Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Verhalten im Unendlichen und nahe Null: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Box| Merke: Verhalten einer Funktion im Unendlichen | | {{Box| Merke: Verhalten einer Funktion im Unendlichen | | ||
Das '''Verhalten einer Funktion <math>f</math> im Unendlichen''' beschreibt, wie sich der Funktionswert <math>f(x)</math> verhält, wenn <math>x</math> gegen plus oder minus unendlich geht, also wie f für sehr große positive und negative Werte von <math>x</math> aussieht. Bei ganzrationalen Funktionen der Form <math>f(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1 x+a_0</math> kann man das Verhalten im Unendlichen untersuchen, indem man sich den Summanden des Funktionsterms mit dem '''größten Exponenten''' von <math>x</math> anschaut. Betrachte also <math>g(x)=a_n x^n</math>. Im Unendlichen verhalten sich <math>f</math> und <math>g</math> gleich, man kann also einfach das Verhalten im Unendlichen von <math>g</math> untersuchen. Es gibt vier Fälle, die dabei unterschieden werden: | Das '''Verhalten einer Funktion <math>f</math> im Unendlichen''' beschreibt, wie sich der Funktionswert <math>f(x)</math> verhält, wenn <math>x</math> gegen plus oder minus unendlich geht, also wie f für sehr große positive und negative Werte von <math>x</math> aussieht. Bei ganzrationalen Funktionen der Form <math>f(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1 x+a_0</math> kann man das Verhalten im Unendlichen untersuchen, indem man sich den Summanden des Funktionsterms mit dem '''größten Exponenten''' von <math>x</math> anschaut. Betrachte also <math>g(x)=a_n x^n</math>. Im Unendlichen verhalten sich <math>f</math> und <math>g</math> gleich, man kann also einfach das Verhalten im Unendlichen von <math>g</math> untersuchen. Es gibt vier Fälle, die dabei unterschieden werden: | ||
[[Datei:Tabelle Verhalten im Unendlichen.png|center]] | |||
| Merksatz}} | | Merksatz}} | ||
{{Box| Merke: Verhalten nahe Null | | {{Box| Merke: Verhalten nahe Null | | ||
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<math>f_2</math> verhält sich nahe Null wie <math>h_2(x)=4x^2-7</math>, also wie eine um den Faktor 4 gestreckte, nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt bei <math>(0|-7)</math>. | <math>f_2</math> verhält sich nahe Null wie <math>h_2(x)=4x^2-7</math>, also wie eine um den Faktor 4 gestreckte, nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt bei <math>(0|-7)</math>. | ||
|2=Weiteres Beispiel|3=Beispiel verbergen}} | |2=Weiteres Beispiel|3=Beispiel verbergen}} | ||
| | | Merksatz}} | ||
{{Box | 1=Aufgabe 1 - Quiz zum Verhalten einer Funktion | | {{Box | 1=Aufgabe 1 - Quiz zum Verhalten einer Funktion | | ||
2=Wähle die jeweils richtigen Antworten aus. Es können eine oder mehrere Antworten richtig sein. Achte darauf, ob das Verhalten im Unendlichen oder nahe Null gefragt ist. Es kann helfen, dir Notizen zu machen. | 2=Wähle die jeweils richtigen Antworten aus. Es können eine oder mehrere Antworten richtig sein. Achte darauf, ob das Verhalten im Unendlichen oder nahe Null gefragt ist. Es kann helfen, dir Notizen zu machen. | ||
Falls du einen Tipp benötigst, klicke links oben auf die Glühlampe. | Falls du einen Tipp benötigst, klicke links oben auf die Glühlampe. | ||
{{LearningApp|width | {{LearningApp|width=100%|height=500px|app=10633191}} | ||
| 3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}} | | 3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}} | ||
{{Box | 1=Aufgabe 2 - Beschreibe das Verhalten| | {{Box | 1=Aufgabe 2 - Zuordnen des richtigen Graphen zum Funktionsterm | | ||
2=Wähle jeweils den richtigen Funktionsgraphen aus, der zum angegebenen Funktionsterm passt. | |||
Falls du einen Tipp benötigst, klicke links oben auf die Glühlampe. | |||
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=12085692}} | |||
| 3=Arbeitsmethode}} | |||
{{Box | 1=Aufgabe 3 - Beschreibe das Verhalten| | |||
2=Beschreibe in deinem Heft das Verhalten der nachfolgenden Funktionen und Funktionenscharen im Unendlichen '''und''' nahe Null. Gehe dazu vor wie in den Merkboxen oben. | 2=Beschreibe in deinem Heft das Verhalten der nachfolgenden Funktionen und Funktionenscharen im Unendlichen '''und''' nahe Null. Gehe dazu vor wie in den Merkboxen oben. | ||
'''a)''' <math>f(x)=7x^5-2x^2</math> | '''a)''' <math>f(x)=7x^5-2x^2</math> | ||
{{Lösung versteckt|1=Gehe | {{Lösung versteckt|1=Gehe genauso vor wie im obigen Beispiel. Für das Verhalten im Unendlichen schau dir am besten noch einmal die vier möglichen Fälle an.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=<math>f</math> verhält sich im Unendlichen wie <math>g(x)=7x^5</math>. Da <math>n=5</math> eine ungerade Zahl ist und <math>a_n=7>0</math>, geht <math>f(x)\rightarrow-\infty</math> für <math>x\rightarrow -\infty</math> und <math>f(x)\rightarrow\infty</math> für <math>x\rightarrow\infty</math>. Der Graph von <math>f</math> verläuft also von links unten nach rechts oben. | {{Lösung versteckt|1=<math>f</math> verhält sich im Unendlichen wie <math>g(x)=7x^5</math>. Da <math>n=5</math> eine ungerade Zahl ist und <math>a_n=7>0</math>, geht <math>f(x)\rightarrow-\infty</math> für <math>x\rightarrow -\infty</math> und <math>f(x)\rightarrow\infty</math> für <math>x\rightarrow\infty</math>. Der Graph von <math>f</math> verläuft also von links unten nach rechts oben. | ||
|2=Lösung: Verhalten im Unendlichen|3=Lösung verbergen}} | |2=Lösung: Verhalten im Unendlichen|3=Lösung verbergen}} |