Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Randfunktion zur Integralfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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==Rechnen mit Integralen== | ==Rechnen mit Integralen== | ||
{{Box| Aufgabe 1: Rechenregeln | | {{Box| Aufgabe 1: Rechenregeln |Entscheide jeweils, ob die graphisch dargestellte Gleichung gilt und wenn ja, welche Rechenregel zutrifft. | ||
Du benötigst Hilfe? Dann siehe dir die Rechenregeln in der nächsten Box an. | Du benötigst Hilfe? Dann siehe dir die Rechenregeln in der nächsten Box an. | ||
{{LearningApp|width | {{LearningApp|width=100%|height=500px|app=12829676}} | ||
| Arbeitsmethode | Farbe=orange}} | | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}}}} | ||
{{Box| Rechenregeln |'''Hier findest du einige, wichtige Regeln zum Rechnen mit Integralen. ''' | {{Box| Rechenregeln |'''Hier findest du einige, wichtige Regeln zum Rechnen mit Integralen. ''' | ||
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|Merksatz}} | |Merksatz}} | ||
== | ==Die Verbindung zwischen Integralen und Differentialen== | ||
{{Box| | {{Box|Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung|Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung besteht aus zwei Teilen. | ||
'''Der erste Teil des Hauptsatzes''' | '''Der erste Teil des Hauptsatzes''' | ||
Die Funktion <math>F(x) = \int f(x) \, \mathrm{d}x</math> ist <u>eine</u> Stammfunktion von <math>f(x)</math>. Es gilt <math>F'(x) = f(x)</math>. | |||
<math>\ | |||
'''Der zweite Teil des Hauptsatzes''' | |||
<math> | |||
Dieser Teil beschäftigt sich mit der Frage: "Wie berechnet man bestimmte Integrale wie <math>\int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x</math>?" | |||
Wenn <math>F(x)</math> eine Stammfunktion von <math>f(x)</math> ist, dann gilt <math>\int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x = F(b) - F(a)</math>. Für <math>F(b) - F(a)</math> schreibt man auch kurz <math>\Big[ F(x) \Big]_a^b</math>. | |||
{{Lösung versteckt| | {{Lösung versteckt| | ||
Für die Funktion <math>h(x) = x^3 - 6 x^2 + \frac{47}{4} x - \frac{11}{2}</math> soll das bestimmte Integral über dem Intervall <math>[1, 3]</math> berechnet werden, also: <math>\int_1^3 h(x) \, \mathrm{d}x</math>. | |||
1. Schritt: Ermittle das unbestimmte Integral, also eine Stammfunktion <math>H(x)</math>: | |||
<math>\begin{align} | |||
H(x) &= \int x^3 - 6 x^2 + \frac{47}{4} x - \frac{11}{2}\\ | |||
&= \frac{1}{4} x^4 - 2 x^3 + \frac{47}{8} x^2 - \frac{11}{2} x | |||
\end{align}</math> | |||
2. Schritt: Berechne <math>H(a)</math> und <math>H(b)</math> durch Einsetzen der unteren und oberen Intervallgrenzen in <math>H(x)</math>: | |||
<math> H(x) | |||
<math>\begin{align} | |||
H(1) &= \frac{1}{4} \cdot 1^4 - 2 \cdot 1^3 + \frac{47}{8} \cdot 1^2 - \frac{11}{2} \cdot 1\\ | |||
&= - \frac{11}{8} | |||
\end{align}</math> | |||
und | |||
<math>\begin{align} | |||
H(3) &= \frac{1}{4} \cdot 3^4 - 2 \cdot 3^3 + \frac{47}{8} \cdot 3^2 - \frac{11}{2} \cdot 3\\ | |||
&= \frac{21}{8} | |||
\end{align}</math> | |||
3. Schritt: Bilde die Differenz <math>H(b) - H(a)</math>: | |||
<math>H(3) - H(1) = \frac{21}{8} - (- \frac{11}{8}) = 4</math>| Beispiel anzeigen | Beispiel verbergen}}|Merksatz}} | |||
==Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen== | ==Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen== | ||
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<math> M= \frac{1}{b-a} \cdot \int_{a}^{b} k(x)\,dx </math>. | <math> M= \frac{1}{b-a} \cdot \int_{a}^{b} k(x)\,dx </math>. | ||
Da solche Formeln sehr theoretisch sind, haben wir dir zur Formel des Mittelwertes eine Skizze gemacht. | Da solche Formeln sehr theoretisch sind, haben wir dir zur Formel des Mittelwertes eine Skizze gemacht. | ||
[[Datei:Formel | [[Datei:Formel Mittelwert.jpg|mini|480x480xp|Formel zur Bestimmung des Mittelwertes einer Funktion]] | ||
{{Lösung versteckt| | {{Lösung versteckt| | ||
Ein Auto beschleunigt 40 Sekunden lang. Die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt <math>t</math> ist gegeben durch | Ein Auto beschleunigt 40 Sekunden lang. Die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt <math>t</math> ist gegeben durch | ||
<math> f(t)= \frac{5}{4} \cdot t </math>, wobei <math>t</math> in Sekunden und | <math> f(t)= \frac{5}{4} \cdot t </math>, wobei <math>t</math> in Sekunden und <math>f(t)</math> in <math>\frac{\textrm{m}}{\textrm{s}}</math> angegeben wird. | ||
Wie groß ist die Durchschnittsgeschwindigkeit? | Wie groß ist die Durchschnittsgeschwindigkeit? | ||
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#Schreibe dir die allgemeine Formel erstmal auf: <math> M= \frac{1}{b-a} \cdot \int_{a}^{b} k(x)\,dx </math> | #Schreibe dir die allgemeine Formel erstmal auf: <math> M= \frac{1}{b-a} \cdot \int_{a}^{b} k(x)\,dx </math> | ||
#Setze alle Variablen, die du aus der Aufgabe hast ein: <math> M= \frac{1}{40-0} \cdot \int_{0}^{40} \frac{5}{4} \cdot t \,dt </math> | #Setze alle Variablen, die du aus der Aufgabe hast ein: <math> M= \frac{1}{40-0} \cdot \int_{0}^{40} \frac{5}{4} \cdot t \,dt </math> | ||
#Berechne den Mittelwert: <math> M= \frac{1}{40-0} \cdot \int_{0}^{40} \frac{5}{4} \cdot t \,dt= \frac{1}{40} \cdot [\frac{5}{8} \cdot t^2]_{0}^{40}=\frac{1}{40} \cdot \Big[ \frac{5}{8} \cdot 40^2 - \frac{5}{8} \cdot 0^2 \Big] = \frac{1}{40} \cdot 1000 = 25 </math> | #Berechne den Mittelwert:<br><math>\begin{align} | ||
M &= \frac{1}{40-0} \cdot \int_{0}^{40} \frac{5}{4} \cdot t \,dt\\ | |||
&= \frac{1}{40} \cdot \Big[ \frac{5}{8} \cdot t^2 \Big]_{0}^{40}\\ | |||
&= \frac{1}{40} \cdot \Big[ \frac{5}{8} \cdot 40^2 - \frac{5}{8} \cdot 0^2 \Big]\\ | |||
&= \frac{1}{40} \cdot 1000\\ | |||
&= 25 | |||
\end{align}</math> | |||
#Formuliere den Antwortsatz: Die Durchschnittsgeschwindigkeit betrug beim Auto <math>25 \frac{\textrm{m}}{\textrm{s}}</math>.| Beispielaufgabe anzeigen | Beispiel verbergen}} |Merksatz}} | #Formuliere den Antwortsatz: Die Durchschnittsgeschwindigkeit betrug beim Auto <math>25 \frac{\textrm{m}}{\textrm{s}}</math>.| Beispielaufgabe anzeigen | Beispiel verbergen}} |Merksatz}} | ||
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{{Box|Aufgabe 2: Der Goldpreis|'''Hierfür benötigst du einen Zettel und einen Stift.''' | {{Box|Aufgabe 2: Der Goldpreis|'''Hierfür benötigst du einen Zettel und einen Stift.''' | ||
