Benutzer:Carolin WWU-6: Unterschied zwischen den Versionen

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===Verhalten im Unendlichen und nahe Null===
===Verhalten im Unendlichen und nahe Null===


{{Box | Merke
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| Das '''Verhalten einer Funktion f im Unendlichen''' beschreibt, wie sich der Funktionswert f(x) verhält, wenn x gegen <math>\pm\infty</math> geht, also für sehr große Werte von x. Bei ganzrationalen Funktionen der Form <math>f(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1 x+a_0</math> kann man das Verhalten im Unendlichen untersuchen, indem man sich den Summanden des Funktionsterms mit dem größten Exponenten von x anschaut. Betrachte also <math>g(x)=a_n x^n</math>. Im Unendlichen verhalten sich f und g gleich, du musst also nur das Verhalten im Unendlichen von g untersuchen. Es gibt vier Fälle, die du dabei unterscheiden musst.
Das '''Verhalten einer Funktion <math>f</math> im Unendlichen''' beschreibt, wie sich der Funktionswert <math>f(x)</math> verhält, wenn <math>x</math> gegen <math>\pm\infty</math> geht, also für sehr große positive und negative Werte von <math>x</math>. Bei ganzrationalen Funktionen der Form <math>f(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1 x+a_0</math> kann man das Verhalten im Unendlichen untersuchen, indem man sich den Summanden des Funktionsterms mit dem größten Exponenten von <math>x</math> anschaut. Betrachte also <math>g(x)=a_n x^n</math>. Im Unendlichen verhalten sich <math>f</math> und <math>g</math> gleich, du musst also nur das Verhalten im Unendlichen von <math>g</math> untersuchen. Es gibt vier Fälle, die du dabei unterscheiden musst:
| Merksatz}}
 
{| class="wikitable center"
!<math>n</math> gerade
!<math>n</math> ungerade
|-
|<math>n</math> gerade und <math>a_n>0</math>:
 
<math>f</math> verläuft "von links oben nach rechts oben",
 
<math>f(x)\rightarrow \infty</math> für <math>x\rightarrow\pm\infty</math>
|<math>n</math> ungerade und <math>a_n>0</math>:
 
<math>f</math> verläuft "von links unten nach rechts oben",
 
<math>f(x)\rightarrow -\infty</math> für <math>x\rightarrow -\infty</math>,
<math>f(x)\rightarrow \infty</math> für <math>x\rightarrow\infty</math>
|-
|<math>n</math> gerade und <math>a_n<0</math>:
 
<math>f</math> verläuft "von links unten nach rechts unten",


#n ist eine gerade Zahl und <math>a_n</math> ist positiv. Dann verläuft f "von links oben nach rechts oben", das heißt <math>f(x)\rightarrow \infty</math> für <math>x\rightarrow\pm\infty</math>.
<math>f(x)\rightarrow -\infty</math> für <math>x\rightarrow\pm\infty</math>
#n ist eine gerade Zahl und <math>a_n</math> ist negativ. Dann verläuft f "von links unten nach rechts unten", das heißt <math>f(x)\rightarrow -\infty</math> für <math>x\rightarrow\pm\infty</math>.
|<math>n</math> ungerade und <math>a_n<0</math>:
#n ist eine ungerade Zahl und <math>a_n</math> ist positiv. Dann verläuft f "von links unten nach rechts oben", das heißt <math>f(x)\rightarrow -\infty</math> für <math>x\rightarrow -\infty</math> und <math>f(x)\rightarrow \infty</math> für <math>x\rightarrow\infty</math>.
#n ist eine ungerade Zahl und <math>a_n</math> ist negativ. Dann verläuft f "von links oben nach rechts unten", das heißt <math>f(x)\rightarrow \infty</math> für <math>x\rightarrow -\infty</math> und <math>f(x)\rightarrow -\infty</math> für <math>x\rightarrow\infty</math>.


Das '''Verhalten einer Funktion f nahe Null''' beschreibt, wie sich der Funktionswert f(x) verhält, wenn x gegen Null geht, also für sehr kleine Werte von x. Eine ganzrationale Funktion der Form <math>f(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1 x+a_0</math> verhält sich nahe Null wie die Summe des absoluten Glied <math>a_0</math> und dem Term mit der geringsten Potenz von x.
<math>f</math> verläuft "von links oben nach rechts unten",


