Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren 2.0/Terme und Gleichungen: Unterschied zwischen den Versionen
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'''b)''' <math> \frac{4}{3}x - \frac{3}{5}x = \frac{20}{15}x - \frac{9}{15} = \frac{11}{15}x </math> <br /> | '''b)''' <math> \frac{4}{3}x - \frac{3}{5}x = \frac{20}{15}x - \frac{9}{15} = \frac{11}{15}x </math> <br /> | ||
'''c)''' <math> \frac{8}{2}x+7 </math> <br /> | '''c)''' <math> \frac{8}{2}x+7 </math> <br /> | ||
'''d)''' <math> 15x - | '''d)''' <math> 15x - 4y </math> <br /> | ||
'''e)''' <math> x + | '''e)''' <math> x^2 + 2x - 2 </math> <br /> | ||
'''f)''' <math> | '''f)''' <math> x + y </math> | 2= Lösung| 3= Lösung}} | ||
|3 = Arbeitsmethode}} | |3 = Arbeitsmethode}} | ||
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{{Lösung versteckt|1= Überlege über welchen Weg du den Term am besten vereinfachen kannst. Schaue dir dafür in der Wiederholung "Terme - Vereinfachen" die verschiedneen Wege nochmal an.{{Lösung versteckt|1= Markiere dir die im Term zusammengehörenden Teilterme und sortiere sie der Reihe nach. z.B: <span style="color: orange">2x</span> + <span style="color: red">3</span> - <span style="color: orange">3x</span> - <span style="color: red">2</span> |2=Tipp 2 |3=Tipp 2 }}|2=Tipp 1 |3=Tipp 1}} | {{Lösung versteckt|1= Überlege über welchen Weg du den Term am besten vereinfachen kannst. Schaue dir dafür in der Wiederholung "Terme - Vereinfachen" die verschiedneen Wege nochmal an.{{Lösung versteckt|1= Markiere dir die im Term zusammengehörenden Teilterme und sortiere sie der Reihe nach. z.B: <span style="color: orange">2x</span> + <span style="color: red">3</span> - <span style="color: orange">3x</span> - <span style="color: red">2</span> |2=Tipp 2 |3=Tipp 2 }}|2=Tipp 1 |3=Tipp 1}} | ||
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' <math> 2x^2 - 3 + 3x + 2 - 3x = 2x^2 | {{Lösung versteckt|1= '''a)''' <math> 2x^2 - 3 + 3x + 2 - 3x = 2x^2 + 3x - 3x - 3 + 2 = 2x^2 -1 </math> <br /> | ||
'''b)''' <math> 10\frac{9}{3}x \frac{30}{20} </math> <br /> | '''b)''' <math> 10\frac{9}{3}x + \frac{30}{20} </math> <br /> | ||
'''c)''' <math> 12x - 7xy </math> <br /> | '''c)''' <math> 12x - 7xy </math> <br /> | ||
'''d)''' <math> 14x + 9y </math> <br /> | '''d)''' <math> 14x + 9y </math> <br /> | ||
'''e)''' <math> | '''e)''' <math> 2xy + 3yz +xz </math> <br /> | 2= Lösung| 3= Lösung}}|3 = Arbeitsmethode}} | ||
{{Box|1 = <span style="color: green"> Aufgabe 1.3 </span>|2 = Fasse die Terme durch Addieren und Subtrahieren zusammen, vereinfache dabei soweit wie möglich.<br /> <br /> | {{Box|1 = <span style="color: green"> Aufgabe 1.3 </span>|2 = Fasse die Terme durch Addieren und Subtrahieren zusammen, vereinfache dabei soweit wie möglich.<br /> <br /> | ||
<span style="color: green"> a) </span> <math> (x-1) - (-x-5)-10x </math><br /> <br /> | <span style="color: green"> a) </span> <math> (x-1) - (-x-5)-10x </math><br /> <br /> | ||
<span style="color: green"> b) </span> <math> \frac{14+23y}{3} - \frac{3y-3}{2} </math><br /> <br /> | <span style="color: green"> b) </span> <math> \frac{14+23y}{3} - \frac{3y-3}{2} </math><br /> <br /> | ||
<span style="color: green"> c) </span> <math> \frac{66y +42x}{6} | <span style="color: green"> c) </span> <math> \frac{66y +42x}{6} - \frac{18y-9}{3} </math><br /> <br /> | ||
<span style="color: green"> d) </span> <math> \frac{8x^3 + 6x^2}{2} + \frac{20x^3 - 15x^2}{5} </math> | <span style="color: green"> d) </span> <math> \frac{8x^3 + 6x^2}{2} + \frac{20x^3 - 15x^2}{5} </math> | ||
