Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Prozentrechnung/1) Absoluter und relativer Vergleich

1) Absoluter und relativer Vergleich

2) Prozentschreibweise

3) Grundbegriffe der Prozentrechnung

4) Prozentsatz p% berechnen

5) Prozentwert W berechnen

6) Grundwert G berechnen

7) Prozente rund um Stadtlohn (vermischte Übungen)

8) Checkliste

1) Absoluter und relativer Vergleich

Führe das folgende Experiment durch: Stelle einen leeren Mülleimer in 3 m Entfernung von deinem Standort auf und versuche, einen kleinen Ball in den Eimer zu werfen. Alle Jungen haben 20 Versuche, alle Mädchen 25 Versuche.

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Schicke dein Ergebnis an deine Mathelehrerin. Sie sammelt die Ergebnisse der Klasse...

...Hier sind die gesammelten Ergebnisse eurer Klasse:

	Name	Mats	Lisa	Kassem	Ida	Larissa	Henry
	Würfe insgesamt	20	25	20	25	25	20
Eintrag folgt	Treffer	10	11	13	12	17	12
Eintrag folgt	hier folgen Einträge

Wer war die beste Werferin/ der beste Werfer? Wer steht auf Platz zwei und drei?

Begründe deine Wahl!

Wir können die Zahlen auf zwei Arten miteinander vergleichen:

Absoluter und relativer Vergleich

① Wir vergleichen die absoluten Treffer, also wie oft hat jeder von euch getroffen.

  Dies heißt absoluter Vergleich.

② Wir vergleichen, wie viele Treffer es bei wie vielen Würfen gab, also die Anteile der Treffer.

Dies heißt relativer Vergleich.

Wir ergänzen die Tabelle:

	Name	Mats	Lisa	Kassem	Ida	Larissa	Henry
	Würfe insgesamt	20	25	20	25	25	20
Absoluter Vergleich	Treffer	10	11	13	12	16	12
Relativer Vergleich	$\frac{\text{Anzahl der Treffer}}{\text{Anzahl der Würfe insgesamt}}$	$\tfrac{10}{20}$	$\tfrac{11}{25}$	$\tfrac{13}{20}$	$\tfrac{12}{25}$	$\tfrac{16}{25}$	$\tfrac{12}{20}$

① Absolut gesehen hat LARISSA die meisten Treffer.

② Für den relativen Vergleich müssen wir die Anteile $\frac{\text{Anzahl der Treffer}}{\text{Anzahl der Würfe insgesamt}}$betrachten.

Wir können Anteile als Brüche, als Dezimalbrüche und in Prozent vergleichen.

Relativer Vergleich

Um die Anteile vergleichen zu können, müssen wir also die Brüche gleichnamig machen oder sie in einen Dezimalbruch oder in Prozent umwandeln.

Umwandlung: Bruch - Dezimalbruch
1) Ein Bruch kann durch Erweitern und Kürzen auf zehntel, hundertstel,… in einen Dezimalbruch umgewandelt werden

$\tfrac{3}{5}$ = $\tfrac{6}{10}$ = 0,6 

2) Durch eine Divisionsaufgabe:

$\tfrac{7}{15}$= 7 : 15 = 0,46$\bar{3}$ ≈ 0,467

Name	Bruch	Dezimalbruch	Prozent
Mats	$\tfrac{10}{20}$=$\tfrac{50}{100}$	0,5	50%
Lisa	$\tfrac{11}{25}$=$\tfrac{44}{100}$	0,44	44%
Kassem	$\tfrac{13}{20}$=$\tfrac{65}{100}$	0,65	65%
Ida	$\tfrac{12}{25}$=$\tfrac{48}{100}$	0,48	48%
Larissa	$\tfrac{16}{25}$=$\tfrac{64}{100}$	0,64	64%
Henry	$\tfrac{12}{20}$=$\tfrac{60}{100}$	0,6	60%

Auswertung des Experiments: Mathematisch begründete Antwort auf die Einstiegsfrage

Kassem hat also gewonnen, denn 65 % seiner Würfe haben den Eimer getroffen.

