Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren 2.0/Quadratische Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Box|1= <span style="color: blue" >3. Punkte auf dem Funktionsgraphen </span>|2=Gegeben seien die Funktion <math>f(x) =\frac {1} {4} \cdot (x-6)^2-3</math> und die Punkte <math> A=(10|?), B=\left(? |\frac { | {{Box|1= <span style="color: blue" >3. Punkte auf dem Funktionsgraphen </span>|2=Gegeben seien die Funktion <math>f(x) =\frac {1} {4} \cdot (x-6)^2-3</math> und die Punkte <math> A=(10|?), B=\left(? |\frac {37} {4}\right), C=(?|6), D=\left(\frac {43} {20}|?\right) </math> und <math>E=(5|?) </math> <br /> <br /> | ||
''' a) ''' Berechne von den oben genannten Punkten die jeweils fehlende x- bzw. y-Koordinate, so dass die Punkte auf dem Graphen der Funktion f liegen. <br /><br /> | ''' a) ''' Berechne von den oben genannten Punkten die jeweils fehlende x- bzw. y-Koordinate, so dass die Punkte auf dem Graphen der Funktion f liegen. <br /><br /> | ||
{{Lösung versteckt| 1= Was bedeuten die Variable <math> x </math> und <math> f(x) </math>? Wofür sind sie Platzhalter? {{Lösung versteckt| 1= Wenn du die x-Koordinate eines Punktes in eine Funktion einsetzt, berechnest du so seine y-Koordinate. Möchtest du hingegen die x-Koordinate eines Punktes berechnen, so setzte deine y-Koordinate für <math> f(x) </math> ein. Danach formst du nach x um. Dabei kann dir die pq-Formel helfen. | {{Lösung versteckt| 1= Was bedeuten die Variable <math> x </math> und <math> f(x) </math>? Wofür sind sie Platzhalter? {{Lösung versteckt| 1= Wenn du die x-Koordinate eines Punktes in eine Funktion einsetzt, berechnest du so seine y-Koordinate. Möchtest du hingegen die x-Koordinate eines Punktes berechnen, so setzte deine y-Koordinate für <math> f(x) </math> ein. Danach formst du nach x um. Dabei kann dir die pq-Formel helfen. | ||
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{{Lösung versteckt | 1= Die Punkte besitzen, um auf dem Graphen der Funktion <math> f </math> zu liegen, folgende Koordinaten: <br /> | {{Lösung versteckt | 1= Die Punkte besitzen, um auf dem Graphen der Funktion <math> f </math> zu liegen, folgende Koordinaten: <br /> | ||
Beachte, dass du bei der Berechnung der x-Koordinate immer zwei mögliche Ergebnisse erhältst. <br \> | Beachte, dass du bei der Berechnung der x-Koordinate immer zwei mögliche Ergebnisse erhältst. <br \> | ||
<math>A=(10|1), B= | <math>A=(10|1), B=(13|\frac {37} {4}) </math> und <math>B'=(-1|\frac {37} {4}) , C=(0|6) </math> und <math> C'=(12|6), D=\left(\frac{43} {20}|\frac{7}{10}\right) </math> und <math>E=\left(5|-\frac{11} {4}\right) </math> | ||
Falls du dir nicht sicher bist, wie man auf die Lösung kommt, findest du hier eine beispielhafte Lösung der Koordinatenberechnung von Punkt A: | Falls du dir nicht sicher bist, wie man auf die Lösung kommt, findest du hier eine beispielhafte Lösung der Koordinatenberechnung von Punkt A: | ||
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3. Als nächstes wendet man die pq-Formel an, dabei ist das p=-12 und das q=0: <br \> | 3. Als nächstes wendet man die pq-Formel an, dabei ist das p=-12 und das q=0: <br \> | ||
<math> | <math> | ||
x_1 = | x_1 = -\frac{-12}{2}-\sqrt{( -\frac{-12}{2})^2-0} </math> sowie <math> x_2 = -\frac{-12}{2}+\sqrt{( -\frac{-12}{2})^2-0} </math> | ||
Daraus folgt <math> x_1 = 0 </math> und <math> x_2 = 12 | Daraus folgt <math> x_1 = 0 </math> und <math> x_2 = 12 | ||
</math><br /> <br /><br /> | </math><br /> <br /><br /> | ||
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| 2=Tipp 1| 3=schließen}} | | 2=Tipp 1| 3=schließen}} | ||
{{Lösung versteckt |1= Wenn deine Zeichnung wie folgt aussieht, hast du alles richtig gemacht: [[Datei: Lösung | {{Lösung versteckt |1= Wenn deine Zeichnung wie folgt aussieht, hast du alles richtig gemacht: [[Datei:Graphische Lösung A3.png||600px | zentriert]] |2=Lösung |3=schließen}} | ||
|3=Arbeitsmethode}} | |3=Arbeitsmethode}} | ||
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{{Lösung versteckt|Wenn du nicht mehr genau weißt, wie du von Funktionen von der Normalform in die Scheitelpunktform | {{Lösung versteckt|Wenn du nicht mehr genau weißt, wie du von Funktionen von der Normalform in die Scheitelpunktform umformst, dann schau dir nochmal die Aufgabe 4.2 an.|Tipp|schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt mit Rand| | {{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt mit Rand| | ||
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Berechne von beiden Funktionen jeweils die Nullstellen. <br /> | Berechne von beiden Funktionen jeweils die Nullstellen. <br /> | ||
Du kannst als Hilfe Zettel und Stift verwenden. | Du kannst als Hilfe Zettel und Stift verwenden. | ||
{{Lösung versteckt| 1= Denke über die Bedeutung einer Nullstelle nach. Was bedeutet es, wenn eine Funktion an einem Punkt eine Nullstelle besitzt? {{Lösung versteckt|1= Ein Punkt wird als Nullstelle einer Funktion bezeichnet, wenn seine '''y-Koordinate gleich 0''' ist. <br /> | {{Lösung versteckt| 1= Denke über die Bedeutung einer Nullstelle nach. Was bedeutet es, wenn eine Funktion an einem Punkt eine Nullstelle besitzt? | ||
{{Lösung versteckt|1= Ein Punkt wird als Nullstelle einer Funktion bezeichnet, wenn seine '''y-Koordinate gleich 0''' ist. <br /> | |||
D.h. um die Nullstellen einer Funktion zu bestimmen, solltest du die Funktion gleich 0 setzen. <br /> | D.h. um die Nullstellen einer Funktion zu bestimmen, solltest du die Funktion gleich 0 setzen. <br /> | ||
Für die nächsten Schritte gibt es verschiedene Möglichkeiten vorzugehen: | Für die nächsten Schritte gibt es verschiedene Möglichkeiten vorzugehen: | ||
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}} | }} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Falls du nicht mehr genau weißt, wie die pq-Formel lautet, schaue in den Tipps von Aufgabe 3. |2= Tipp 3|3=schließen}} |2= Tipp 1|3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= <math>g(x) </math> liegt in Scheitelpunktform vor, weswegen eine Möglichkeit die Nullstellen zu bestimmen Folgende ist:<br /><br /> | {{Lösung versteckt|1= <math>g(x) </math> liegt in Scheitelpunktform vor, weswegen eine Möglichkeit die Nullstellen zu bestimmen Folgende ist:<br /><br /> | ||
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\end{array} </math><br /> <br /><br /> | \end{array} </math><br /> <br /><br /> | ||
|2= Lösung zu h(x) |3=schließen}} | |2= Lösung zu h(x) |3=schließen}} | ||
{{Lösung versteckt| 1= [[Datei:Graphische Lösung | {{Lösung versteckt| 1= [[Datei:Graphische Lösung A7.png|600px|zentriert]] |2= Darstellung der Graphen | 3=schließen}} |2= Lösungen| 3= schließen}} | ||
|3=Arbeitsmethode}} | |3=Arbeitsmethode}} | ||
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'''2) Interpretieren im Anwendungskontext''' | '''2) Interpretieren im Anwendungskontext''' | ||
Da wir davon ausgehen können, dass der Sportler nach vorne springt, ergibt nur <math>x_1=2</math> Sinn. Der Sportler landet also in einer Entfernung von <math>2m</math> zum | Da wir davon ausgehen können, dass der Sportler nach vorne springt, ergibt nur <math>x_1=2</math> Sinn. Der Sportler landet also in einer Entfernung von <math>2m</math> zum Absprungpunkt auf der Matte. | ||
|2=Lösung | 3=Schließen}} | |2=Lösung | 3=Schließen}} | ||
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{{LearningApp|width:100%|height:600px|app=8068753}} | {{LearningApp|width:100%|height:600px|app=8068753}} | ||
|3=Arbeitsmethode}} | |3=Arbeitsmethode}} | ||
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Genug zum Thema "quadratische Funktionen" wiederholt? Dann schau auf deinen Diagnosetest und wähle eines der anderen beiden Themen aus. | |||
In jedem Kapitel gibt es sowohl Aufgaben zum Üben von Inhalten, bei denen du ein ''Minus'' oder einen ''Kreis'' bekommen hast als auch Knobelaufgaben für die Themen, die du schon gut konntest. | |||
[[Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren 2.0/Lineare Funktionen|Lineare Funktionen]] | |||
[[Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren 2.0/Terme und Gleichungen|Terme und Gleichungen]] | |||
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|Wie geht es weiter?|schließen}} | |||
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Aktuelle Version vom 23. März 2021, 16:27 Uhr
Scheitelpunktform
Umwandlung Scheitelpunktform und Normalform
Der bisherige Lernpfad hat sich bis hier hin intensiv mit der Scheitelpunktform beschäftigt. Quadratische Funktionen können jedoch auch in der Normalform geschrieben werden. In diesem Abschnitt kannst du dein bisheriges Wissen über die Umwandlung von einer Form in die andere Form wiederholen, auffrischen und üben.
Nullstellen
Anwendungsaufgaben