'''Ein Beispiel:''' <math>f(x)=5x^2-3x+4</math> verhält sich im Unendlichen wie <math>g(x)=5x^2</math>. Für <math>x\rightarrow -\infty</math> geht daher <math>f(x)\rightarrow\infty</math> und für <math>x\rightarrow \infty</math> geht <math>f(x)\rightarrow\infty</math>, da 5>0 und 2 eine gerade Zahl ist. Nahe Null verhält sich f wie <math>h(x)=-3x+4</math>. Wenn man sich ein kleines Intervall um x=0 anschaut, sieht der Graph von f dort lokal also aus wie eine Gerade mit der Steigung -3 und dem y-Achsenabschnitt 4. Der y-Achsenabschnitt von f ist daher auch 4.
<math>f(x)\rightarrow \infty</math> für <math>x\rightarrow -\infty</math>,
<math>f(x)\rightarrow -\infty</math> für <math>x\rightarrow\infty</math>
|}


'''Ein weiteres Beispiel:''' <math>f(x)=x^5+4x^2-7</math> verhält sich im Unendlichen wie  <math>g(x)=x^5</math>. Für <math>x\rightarrow -\infty</math> geht daher <math>f(x)\rightarrow -\infty</math> und für <math>x\rightarrow \infty</math> geht <math>f(x)\rightarrow\infty</math>, da 1>0 und 5 eine ungerade Zahl ist. Nahe Null verhält sich f wie <math>h(x)=4x^2-7</math>, also wie eine um den Faktor 4 gestreckte, nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt (und y-Achsenabschnitt) bei (0|-7).
{{Box| Merke |
Das '''Verhalten einer Funktion <math>f</math> nahe Null''' beschreibt, wie sich der Funktionswert <math>f(x)</math> verhält, wenn <math>x</math> gegen Null geht, also für sehr kleine Werte von <math>x</math>. Eine ganzrationale Funktion der Form <math>f(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1 x+a_0</math> verhält sich nahe Null wie die Summe aus dem absoluten Glied <math>a_0</math> und dem Summanden mit der geringsten Potenz von x, die im Funktionsterm auftaucht.
| Merksatz}}
| Merksatz}}
{{Box| Beispiel 1|
<math>f(x)=5x^2-3x+4</math> verhält sich im Unendlichen wie <math>g(x)=5x^2</math>. Für <math>x\rightarrow -\infty</math> geht <math>f(x)\rightarrow\infty</math> und für <math>x\rightarrow \infty</math> geht <math>f(x)\rightarrow\infty</math>, da <math>n=2</math> eine gerade Zahl ist und <math>a_n=5>0</math>. Nahe Null verhält sich <math>f</math> wie <math>h(x)=-3x+4</math>. Wenn man sich ein kleines Intervall um <math>x=0</math> anschaut, sieht der Graph von <math>f</math> dort lokal also aus wie eine Gerade mit der Steigung -3 und dem y-Achsenabschnitt 4. Der y-Achsenabschnitt von <math>f</math> ist daher auch 4.
| Beispiel}}
{{Box| Beispiel 2|
<math>f(x)=x^5+4x^2-7</math> verhält sich im Unendlichen wie  <math>g(x)=x^5</math>. Für <math>x\rightarrow -\infty</math> geht <math>f(x)\rightarrow -\infty</math> und für <math>x\rightarrow \infty</math> geht <math>f(x)\rightarrow\infty</math>, da <math>n=5</math>  eine ungerade Zahl ist und <math>a_n=1>0</math> . Nahe Null verhält sich <math>f</math> wie <math>h(x)=4x^2-7</math>, also wie eine um den Faktor 4 gestreckte, nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt (und y-Achsenabschnitt) bei <math>(0,-7)</math>.
| Beispiel}}
{{Box | Aufgabe 1: Quiz zum Verhalten im Unendlichen |
Öffne das Quiz im Vollbildmodus und wähle die jeweils richtigen Antworten aus. Es können eine oder mehrere Antworten richtig sein. Es kann helfen, dir Notizen zu machen.
{{LearningApp|width:80%|height:1000px|app=10633191}}
| Arbeitsmethode}}
{{Box | Aufgabe 2*: Beschreibe das Verhalten |
Beschreibe in deinem Heft das Verhalten der nachfolgenden Funktionen und Funktionenscharen im Unendlichen. Gehe dazu vor wie in der Merkbox oben.
'''a)''' <math>f(x)=x^2-\frac{4}{3}x^2-3x+9</math>
{{Lösung versteckt|1=Beachte, dass du manchmal den Funktionsterm erst zusammenfassen musst.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>f</math> verhält sich im Unendlichen wie <math>g(x)=-\frac{1}{3}x^2</math>. Da <math>n=2</math> eine gerade Zahl ist und <math>a_n=-\frac{1}{3}<0</math>, geht <math>f(x)\rightarrow-\infty</math> für <math>x\rightarrow \pm\infty</math>. Der Graph von <math>f</math> verläuft also von links unten nach rechts unten.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
'''b)''' <math>f_a(x)=-7x^5+ax^3</math>
{{Lösung versteckt|1=Gehe bei Funktionenscharen genau so vor wie bei normalen Funktionen.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>f_a</math> verhält sich im Unendlichen wie <math>g(x)=-7x^5</math>. Da <math>n=5</math> eine ungerade Zahl ist und <math>a_n=-7<0</math>, geht <math>f(x)\rightarrow\infty</math> für <math>x\rightarrow -\infty</math> und <math>f(x)\rightarrow-\infty</math> für <math>x\rightarrow \infty</math>. Der Graph von <math>f</math> verläuft also von links oben nach rechts unten.|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
'''c)''' <math>f_a(x)=-ax^3+2x^2+3x-\frac{4}{7}</math> mit <math>a<0</math>
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir zunächst, welches Vorzeichen <math>a_n</math> hat, wenn <math>a</math> negativ ist. |2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>f_a</math> verhält sich im Unendlichen wie <math>g_a(x)=-ax^3</math>. Da <math>n=3</math> eine ungerade Zahl ist und <math>a_n=-a>0</math>, da <math>a<0</math> ist, geht <math>f(x)\rightarrow-\infty</math> für <math>x\rightarrow -\infty</math> und <math>f(x)\rightarrow\infty</math> für <math>x\rightarrow \infty</math>. Der Graph von <math>f</math> verläuft also von links unten nach rechts oben.|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
| Arbeitsmethode}}

Aktuelle Version vom 10. April 2020, 11:15 Uhr


Verhalten im Unendlichen und nahe Null

Merke

Das Verhalten einer Funktion im Unendlichen beschreibt, wie sich der Funktionswert verhält, wenn gegen geht, also für sehr große positive und negative Werte von . Bei ganzrationalen Funktionen der Form kann man das Verhalten im Unendlichen untersuchen, indem man sich den Summanden des Funktionsterms mit dem größten Exponenten von anschaut. Betrachte also . Im Unendlichen verhalten sich und gleich, du musst also nur das Verhalten im Unendlichen von untersuchen. Es gibt vier Fälle, die du dabei unterscheiden musst:

gerade ungerade
gerade und :

verläuft "von links oben nach rechts oben",

für

ungerade und :

verläuft "von links unten nach rechts oben",

für , für

gerade und :

verläuft "von links unten nach rechts unten",

für

ungerade und :

verläuft "von links oben nach rechts unten",

für , für


Merke

Das Verhalten einer Funktion nahe Null beschreibt, wie sich der Funktionswert verhält, wenn gegen Null geht, also für sehr kleine Werte von . Eine ganzrationale Funktion der Form verhält sich nahe Null wie die Summe aus dem absoluten Glied und dem Summanden mit der geringsten Potenz von x, die im Funktionsterm auftaucht.


Beispiel 1

verhält sich im Unendlichen wie . Für geht und für geht , da eine gerade Zahl ist und . Nahe Null verhält sich wie . Wenn man sich ein kleines Intervall um anschaut, sieht der Graph von dort lokal also aus wie eine Gerade mit der Steigung -3 und dem y-Achsenabschnitt 4. Der y-Achsenabschnitt von ist daher auch 4.


Beispiel 2

verhält sich im Unendlichen wie . Für geht und für geht , da eine ungerade Zahl ist und . Nahe Null verhält sich wie , also wie eine um den Faktor 4 gestreckte, nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt (und y-Achsenabschnitt) bei .


Aufgabe 1: Quiz zum Verhalten im Unendlichen

Öffne das Quiz im Vollbildmodus und wähle die jeweils richtigen Antworten aus. Es können eine oder mehrere Antworten richtig sein. Es kann helfen, dir Notizen zu machen.


Aufgabe 2*: Beschreibe das Verhalten

Beschreibe in deinem Heft das Verhalten der nachfolgenden Funktionen und Funktionenscharen im Unendlichen. Gehe dazu vor wie in der Merkbox oben.

a)

Beachte, dass du manchmal den Funktionsterm erst zusammenfassen musst.
verhält sich im Unendlichen wie . Da eine gerade Zahl ist und , geht für . Der Graph von verläuft also von links unten nach rechts unten.

b)

Gehe bei Funktionenscharen genau so vor wie bei normalen Funktionen.
verhält sich im Unendlichen wie . Da eine ungerade Zahl ist und , geht für und für . Der Graph von verläuft also von links oben nach rechts unten.

c) mit

Überlege dir zunächst, welches Vorzeichen hat, wenn negativ ist.
verhält sich im Unendlichen wie . Da eine ungerade Zahl ist und , da ist, geht für und für . Der Graph von verläuft also von links unten nach rechts oben.