Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Wendepunkte: Unterschied zwischen den Versionen
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'''Zusammenfassung:''' | '''Zusammenfassung:''' | ||
* '''notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math> | * '''notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math> | ||
* '''hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W) \neq 0</math>, ''' | * '''hinreichendes Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math> und <math>f'''(x_W) \neq 0</math>, '''wobei gilt:''' <math>f'''(x_W) > 0 \Rightarrow</math>RLW oder <math>f'''(x_W) < 0 \Rightarrow</math>LRW | ||
| Merksatz}} | | Merksatz}} | ||
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* '''Notwendiges Kriterium:''' Nullstellen <math> x_W </math> der zweiten Ableitung berechnen | * '''Notwendiges Kriterium:''' Nullstellen <math> x_W </math> der zweiten Ableitung berechnen | ||
* '''Hinreichendes Kriterium:''' Einsetzen der berechneten | * '''Hinreichendes Kriterium:''' Einsetzen der berechneten Wendestelle <math> x_W </math> in die dritte Ableitung (RLW oder LRW?) | ||
* '''Berechnen des Funktionswertes''' durch | * '''Berechnen des Funktionswertes''' durch Einsetzen der Wendestelle <math> x_W </math> in die ursprüngliche Funktion | ||
Du kannst dir noch gerne das folgende Beispiel anschauen: | Du kannst dir noch gerne das folgende Beispiel anschauen: | ||
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<math>f(x_{W_{2}})=\frac{7}{12}\cdot (-\sqrt{\frac{10}{7}})^4-5\cdot (-\sqrt{\frac{10}{7}})^2\approx -5{,}95</math> | <math>f(x_{W_{2}})=\frac{7}{12}\cdot (-\sqrt{\frac{10}{7}})^4-5\cdot (-\sqrt{\frac{10}{7}})^2\approx -5{,}95</math> | ||
'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(20|-5,95)</math> liegt | '''Lösung:''' An dem Punkt <math>(20|-5{,}95)</math> liegt ein Rechts-links-Wendepunkt vor und an dem Punkt <math>(-20|-5{,}95)</math> liegt ein Links-rechts-Wendepunkt vor. | ||
| Beispiel anzeigen |Beispiel verbergen}} | | Beispiel anzeigen |Beispiel verbergen}} | ||
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| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}} | | Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}} | ||
'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(0 | '''Lösung:''' An dem Punkt <math>(0|0)</math> liegt ein Links-rechts-Wendepunkt vor und an den Punkten <math>(\sqrt{\frac{15}{4}}|0{,}97)</math> und <math>(-\sqrt{\frac{15}{4}}|-0{,}97)</math> liegen Rechts-links-Wendepunkte vor. | ||
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}} | | Lösung anzeigen |Lösung verbergen}} | ||
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| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}} | | Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}} | ||
'''Lösung:''' Die Rechts-links- | '''Lösung:''' Die Rechts-links-Wendepunkte der Funktion der Schar liegen an den Punkten: <math>(\frac{a}{6}|-\frac{2}{6^3}a^3-a) </math>. | ||
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}} | | Lösung anzeigen |Lösung verbergen}} | ||
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[[File:Colossos Heide Park Soltau Germany.jpg|thumb|Achterbahn]] | [[File:Colossos Heide Park Soltau Germany.jpg|thumb|Achterbahn]] | ||
Im Europa Park in Baden-Württemberg soll eine schnelle Achterbahn gebaut werden. Kurz vor Schluss soll die Bahn über zwei hohe Punkte fahren und dort die Höchstgeschwindigkeiten erreichen. Die Mitarbeiter des Parks haben eine Simulation der Achterbahn erstellt und haben somit die Geschwindigkeit der Achterbahn gegen die Zeit aufgenommen. Die Funktion <math>v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math> (siehe Abbildung) beschreibt im Intervall <math>[-3,3]</math> Sekunden sehr gut die Geschwindigkeit der Achterbahn am Ende der Fahrt, wobei <math>t</math> für die Zeit und <math>s</math> für die Sekunden der Fahrt steht. Zum Zeitpunkt <math>t=0</math> schießt eine Kamera ein Foto von den Passagieren. | Im Europa Park in Baden-Württemberg soll eine schnelle Achterbahn gebaut werden. Kurz vor Schluss soll die Bahn über zwei hohe Punkte fahren und dort die Höchstgeschwindigkeiten erreichen. Die Mitarbeiter des Parks haben eine Simulation der Achterbahn erstellt und haben somit die Geschwindigkeit der Achterbahn gegen die Zeit in Sekunden aufgenommen. Die Funktion <math>v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math> (siehe Abbildung) beschreibt im Intervall <math>[-3, 3]</math> Sekunden sehr gut die Geschwindigkeit der Achterbahn am Ende der Fahrt, wobei <math>t</math> für die Zeit und <math>s</math> für die Sekunden der Fahrt steht. Zum Zeitpunkt <math>t=0</math> schießt eine Kamera ein Foto von den Passagieren. | ||
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<math>\Rightarrow t_{W_{1/2}}=\pm \sqrt{3 + \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{3/4}}=\pm \sqrt{3 - \sqrt {5}}</math> | <math>\Rightarrow t_{W_{1/2}}=\pm \sqrt{3 + \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{3/4}}=\pm \sqrt{3 - \sqrt {5}}</math> | ||
<math>\Rightarrow t_{W_{1}}=\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math> | <math>\Rightarrow t_{W_{1}}=\sqrt{3 + \sqrt {5}} \approx 2{,}29</math>, | ||
<math>t_{W_{2}}=-\sqrt{3 + \sqrt {5}} \approx -2{,}29</math>, | |||
<math>t_{W_{3}}=\sqrt{3 - \sqrt {5}} \approx 0{,}87</math> und | |||
<math>t_{W_{4}}=-\sqrt{3 - \sqrt {5}} \approx -0{,}87</math>. | |||
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'''Lösung:''' Die Achterbahn bremst zu den Zeitpunkten <math> | '''Lösung:''' Die Achterbahn bremst zu den Zeitpunkten <math>-0{,}87</math> Sekunden und <math>2{,}29</math> Sekunden am stärksten ab. Die Achterbahn beschleunigt zu den Zeitpunkten <math>-2{,}29</math> Sekunden und <math>0{,}87</math> Sekunden am stärksten. | ||
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}} | | Lösung anzeigen |Lösung verbergen}} | ||