Herr Meier überlegt sein Geld in Gold anzulegen. Um eine Entscheidung zu fällen, beobachtet er zunächst den Goldpreis und stellt fest, dass dieser in den ersten 4 Tagen durch die Funktion <math> f(x)= 2 \cdot x^3 - 12 \cdot x^2 + 20 \cdot x + 30 </math> beschrieben werden kann. Dabei ist <math>x</math> in Tagen und <math>f(x)</math> in <math>\frac{\text{Euro}}{\text{g}}</math> (Preis in Euro pro Gramm) angegeben. | |||
Berechne den Durchschnittspreis in den ersten 4 Tagen. | Berechne den Durchschnittspreis in den ersten 4 Tagen. | ||
[[Datei:Zwei Goldbarren.JPG|ohne| | [[Datei:Zwei Goldbarren.JPG|ohne|mini|Goldbarren]] | ||
{{Lösung versteckt| Welche Formel brauchst du? | Tipp 1| Tipp }} | {{Lösung versteckt| Welche Formel brauchst du? | Tipp 1| Tipp }} | ||
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{{Lösung versteckt| Welche Informationen hast du vom Text bekommen? | Tipp 2| Tipp }} | {{Lösung versteckt| Welche Informationen hast du vom Text bekommen? | Tipp 2| Tipp }} | ||
{{Lösung versteckt|Du brauchst um die Aufgabe zu berechnen zunächst einmal den Mittelwert. Aus der Aufgabe kannst du entnehmen, dass du in die Formel folgende Zahlen einsetzen musst: <math> a = 0</math>(Anfangswert), <math> b = 4</math>. | {{Lösung versteckt|Du brauchst um die Aufgabe zu berechnen zunächst einmal den Mittelwert. Aus der Aufgabe kannst du entnehmen, dass du in die Formel folgende Zahlen einsetzen musst: <math>a = 0</math>(Anfangswert), <math>b = 4</math>. | ||
So könntest du die Aufgabe berechnen: | So könntest du die Aufgabe berechnen: | ||
<math> M = \frac{1}{4-0} \cdot \int_{0}^{4} 2 \cdot x^3 - 12 \cdot x^2 + 20 \cdot x + 30 \, dx | <math>\begin{align} | ||
= \frac{1}{4} \cdot \Big[ \frac{1}{2} \cdot x^4 - 4 \cdot x^3 + 10 \cdot x^2 + 30 \cdot x \Big]_{0}^{4} = \frac{1}{4} \Big[ \frac{1}{2} \cdot 4^4 - 4 \cdot 4^3 + 10 \cdot 4^2 + 30 \cdot 4 \Big] = \frac{1}{4} \cdot \Big[ 152 - 0 \Big] = 38 </math> | M &= \frac{1}{4-0} \cdot \int_{0}^{4} 2 \cdot x^3 - 12 \cdot x^2 + 20 \cdot x + 30 \, dx\\ | ||
&= \frac{1}{4} \cdot \Big[ \frac{1}{2} \cdot x^4 - 4 \cdot x^3 + 10 \cdot x^2 + 30 \cdot x \Big]_{0}^{4}\\ | |||
&= \frac{1}{4} \cdot \Big[ \frac{1}{2} \cdot 4^4 - 4 \cdot 4^3 + 10 \cdot 4^2 + 30 \cdot 4 \Big]\\ | |||
&= \frac{1}{4} \cdot \Big[ 152 - 0 \Big] = 38 | |||
\end{align}</math> | |||
Antwortsatz: | Antwortsatz: In den ersten vier Tagen beträgt der Durchschnittspreis <math> 38 \frac{\text{Euro}}{\text{g}}</math>. |Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }} | ||
{{Box|Aufgabe 3: Bakterien |'''Hierfür benötigst du einen Zettel und einen Stift.''' | {{Box|Aufgabe 3: Bakterien |'''Hierfür benötigst du einen Zettel und einen Stift.''' | ||
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{{Lösung versteckt|Welche der Formeln, die du kennengelernt hast, brauchst du? | Tipp | Tipp }} | {{Lösung versteckt|Welche der Formeln, die du kennengelernt hast, brauchst du? | Tipp | Tipp }} | ||
{{Lösung versteckt|Da wir den Durchschnittswert der Funktion in den ersten 8 Tagen brauchen, nehmen wir die Formel zur Bestimmung des Mittelwertes:<math> M= \frac{1}{b-a} \cdot \int_{a}^{b} k(x)\,dx </math> | {{Lösung versteckt|Da wir den Durchschnittswert der Funktion in den ersten 8 Tagen brauchen, nehmen wir die Formel zur Bestimmung des Mittelwertes: <math> M= \frac{1}{b-a} \cdot \int_{a}^{b} k(x)\,dx </math> | ||
<math> M = \frac{1}{8 - 0} \cdot \int_{ | <math>\begin{align} | ||
