomische Formel "rückwärts" anwenden.|2=Tipp zu c)|3=Verbergen}}</div></div>


{{Box|Übung 8|Löse die nachfolgenden LearningApps.|Üben}}
{{#ev:youtube|yk6BqXWEz6g|800|center|||start=124&end=234}}
{{LearningApp|app=pijra8pqc20|width=100%|height=600px}}
{{#ev:youtube|PumVr8W-yZQ|800|center|||start=150&end=215}}
 
======Übung======
{{Box|Übung 10|Löse die nachfolgenden LearningApps.|Üben}}
{{LearningApp|app=pijra8pqc20|width=100%|height=600px}}
{{LearningApp|app=pijra8pqc20|width=100%|height=600px}}
{{LearningApp|app=pev7ipkg320|width=100%|height=400px}}
{{Box|Übung 11|Löse auf der Seite realmath so viele Aufgaben, dass du die 300-Punkte Marke knackst.
* [https://www.realmath.de/Neues/Klasse8/binome/binomevar01.html Übung Level 1 (realmath)]
* [https://www.realmath.de/Neues/Klasse8/binome/binomevar02.html Übung Level 2 (realmath)]|Üben}}


{{Bos|Übung 9|Löse Buch S. 18 Nr. 4, 5, 6 und 7. Schreibe zunächst die Aufgabe ab und löse dann.|Üben}}
{{Box|Übung 12|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Schreibe zunächst die Aufgabe ab und löse dann.
{{Lösung versteckt|1=Du musst die Quadratzahlen beherrschen! Erinnerung:<br>11² = 121<br>12² = 144<br>13² = 169<br>14² = 196<br>15² = 225<br>16² = 256<br>17² = 289<br>18² = 324<br>19²=361<br>20² = 400<br>25² = 625|2= Tipp Quadratzahlen|3=Verbergen}}
* S. 18, Nr. 4
* S. 18, Nr. 5
* S. 18, Nr. 6
* S. 18, Nr. 7. |Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Du musst die Quadratzahlen beherrschen! Erinnerung:<br>11² = 121<br>12² = 144<br>13² = 169<br>14² = 196<br>15² = 225<br>16² = 256<br>17² = 289<br>18² = 324<br>19² = 361<br>20² = 400<br>25² = 625|2= Tipp Quadratzahlen|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Sortiere die Summanden bzw. Subtrahenden so, dass du die 1., 2. oder 3. binomische Formel erkennen kannst:<br>4a²+9b²-12ab=4a²-12ab+9b² Jetzt hat der Term die Struktur der 2. binomischen Formel und du kannst faktorisieren:<br> 4a²-12ab+9b²=(2a-3b)².<br>Sortiere die übrigen Terme ebenfalls vor dem Faktorisieren.|2=Tipp zu Nr. 6|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Sortiere die Summanden bzw. Subtrahenden so, dass du die 1., 2. oder 3. binomische Formel erkennen kannst:<br>4a²+9b²-12ab=4a²-12ab+9b² Jetzt hat der Term die Struktur der 2. binomischen Formel und du kannst faktorisieren:<br> 4a²-12ab+9b²=(2a-3b)².<br>Sortiere die übrigen Terme ebenfalls vor dem Faktorisieren.|2=Tipp zu Nr. 6|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Klammere zunächst (-1) aus, um vor den Quadratzahlen das passende Vorzeichen zu erzeugen:<br>
-16z²+40yz-25y²=-(16z²-40yz+25y²)=-(......)²|2=Tipp zu 6i)|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Bei den Termen von Nr. 7 handelt es sich immer um die 3. binomische Formel, die angewendet werden muss. Hier ist die Strukur des Terms immer a² - b² und es gilt a² - b² = (a+b)(a-b).|2=Tipp zu Nr. 7|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Bei den Termen von Nr. 7 handelt es sich immer um die 3. binomische Formel, die angewendet werden muss. Hier ist die Strukur des Terms immer a² - b² und es gilt a² - b² = (a+b)(a-b).|2=Tipp zu Nr. 7|3=Verbergen}}


Zeile 157: Zeile 228:




{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Startseite|vorherlink=Benutzer:Buss-Haskert/Terme(mit Klammern)}}
{{Fortsetzung|weiter= 5. Zusammenfassung|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Terme(mit Klammern)/Zusammenfassung}}

Aktuelle Version vom 4. September 2024, 18:40 Uhr

Schullogo HLR.jpg



Einstieg: Binomische Formeln

Welche der Aufgaben lassen sich zu Gruppen zusammenfassen?

(1) x² + 3x - 11
(2) x² - 2x + 1
(3) 2x² + 4x
(4) x² - 20x + 100
(5) x² - 16
(6) x³ + 10x² + 25
(7) 4x² - 64
(8) x² + 22x + 121

  • Worin ähneln sich die Aufgaben in einer Gruppe?
  • Hat dein Partner/deine Partnerin dieselben Gruppen gebildet?
  • Gehören alle Aufgaben zu je einer Gruppe?


3. Binomische Formeln

Die binomische Formeln sind drei Sonderfälle bei der Multiplikation von Summen. Die Ergebnisse lassen sich hier leicht zusammenfassen und so die ausführlichen Berechnungen abkürzen.

Durch entsprechende Figuren lassen sie sich auch gut anschaulich erklären.

Vorübung: Wiederholung Quadratzahlen
Bearbeite die nachfolgenden LearningApps. Tipp: Du muss die Quadratzahlen auswendig können (siehe Tipp)

Du musst die Quadratzahlen beherrschen! Erinnerung:
11² = 121
12² = 144
13² = 169
14² = 196
15² = 225
16² = 256
17² = 289
18² = 324
19² = 361
20² = 400
25² = 625


1. binomische Formel

Herleitung der 1. binomischen Formel


GeoGebra


1.binomische Formel rechnerisch und anschaulich.png

Beispiele:

1.binomische Formel Beispiele 2.png


1. binomische Formel

Übertrage die Herleitung und die Beispiele in dein Heft.      

(a + b)²= a² + 2ab + b²
Übung
Übung 1: 1. binomische Formel
Bearbeite die nachfolgenden LearningApps (anmelden).


2. binomische Formel

Herleitung der 2. binomischen Formel

Das GeoGebra-Applet leitet anschaulich die 2. binomische Formel her. Erkläre deinem Partner die einzelnen Schritte.
Originallink: https://www.geogebra.org/m/HRqRgykt

GeoGebra


2.binomische Formel rechnerisch und anschaulich.png Beispiele:
2.binomische Formel Beispiele.png


2. binomische Formel

Übertrage die Herleitung und die Beispiele in dein Heft.

(a - b)² = a² - 2ab + b²
Übung
Übung 2: 2. binomische Formel
Bearbeite die nachfolgenden LearningApps (anmelden).


Übung 3: 1. und 2. binomische Formel

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Schreibe die Aufgabe ab und löse die Klammern mithilfe der binomischen Formeln auf (Tipp unten).

  • S. 15, Nr. 3
  • S. 20, Nr. 10
  • S. 22, Nr. 10.

Kontrolliere deine Lösungen (als Variablen sind nur x und y erlaubt):

GeoGebra

Applet von Thorsten Glaser

Bei den Aufgaben auf S. 15 Nr. 3 handelt es sich jeweils um die 1. bzw. 2. binomische Formel. Löse also die Klammern auf, wie in den Learningapps oben. Notiere - falls nötig - Zwischenschritte.
Die Lösungen zu den grünen Seiten findest du zum Vergleich hinten im Buch!


3. binomische Formel

Herleitung der 3. binomischen Formel

Das GeoGebra-Applet leitet anschaulich die 3. binomische Formel her. Erkläre deinem Partner die einzelnen Schritte.

GeoGebra

3.binomische Formel rechnerisch und anschaulich.png
Beispiele:
3. binomische Formel Beispiele berichtigt.png


3. binomische Formel
Übertrage die Herleitung und die Beispiele in dein Heft.
(a+b)(a-b) = a² - b²
Übung
Übung 4: 3. binomische Formel
Bearbeite die nachfolgenden LearningApps.



Zusammenfassung

Zusammenfassung binomische Formeln.png
Das nachfolgende Video fasst die binomischen Formeln noch einmal zusammen.


Nun hast du alle drei binomischen Formeln kennengelernt. Höre das Lied dazu an, dann kannst du dir die Formeln gut merken (es ist ein Ohrwurm!😉).

Vermischte Übungen zu den binomischen Formeln

Übung 5

Löse auf der Seite realmath so viele Aufgaben, dass du die 300 Punkte-Marke knackst.


Übung 6
Bearbeite die nachfolgenden LearningApps und Quizze.



(Quizz von B. Lachner)


Übung 7

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere deine Rechnungen in dein Heft.

  • S. 16, Nr. 6
  • S. 16, Nr. 7
  • S. 16, Nr. 9
  • S. 16, Nr. 11.

Löse Nr. 11 schrittweise:

Wende zuerst die binomischen Formeln an. Prüfe dann, ob zum Auflösen der Klammer noch ein weitere Schritt notwendig ist (wenn z.B. ein Minuszeichen vor der Klammer steht). Fasse danach zusammen.
Lösung zu S. 16 Nr. 11a.png
Lösung zu S. 16 Nr. 11b.png
Übung: Quadratzahlen und besondere Produkte mit den binomischen Formeln berechnen

Die 1. und 2. binomische Formel helfen beim Berechnen von größeren Quadratzahlen.


Berechnung von Quadratzahlen mit binomische Formeln
Schreibe die Beispiele unten in dein Heft. Erkläre, wie die binomischen Formeln dir beim Rechnen helfen. Wann wendest du die 1., die 2. oder die 3. binomische Formel an?

Beispiele:
46² = (40+6)²
  =40² + 2∙40∙6 + 6²
  =1600 + 480 + 36
  =2116

39² = (40-1)²
  =40² - 2∙40∙1 + 1²
  =1600 - 80 + 1
  =1521

63 ∙ 57 = (60+3)∙(60-3)
  =60² - 3²
  =3600 - 9
  =3591


Übung 8a
Löse die Learningapps (anmelden).



Übung 8b

Löse die Aufgaben aus dem Buch (grüner Kasten).

  • S. 16, Nr. 14
  • S. 16, Nr. 15
  • Erstelle zu Nr. 14 eine Learningapp.


Übung: Anwendungsaufgabe - Grundstückstausch
Übung 9a: Grundstückstausch 1
Frau Müller besitzt ein quadratisches Grundstück. Dort soll eine Straße gebaut werden. Man bietet ihr zum Tausch ein rechteckiges Grundstück an. Das ist auf der einen Seite 3m kürzer und zum Ausgleich auf der anderen Seite 3m länger als ihr bisheriges Grundstück. Ist dieser Tausch fair?
Benenne die Länge des quadratischen Grundstückes mit x.
Nun hilft eine Skizze:Skizze zum Grundstückstausch.png
Schau das Video an und übertrage die Idee auf die Aufgabe.


Übung 9b: Grundstückstausch 2

Löse die Aufgabe aus dem Buch.

  • S. 21, Nr. 7b

4. Binomische Formeln "rückwärts" - Faktorisieren mit binomischen Formeln

Du kannst bestimmte Summen mithilfe der binomischen Formeln in ein Produkt verwandeln. Dazu müssen die Summen die Form einer binomischen Formel haben.


Binomische Formeln "rückwärts" - Faktorisieren mit binomischen Formeln

Gib die folgenden Summen als Produkte an:
a) a² + 2ab + b² = (........)²        x² + 18x + 81 = (......)²
b) a² - 2ab + b² = (.........)²       64x² - 48xy + 9y² = (......)²
c) a² - b² = (.......)·(.......)           4x² - 121y² = (......)·(......)

Wie gehst du vor? Erkläre!

Erinnerung: a²+2ab+b²=(a+b)² Hier handelt es sich auf der linken Seite um den Summenterm der 1. binomische Formel, also muss das Produkt (a+b)(a+b) heißen, bzw. kurz (a+b)².

Ebenso ist x² + 18x + 81 der Summenterm von (x+9)², denn (x+9)² = x² + 2·x·9 + 9² = x² + 18x + 81. Du musst also die 1. binomische Formel "rückwärts" anwenden.

Erinnerung: a²-2ab+b²=(a-b)² Hier handelt es sich auf der linken Seite um den Summenterm der 2. binomische Formel, also muss das Produkt (a-b)(a-b) heißen, bzw. kurz (a-b)².

Ebenso ist 64x² - 48xy + 9y² der Summenterm von (8x-3y)², denn (8x-3y)² = (8x)² + 2·8x·3y + (3y)² = 64x² + 48xy + 9y². Du musst also die 2. binomische Formel "rückwärts" anwenden.

Erinnerung: a² - b² = (a+b)(a-b) Hier handelt es sich auf der linken Seite um den Summenterm der 3. binomische Formel, also muss das Produkt (a+b)(a-b) heißen.

Ebenso ist 4x² - 121y² der Summenterm von (2x+11y)(2x-11y), denn (2x+11y)(2x-11y) =(2x)² - (11y)² = 4x² - 121y². Du musst also die 3. binomische Formel "rückwärts" anwenden.
Übung
Übung 10
Löse die nachfolgenden LearningApps.



Übung 11

Löse auf der Seite realmath so viele Aufgaben, dass du die 300-Punkte Marke knackst.


Übung 12

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Schreibe zunächst die Aufgabe ab und löse dann.

  • S. 18, Nr. 4
  • S. 18, Nr. 5
  • S. 18, Nr. 6
  • S. 18, Nr. 7.
Du musst die Quadratzahlen beherrschen! Erinnerung:
11² = 121
12² = 144
13² = 169
14² = 196
15² = 225
16² = 256
17² = 289
18² = 324
19² = 361
20² = 400
25² = 625
Sortiere die Summanden bzw. Subtrahenden so, dass du die 1., 2. oder 3. binomische Formel erkennen kannst:
4a²+9b²-12ab=4a²-12ab+9b² Jetzt hat der Term die Struktur der 2. binomischen Formel und du kannst faktorisieren:
4a²-12ab+9b²=(2a-3b)².
Sortiere die übrigen Terme ebenfalls vor dem Faktorisieren.

Klammere zunächst (-1) aus, um vor den Quadratzahlen das passende Vorzeichen zu erzeugen:

-16z²+40yz-25y²=-(16z²-40yz+25y²)=-(......)²
Bei den Termen von Nr. 7 handelt es sich immer um die 3. binomische Formel, die angewendet werden muss. Hier ist die Strukur des Terms immer a² - b² und es gilt a² - b² = (a+b)(a-b).