Larissa hatte zwar absolut gesehen mehr Treffer aber „nur“ 64% ihrer Würfe haben den Eimer getroffen.

Absoluter und relativer Vergleich

Beim absoluten Vergleich werden die Zahlenangaben direkt miteinander verglichen.

Beim relativen Vergleich werden die Anteile (z.B. $\frac{\text{Anzahl der Treffer}}{\text{Anzahl der Würfe insgesamt}}$) miteinander verglichen.

Übung 1

Seit vielen Jahren nehmen die Schülerinnen und Schüler der Herta-Lebenstein-Realschule an den Prüfungen zum  Sportabzeichen teil.

Von den 32 Schülern der Klasse 7c haben 24 das Sportabzeichen geschafft, in der Klasse 7b waren es 20 von 25.

Klaus aus der 7c behauptet: „Wir waren besser als die 7b! Ist doch klar: 24 Sportabzeichen sind mehr als 20.“

Was meinst du dazu? Löse im Heft.

geg:…

ges:…

geg:7c 24 von 32 Sportabzeichen; 7b 20 von 25 Sportabzeichen

ges: relativer Vergleich

7c $\tfrac{24}{32}$=$\tfrac{3}{4}$=$\tfrac{75}{100}$=75%

7b $\tfrac{20}{25}$=$\tfrac{80}{100}$=80%

Übung 2

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Achte auf eine übersichtliche Darstellung.

• S. 133 Nr. 6
• S. 133 Nr. 7
• S. 133 Nr. 9
• S. 133 Nr. 10

geg: Würfe insgesamt und jeweilige Treffer
ges: relative Häufigkeit
Jens: 7 Treffer von 15 Würfen, also $\frac{\text{Anzahl der Treffer}}{\text{Anzahl der Würfe insgesamt}}$ = $\tfrac{7}{15}$
Manuel: 9 Treffer von 20 Würfen insgesamt, also $\tfrac{9}{20}$
Brüche vergleichen:

• gleichnamig machen (Hauptnenner 60)
• umwandeln in eine Dezimalzahl (Division)

"Gleichnamig machen" - Wie geht das noch mal?
Erweitere beide Brüche auf denselben Nenner.
$\tfrac{7}{15}$ = $\tfrac{7·4}{15·4}$ = $\tfrac{28}{60}$
$\tfrac{9}{20}$ = $\tfrac{9·3}{20·3}$ = $\tfrac{17}{60}$

Welcher Bruch ist nun der größere?

"Umwandeln in einen Dezimalbruch mit Division" - Wie geht das noch mal?
Schreibe statt des Bruchstrichs ein Geteilt-Zeichen. $\tfrac{7}{15}$ = 7 : 15.

$\tfrac{9}{20}$ kannst du ebenso in einen Dezimalbruch umwandeln.

Hier hast du zusätzlich die (schnellere) Möglichkeit, den Bruch so zu erweitern, dass der Nenner 100 beträgt und du den Dezimalbruch daran ablesen kannst.

Du kannst die Klassen vergleichen, indem du das gesammelte Gewicht pro Schüler berechnest (relative Häufigkeit).

$\frac{\text{gesammeltes Gewicht}}{\text{Anzahl der Schüler}}$

Vergleiche den erzielten Gewinn bezogen auf die Höhe des Einsatzes.

relative Häufigkeit=$\frac{\text{erzielter Gewinn}}{\text{Einsatz}}$

Übung 3 - online

Bearbeite die nachfolgenden GeoGebra-Applets des FLINK- Teams. Wähle den Originallink, falls nötig.

Originallink https://www.geogebra.org/m/pprrjujw

Originallink https://www.geogebra.org/m/vvnawdmw

Originallink https://www.geogebra.org/m/w7ztgqmp

Originallink https://www.geogebra.org/m/pswqud2f

Originallink https://www.geogebra.org/m/fefvmjbw

Originallink https://www.geogebra.org/m/ke7xbcwj

Applets FLINK-Team

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2) Prozentschreibweise