Bestimme jeweils die Stammfunktion der Funktion und falls angegeben den Wert des bestimmten Intervalls. Hierfür benötigt ihr einen Zettel und einen Stift, um die Funktion schriftlich zu integrieren.
a)
Welche der drei eingeführten Integrationsverfahren passt den am besten zu einem Produkt von zwei Funktionen?
Wenn du die partielle Integration verwendest, setze die leicht abzuleitende Funktion
![{\displaystyle g(x)=x }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=627b722ce9cd582caead5048ac1e2279&mode=mathml)
und die leicht zu integrierende Funktion
![{\displaystyle f'(x)=sin(x)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=d90d3876dda9689448a3b9dba83baa7d&mode=mathml)
.
Wie integriert man
![{\displaystyle f'(x)=sin(x)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=d90d3876dda9689448a3b9dba83baa7d&mode=mathml)
? Welche besonderen Eigenschaften haben Sinus und Cosinus?
Um zuerst die Frage bezüglich des Integrierens von Sinus und Cosinus zu beantworten: Die Integration von Sinus und Cosinus bildet einen Kreis:
.
Die Stammfunktion von
ist also
.
Und der Lösungsweg für diese Aufgabe lautet:
![{\displaystyle F(x)= \int x \cdot sin(x) \,dx = \left[x \cdot (-cos(x)) \right] - \int 1 \cdot (-cos(x)) \, dx
= x \cdot (-cos(x)) - (-sin(x)) = - x \cdot cos(x) + sin(x) + C }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=d0a957bb3b14149a559959ad2a158f15&mode=mathml)
b)
im Intervall
Überlege, welche der Formeln, die du auf dieser Seite gelernt hast, brauchst du.
Bilde die Stammfunktion von
![{\displaystyle h(x)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=ca8e608169b20a94570ac837e8ba0833&mode=mathml)
. Betrachte die Grenzen zunächst einzeln und denke an die binomischen Formeln.
Du brauchst die Formel vom Hauptsatz der Integral- und Differentialgleichung. Außerdem brauchst du die erste binomische Formel.
daraus folgt:
c)
An welche Integrationsmethode erinnert dich diese verketteten Funktionen?
Hast du die Integration durch Substitution erkannt? Dann setze die innerer Funktion
![{\displaystyle g(x)=4x+1 = z }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=7ace39521ee089b53ba6c3f058fef7ff&mode=mathml)
und leite sie nach
![{\displaystyle x}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=f6ad5d21eaa32e5b71fa58df6050314c&mode=mathml)
ab.
![{\displaystyle J(x)= \int \frac{cos(z)}{2}\, \frac{dz}{4} = \int \frac{cos(z)}{8}\, dz = \frac{1}{8} \int cos(z)\, dz }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=73c0cc81be6bef00dfb8eb4c70535ed0&mode=mathml)
. Wenn du jetzt so weit gekommen bist, was fehlt dann nur noch?
Die integrierte Funktion lautet:
![{\displaystyle J(x)= \frac{1}{8} \int cos(z)\, dz = \frac{1}{8} \left[ sin(z) \right] = \frac{sin(4x+1)}{8} + C }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=940b2afd3b975dc7c7892066879d6167&mode=mathml)
.
d)
Auf den ersten Blick wirkt zwar die Integralmethode "partielle Integration" passend, aber welche Methode würde vielleicht eher zum Ziel führen?
Was passiert, wenn du die abgeleitete, nach
![{\displaystyle dx }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=7c053cc95952225a5132202ba16dd61a&mode=mathml)
umgeformte Funktion
![{\displaystyle g(x)= sin(x) = z }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=f7fe9c62081dd875d8a4ffd9a61686b4&mode=mathml)
in das Integral für
![{\displaystyle dx }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=7c053cc95952225a5132202ba16dd61a&mode=mathml)
einsetzt?
Wenn du erkannt hast, dass du
![{\displaystyle sin(x) }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=822cb9c1518e24cfb6ba89dd029157bf&mode=mathml)
kürzen kannst, erhälst du das Integral
![{\displaystyle \int z\, dz }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=d105bf52bf6deb73996206af0ce234fa&mode=mathml)
. Den kannst du jetzt ganz leicht integrieren.
Die integrierte Funktion lautet:
![{\displaystyle K(x) = \int z \, dz= \left[\frac{1}{2} \cdot z^2 \right]= \frac{(sin)^2(x)}{2} + C }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=925bece6778d00a365cb1d6898ccc525&mode=mathml)
.
e)
im Intervall
Überlege, welche der Formeln, die du auf dieser Seite gelernt hast, brauchst du.
Bilde die Stammfunktion von
![{\displaystyle f(x)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62&mode=mathml)
und betrachte die Grenzen zunächst einzeln.
Du brauchst die Formel vom Hauptsatz der Integral- und Differentialgleichung. Bestimme zunächst die Stammfunktion:
daraus folgt: