Julius-Echter-Gymnasium/Mathematik/Zufallsexperimente

Zufallsexperimente

Wenn der Ausgang eines Experiments nicht vorhergesagt werden kann, aber alle möglichen Ergebnisse bekannt sind, nennt man es ein Zufallsexperiment.

Beispiel:

Fast jeder wird im Alltag regelmäßig Ausführer eines Zufallsexperiments.
Ein gutes Beispiel sieht man beim Spielen von "Mensch ärger dich nicht". Wenn ein Spieler an der Reihe ist, würfelt er, um mit seiner Figur vorrücken zu können.

Dieses Würfeln ist ein Zufallsexperiment:
Wie wir in der Definition gelernt haben, ist ein Merkmal von Zufallsexperimenten die Unbekanntheit der Ergebnisse. Dies trifft auch beim Würfeln zu, da der Spieler nicht wissen kann, welche Zahl er würfeln wird.
Obwohl das Würfelergebnis noch unbekannt ist, besteht das zweite Merkmal eines Zufallsexperiments darin, dass alle möglichen Ergebnisse bekannt sind.
So auch beim Würfeln: Da die Spieler wissen, dass ein Würfel 6 Seiten hat, wissen sie auch, dass die Ergebnisse 1,2,3,4,5 oder 6 möglich sind.
Welches Ergebnis genau eintritt ist allerdings unbekannt.

Aufgabe 1

Teste, ob du Zufallsexperimente erkennen kannst:

Erklärungen zu den Lösungen:
Alle Ereignisse werden mit den Merkmalen für Zufallsexperimente verglichen.

Eine Münze wird geworfen und es wird betrachtet, ob Kopf oder Zahl oben liegt.
Es handelt sich um ein Zufallsexperiment, da man nicht wissen kann, ob die Münze auf der Kopf- oder Zahlseite liegen bleibt, aber alle möglichen Ergebnisse, nämlich Kopf und Zahl, bekannt sind.

Die Siedetemperatur von Wasser wird gemessen.
Hierbei handelt es sich um kein Zufallsexperiment, da die Siedetemperatur von Wasser immer bei 100°C liegt. Der Ausgang ist also schon bekannt.

Eine Karte wird aus einem verdeckten UNO-Kartenspiel gezogen.
Die Merkmale für Zufallsexperimente treffen zu, da man weiß, welche Karten es in einem UNO-Kartenspiel gibt und trotzdem nicht weiß, welche Karte man genau ziehen wird. Es handelt sich also auch um ein Zufallsexperiment.

Auf einem Tisch liegen 2 blaue, 3 rote und 5 gelbe Stifte. Ohne hinzuschauen, wird einer der Stifte genommen und geschaut, welche Farbe er hat.
Es handelt sich um ein Zufallsexperiment. Alle Merkmale treffen zu: Man kennt alle möglichen Ergebnisse, da man weiß, welche Stifte auf dem Tisch liegen. Da man ohne hinzuschauen einen Stift zieht, weiß man allerdings wieder nicht, welchen der Stifte genau man ziehen wird. Der Ausgang ist also unbekannt.

Der Lehrer benotet die Schulaufgaben der Schüler/innen.

Hierbei handelt es sich um kein Zufallsexperiment, da der Lehrer die Noten nach Leistung vergibt und sie nicht zufällig benotet.

Auswerten von Zufallsexperimenten

Zum Auswerten von Zufallsexperimenten betrachtet man die absolute und relative Häufigkeit.
Die absolute Häufigkeit gibt an, wie oft ein bestimmtes Ergebnis bei mehrmaliger Wiederholung eines Zufallsexperiments eintritt.

Die relative Häufigkeit gibt an, wie groß der Anteil der absoluten Häufigkeit bzw. des Ergebnisses an der Gesamtanzahl der Durchführung des Zufallsexperiments ist.

Und so kann man sie ganz einfach berechnen:

Beispiel:

Es wurde insgesamt 100 Mal gewürfelt.

100 = Anzahl der Durchführungen

Augenzahl	1	2	3	4	5	6
gewürfelte Anzahl ≙ absolute Häufigkeit	13	20	14	21	14	18
Anteil der gewürfelten Anzahl an Zahl der Durchführungen ≙ relative Häufigkeit	$\frac{13}{100}$ =13%	$\frac{20}{100}$ =20%	$\frac{14}{100}$ =14%	$\frac{21}{100}$ =21%	$\frac{14}{100}$ =14%	$\frac{18}{100}$ =18%

Empirisches Gesetz der großen Zahlen:

Nach einer großen Anzahl von Durchführungen eines Zufallsexperiments stabilisiert sich die relative Häufigkeit auf einen bestimmten Wert.

Die relative Häufigkeit verändert sich also bei weiteren Durchführungen kaum.

Hier kannst du das Auswerten von Zufallsexperimenten üben:

Übung 1

Fülle die Lücken der folgenden Tabelle mit den richtigen Zahlen. Die Antwortmöglichkeiten findest du im Kasten unter der Tabelle.
Es wurde insgesamt 50 Mal gewürfelt.

Augenzahl	1	2	3	4	5	6
(gewürfelte Anzahl) ≙ absolute Häufigkeit	10	9	6	10	8	7
relative Häufigkeit	$\frac{10}{50}$ =20%	$\frac{9}{50}$ =18%	$\frac{6}{50}$ =12%	$\frac{10}{50}$ =20%	$\frac{8}{50}$ =16%	$\frac{7}{50}$ =14%

Übung 2

Ergänze die Lücken des Textes mit den richtigen Zahlen.

Die Zahl 4 wird bei 100-maligem Würfeln 26 Mal gewürfelt. Die relative Häufigkeit beträgt $\frac{26}{100}$. In Prozent sind das 26%
Die relative Häufigkeit der Zahl 3 beträgt bei 50-maligem Würfeln $\frac{1}{10}$. Die 3 wurde also 5 Mal gewürfelt.
Eine Münze wird 5 Mal geworfen. 3 Mal landet sie auf der Kopfseite, 2 Mal auf der Zahlseite. Die relative Häufigkeit, dass die Münze auf der Zahlseite landet beträgt 40%.
Die Zahl 8 wird bei 25-maligem würfeln 5 Mal gewürfelt. Ihre relative Häufigkeit beträgt 20% oder $\frac{10}{50}$.
Es wurde 50 Mal gewürfelt.Die absolute Häufigkeit der Zahl 6 beträgt 24% also $\frac{12}{50}$.
Aus einer Urne mit blauen, gelben und roten Kugeln werden 20 Kugeln blind herausgenommen. 7 davon sind blau. Die relative Häufigkeit eine blauen Kugel zu ziehen liegt also bei 35%.
Eine Münze wird 8 Mal geworfen. 3 Mal landet sie auf der Kopfseite, 5 Mal auf der Zahlseite. Die relative Häufigkeit, dass die Münze auf der Zahlseite landet beträgt 62,5%.

Übung 3

Vergleichen von Dezimalbrüchen

Addition und Subtraktion gleichnamiger Brüche