M &= \frac{1}{8 - 0} \cdot \int_{0}^{8} - x^4 + 40 \cdot x^3 - 500 \cdot x^2 + 2000 \cdot x + 1 \,dx\\ | |||
&= \frac{1}{8} \cdot ( - \frac{1}{5} \cdot 8^5 + 10 \cdot 8^4 - \frac{500}{3} \cdot 8^3 + 1000 \cdot 8^2 + 8 - 0)\\ | |||
&= 1635{,}13 | |||
\end{align}</math> | |||
Antwortsatz: Im Durchschnitt gibt es ungefähr 1635 Bakterien. |Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | Antwortsatz: Im Durchschnitt gibt es ungefähr 1635 Bakterien. |Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | ||
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{{Lösung versteckt|Überlege, wie sich c) und b) unterscheiden. | Tipp | Tipp }} | {{Lösung versteckt|Überlege, wie sich c) und b) unterscheiden. | Tipp | Tipp }} | ||
{{Lösung versteckt|Der Unterschied zwischen c) und b) liegt darin, dass sich das Intervall verändert. Wir haben jetzt das Intervall <math>[ | {{Lösung versteckt|Der Unterschied zwischen c) und b) liegt darin, dass sich das Intervall verändert. Wir haben jetzt das Intervall <math>[2, 4]</math> haben. | ||
Nun können wir die Formel, wie folgt, berechnen: | Nun können wir die Formel, wie folgt, berechnen: | ||
<math>M = \frac{1}{4 - 2} \int_{ | <math>\begin{align} | ||
M &= \frac{1}{4 - 2} \int_{2}^{4} - x^4 + 40 \cdot x^3 - 500 \cdot x^2 + 2000 \cdot x + 1 \,dx\\ | |||
&= \frac{1}{2} \cdot \Big[ - \frac{1}{5} \cdot 4^5 + 10 \cdot 4^4 - \frac{500}{3} \cdot 4^3 + 1000 \cdot 4^2 + 4 - ( - \frac{1}{5} \cdot 2^5 + 10 \cdot 2^4 - \frac{500}{3} \cdot 2^3 + 1000 \cdot 2^2 + 2 ) \Big]\\ | |||
&\approx 2435{,}13 | |||
\end{align}</math> | |||
Antwortsatz: Zwischen dem 2. und 4. Tag werden durchschnittlich ungefähr 2435 Bakterien gezüchtet. | Antwortsatz: Zwischen dem 2. und 4. Tag werden durchschnittlich ungefähr 2435 Bakterien gezüchtet. | ||
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{{Box|Aufgabe 4: Integrieren mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung|'''Hierfür benötigst du einen Zettel und einen Stift.''' | {{Box|Aufgabe 4: Integrieren mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung|'''Hierfür benötigst du einen Zettel und einen Stift.''' | ||
Die Abbildung zeigt | Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion <math>h</math> mit <math> h(x) = \frac{3}{4}x^3 - 2x^2 + 2x + 1 </math> | ||
[[Datei:Schaubild der Funktion h(x).jpg|mini|240px|rechts| Schaubild der Funktion <math>h(x)</math>]] | [[Datei:Schaubild der Funktion h(x).jpg|mini|240px|rechts| Schaubild der Funktion <math>h(x)</math>]] | ||
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{{Lösung versteckt|Wie lautet die Stammfunktion?| Tipp | Tipp }} | {{Lösung versteckt|Wie lautet die Stammfunktion?| Tipp | Tipp }} | ||
{{Lösung versteckt|Die Stammfunktion <math>H(x)</math> können wir so berechnen: <math>H(x) = \ | {{Lösung versteckt|Die Stammfunktion <math>H(x)</math> können wir so berechnen: <math>H(x) = \int h(x) dx = \int \frac{3}{4}x^3 - 2x^2 + 2x + 1\,dx =\frac{3x^4}{16} - \frac{2x^3}{3} + x^2 + x + C </math>. | ||
Nun musst du nur noch die Intervallgrenzen hinzufügen: | Nun musst du nur noch die Intervallgrenzen hinzufügen: | ||
<math>\int_{-1}^{3} \frac{3}{4}x^3 - 2x^2 + 2x + 1 \,dx = 4\frac{1}{8} - \frac{19}{24} = \frac{25}{3} </math> | <math>\int_{-1}^{3} \frac{3}{4}x^3 - 2x^2 + 2x + 1 \,dx = 4\frac{1}{8} - \frac{19}{24} = \frac{25}{3} </math> | ||
Antwortsatz: Der Wert des Integrals lautet <math>\frac{25}{3} </math>. |Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | Antwortsatz: Der Wert des Integrals lautet <math>\frac{25}{3}</math>. |Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | ||
Zeile 189: | Zeile 225: | ||
{{Lösung versteckt|Überlege, was du aus der vorherigen Aufgabe brauchen könntest.| Tipp | Tipp }} | {{Lösung versteckt|Überlege, was du aus der vorherigen Aufgabe brauchen könntest.| Tipp | Tipp }} | ||
{{Lösung versteckt| | {{Lösung versteckt|In Teilaufgabe a) haben wir schon das bestimmte Integral ausgerechnet. Dies können wir für die Berechnung des Mittelwertes nutzen und den Wert in die Formel einsetzen. | ||
<math> M =\frac{1}{3 | <math>M = \frac{1}{3 - (-1)} \cdot \frac{25}{3} = \frac{1}{4} \cdot \frac{25}{3} = \frac{25}{12} \approx 2{,}08</math> | ||
Antwortsatz: Der Mittelwert der Funktion <math> h</math> | |||
[[Datei:Mittelwert der Funktion h(x) | Antwortsatz: Der Mittelwert der Funktion <math>h</math> auf dem Intervall <math>[-1, 3]</math> ist circa <math>2{,}08</math>. Damit du dir besser vorstellen kannst, was dieser Wert nun anzeigt, haben wir den Mittelwert in das Schaubild eingezeichnet. | ||
[[Datei:Mittelwert der Funktion h(x)2.jpg|ohne|mini|Mittelwert der Funktion <math>h(x)</math>]]|Lösung anzeigen | Lösungsweg verbergen}}|Arbeitsmethode }} | |||
{{Box|Aufgabe 5: Das Kirchenfenster|'''Hierfür benötigst du einen Zettel und einen Stift.''' | {{Box|Aufgabe 5: Das Kirchenfenster|'''Hierfür benötigst du einen Zettel und einen Stift.''' | ||
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==Aufgaben zu den verschiedenen Integrationsverfahren== | ==Aufgaben zu den verschiedenen Integrationsverfahren== | ||
{{Box|Aufgabe 6: Integration von komplexeren Funktionen| | {{Box|Aufgabe 6: Integration von komplexeren Funktionen|Bestimme jeweils die Stammfunktion der Funktion und falls angegeben den Wert des bestimmten Intervalls. Hierfür benötigt ihr einen Zettel und einen Stift, um die Funktion schriftlich zu integrieren. | ||
a) <math> f(x) = x \cdot sin(x) </math> | a) <math> f(x) = x \cdot sin(x) </math> | ||
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Und der Lösungsweg für diese Aufgabe lautet: | Und der Lösungsweg für diese Aufgabe lautet: | ||
<math> F(x)= \ | <math> F(x)= \int x \cdot sin(x) \,dx = \left[x \cdot (-cos(x)) \right] - \int 1 \cdot (-cos(x)) \, dx | ||
= x \cdot (-cos(x)) - (-sin(x)) = - x \cdot cos(x) + sin(x) + C </math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | = x \cdot (-cos(x)) - (-sin(x)) = - x \cdot cos(x) + sin(x) + C </math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | ||
Zeile 330: | Zeile 367: | ||
|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | |Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | ||
| Arbeitsmethode | | Arbeitsmethode }} | ||
{{Box| Aufgabe 7: Stammfunktionen zuordnen|Ordne die Funktionen ihren passenden Stammfunktionen zu! | {{Box| Aufgabe 7: Stammfunktionen zuordnen|Ordne die Funktionen ihren passenden Stammfunktionen zu! {{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pa1tk2o5v20}} | ||
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }} | |||
==Flächeninhalte von Integralen== | ==Flächeninhalte von Integralen== | ||
{{Box| Aufgabe 8: Flächeninhalte berechnen|Berechne den Flächeninhalt der folgenden Integrale! Dafür wirst du für ein paar Aufgaben einen Zettel und einen Stift benötigen. {{LearningApp|width=100%|height=600px|app=p0v4crp2j20 | {{Box| Aufgabe 8: Flächeninhalte berechnen|Berechne den Flächeninhalt der folgenden Integrale! Dafür wirst du für ein paar Aufgaben einen Zettel und einen Stift benötigen. {{LearningApp|width=100%|height=600px|app=p0v4crp2j20}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }} | ||
{{Box|Aufgabe 9: Zahnlogo|[[Datei:Graphische Darstellung des Zahnlogos.jpg|mini|240px|rechts|Skizze des Zahn-Logos]]In einer Zahnarztpraxis soll ein neues Logo entworfen werden. Dazu wurde die nebenstehende Zeichnung angefertigt, welche durch die Funktionen <math> f(x)=- \frac{x^2}{2} + 2 </math> und <math> g(x)= x^4- \frac{15}{4} \cdot x^2 - 1 </math> das Zahnlogo bildet. Dabei entspricht eine Längeneinheit in dem Graphen | {{Box|Aufgabe 9: Zahnlogo|[[Datei:Graphische Darstellung des Zahnlogos.jpg|mini|240px|rechts|Skizze des Zahn-Logos]]In einer Zahnarztpraxis soll ein neues Logo entworfen werden. Dazu wurde die nebenstehende Zeichnung angefertigt, welche durch die Funktionen <math> f(x)=- \frac{x^2}{2} + 2 </math> und <math> g(x)= x^4- \frac{15}{4} \cdot x^2 - 1 </math> das Zahnlogo bildet. Dabei entspricht eine Längeneinheit in dem Graphen 1 cm. Nun soll dieses Logo mit einer Dicke von 1 mm aus Silber (1 cm<sup>3</sup> Silber wiegt 10,5 g) produziert werden. Wie schwer wird das Logo dann werden? | ||
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{{Lösung versteckt|Zur Berechnung der Fläche wird dieses Integral genötigt: <math> \int_{-2}^2 f(x) + g(x)\, dx </math>.|Tipp 2|Tipp 2}} | {{Lösung versteckt|Zur Berechnung der Fläche wird dieses Integral genötigt: <math> \int_{-2}^2 f(x) + g(x)\, dx </math>.|Tipp 2|Tipp 2}} | ||
{{Lösung versteckt|Hast du daran gedacht, alle Einheiten einheitlich anzupassen? Die Dicke von | {{Lösung versteckt|Hast du daran gedacht, alle Einheiten einheitlich anzupassen? Die Dicke von 1 mm muss auf jeden Fall noch in cm umgerechnet werden.| Tipp 3| Tipp 3}} | ||
{{Lösung versteckt| Wenn du die Fläche des Logos <math>A_{Logo} </math> wie in Tipp 1 berechnet hast, kannst du das <math>V_{Logo}</math> nun durch das Produkt von <math>A_{Logo} </math> und der Dicke (beachte Tipp 2!) berechnen.| Tipp 3| Tipp 3}} | {{Lösung versteckt| Wenn du die Fläche des Logos <math>A_{\text{Logo}} </math> wie in Tipp 1 berechnet hast, kannst du das <math>V_{\text{Logo}}</math> nun durch das Produkt von <math>A_{\text{Logo}} </math> und der Dicke (beachte Tipp 2!) berechnen.| Tipp 3| Tipp 3}} | ||
{{Lösung versteckt|Zunächst wird der Flächeninhalt berechnet: | {{Lösung versteckt|Zunächst wird der Flächeninhalt berechnet: | ||
<math>A_{Logo} = \int_{-2}^2 f(x) + g(x)\, dx | <math>\begin{align} | ||
A_{\text{Logo}} &= \int_{-2}^2 f(x) + g(x)\, dx\\ | |||
= \int_{-2}^2 (- \frac{x^2}{2} + 2) + (x^4- \frac{15}{4} \cdot x^2 - 1 )\, dx | &= \int_{-2}^2 (- \frac{x^2}{2} + 2) + (x^4- \frac{15}{4} \cdot x^2 - 1 )\, dx\\ | ||
&= \int_{-2}^2 x^4- \frac{15}{4} \cdot x^2 - \frac{1}{2} \cdot x + 1 \, dx\\ | |||
= \int_{-2}^2 x^4- \frac{15}{4} \cdot x^2 - \frac{1}{2} \cdot x + 1 \, dx | &= \left[ \frac{1}{5} x^5 - \frac{5}{4} x^3 - \frac{1}{4} x^2 + x \right]\\ | ||
&= 3{,}2 | |||
= \left[ \frac{1}{5} x^5 - \frac{5}{4} x^3 - \frac{1}{4} x^2 + x \right] | \end{align}</math> | ||
= 3{,}2 | |||
Wenn ihr die Fläche des Logos berechnet habt, könnt ihr mit Hilfe der angegebenen Dicke des Logos das Volumen berechnen: | Wenn ihr die Fläche des Logos berechnet habt, könnt ihr mit Hilfe der angegebenen Dicke des Logos das Volumen berechnen: | ||
<math>V_{Logo}= A_{Logo} \cdot | <math>V_{\text{Logo}}= A_{\text{Logo}} \cdot \text{Dicke}_{\text{Logo}} = 3{,}2 {cm}^2 \cdot 0{,}1 cm = 0{,}32 {cm}^3 </math> | ||
Das Gewicht wird dann wie folgt angegeben:<math>V_{Logo} \cdot | Das Gewicht wird dann wie folgt angegeben:<math>V_{\text{Logo}} \cdot \text{Dichte}_{\text{Silber}}= 0{,}32 [\text{cm}^3] \cdot 10{,}5 \left[\frac{\text{g}}{{\text{cm}}^3} \right] = 3{,}36 [\text{g}] </math> | ||
Das fertige Logo aus Silber wiegt | Das fertige Logo aus Silber wiegt 3,36 g. | ||
|Lösungsweg + Lösung anzeigen | Lösungsweg + Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode| | |Lösungsweg + Lösung anzeigen | Lösungsweg + Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode| }} | ||
==Rotationskörper (Zusatz: nur für LK's)== | ==Rotationskörper (Zusatz: nur für LK's)== | ||
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{{Lösung versteckt| | {{Lösung versteckt| | ||
Als Beispiel betrachten wird das Volumen einer Kugel mit Radius <math>r</math>, die durch die Rotation des Graphen der Funktion <math>f</math> mit <math>f(x) = \sqrt{r^2-x^2}</math> im Intervall <math>[-r | Als Beispiel betrachten wird das Volumen einer Kugel mit Radius <math>r</math>, die durch die Rotation des Graphen der Funktion <math>f</math> mit <math>f(x) = \sqrt{r^2-x^2}</math> im Intervall <math>[-r, r]</math> um die <math>x</math>-Achse entsteht. Mit der Formel für den Rotationskörper erhält man nun das Volumen der Kugel: <math>V = \pi\int_{-r}^{r}(r^2-x^2) dx = \left[\pi(r^2\cdot x - \frac{1}{3}x^3)\right]_{-r}^{r} = \frac{4}{3}\pi\cdot r^3</math>.| Beispiel anzeigen | Beispiel verbergen}} | ||
Hier ein weiteres Beispiel einer Sinus-Funktion, das veranschaulicht, wie du dir Rotationskörper vorstellen kannst. | Hier ein weiteres Beispiel einer Sinus-Funktion, das veranschaulicht, wie du dir Rotationskörper vorstellen kannst. | ||
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{{Lösung versteckt|Wir nutzen die Lösung von Teilaufgabe a) und setzen für <math>r=6</math> ein: <math>V_{rot}= 49\pi - \frac{49\pi}{1+r} = 49\pi - \frac{49\pi}{1+6} = 49\pi - 7\pi = 42\pi</math>. | Lösung anzeigen| Lösung verbergen}} | {{Lösung versteckt|Wir nutzen die Lösung von Teilaufgabe a) und setzen für <math>r=6</math> ein: <math>V_{rot}= 49\pi - \frac{49\pi}{1+r} = 49\pi - \frac{49\pi}{1+6} = 49\pi - 7\pi = 42\pi</math>. | Lösung anzeigen| Lösung verbergen}} | ||
| Arbeitsmethode | | Arbeitsmethode }} | ||
Aktuelle Version vom 17. Juni 2020, 20:57 Uhr
Einführung: Integral
Rechnen mit Integralen
Die Verbindung zwischen Integralen und Differentialen
Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen
Partielle Integration
Integration durch Substitution
Aufgaben zu den verschiedenen Integrationsverfahren
Flächeninhalte von Integralen
Rotationskörper (Zusatz: nur für LK's)