{{Lösung versteckt|1= Überlege über welchen Weg du den Term am besten vereinfachen kannst. Schaue dir dafür in der Wiederholung "Terme - Vereinfachen" die verschiedneen Wege nochmal an.{{Lösung versteckt|1= Markiere dir die im Term zusammengehörenden Teilterme und sortiere sie der Reihe nach. z.B: <span style="color: orange">2x</span> + <span style="color: red">3</span> - <span style="color: orange">3x</span> - <span style="color: red">2</span> |2=Tipp 2 |3=Tipp 2 }}|2=Tipp | {{Lösung versteckt|1= Überlege über welchen Weg du den Term am besten vereinfachen kannst. Schaue dir dafür in der Wiederholung "Terme - Vereinfachen" die verschiedneen Wege nochmal an.{{Lösung versteckt|1= Markiere dir die im Term zusammengehörenden Teilterme und sortiere sie der Reihe nach. z.B: <span style="color: orange">2x</span> + <span style="color: red">3</span> - <span style="color: orange">3x</span> - <span style="color: red">2</span> |2=Tipp 2 |3=Tipp 2 }}|2=Tipp|3=Tipp}} | ||
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' <math> -8x + 4 </math> <br /> | {{Lösung versteckt|1= '''a)''' <math> (x-1) - (-x-5)-10x = x-1 + x + 5 - 10x = -10x+x+x-1+5 = -8x + 4 </math> <br /> | ||
'''b)''' <math> \frac{37y+37}{6} </math> <br /> | '''b)''' <math> \frac{37y+37}{6} </math> <br /> | ||
'''c)''' <math> \frac{30y+42x+18}{6} </math> <br /> | '''c)''' <math> \frac{30y+42x+18}{6} </math> <br /> | ||
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|3 = Arbeitsmethode}} | |3 = Arbeitsmethode}} | ||
{{Box|1=<span style="color: orange"> Aufgabe 2 </span>|2=Füge die zugehörigen Terme zusammen. Du kannst hierfür deinen Stift und Papier nutzen.{{LearningApp|width:75%|height:250px|app= | {{Box|1=<span style="color: orange"> Aufgabe 2 </span>|2=Füge die zugehörigen Terme zusammen. Du kannst hierfür deinen Stift und Papier nutzen.{{LearningApp|width:75%|height:250px|app=2954651}}{{Lösung versteckt|1= Überlege über welchen Weg du den Term am besten vereinfachen kannst. Schaue dir dafür in der Wiederholung "Terme - Vereinfachen" die verschiedneen Wege nochmal an.{{Lösung versteckt|1= Markiere dir die im Term zusammengehörenden Teilterme und sortiere sie der Reihe nach. z.B: <span style="color: orange">2x</span> + <span style="color: red">3</span> - <span style="color: orange">3x</span> - <span style="color: red">2</span> |2=Tipp 2|3=Tipp 2}}|2=Tipp |3=Tipp}}|3=Arbeitsmethode}} | ||
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{{Lösung versteckt|1= Beim Ausmultiplizieren musst du jeden Faktor vor der Klammer mit jedem in der Klammer multiplizieren. in der Wiederholung "Terme - Vereinfachen" siehst du ein Beispiel für das Ausmultiplizieren.|2=Tipp |3=Tipp }} | {{Lösung versteckt|1= Beim Ausmultiplizieren musst du jeden Faktor vor der Klammer mit jedem in der Klammer multiplizieren. in der Wiederholung "Terme - Vereinfachen" siehst du ein Beispiel für das Ausmultiplizieren.|2=Tipp |3=Tipp }} | ||
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' <math> 30x^2 </math> <br /> | {{Lösung versteckt|1= '''a)''' <math> (3x + 2x) \cdot 6x = 3x \cdot 6x + 2x \cdot 6x = 18x + 12x =30x^2 </math> <br /> | ||
'''b)''' <math> 6x + 14 </math> <br /> | '''b)''' <math> 6x + 14 </math> <br /> | ||
'''c)''' <math> 6x + 12y </math> <br /> | '''c)''' <math> 6x + 12y </math> <br /> | ||
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{{Lösung versteckt|1= Beim Ausmultiplizieren musst du jeden Faktor vor der Klammer mit jedem in der Klammer multiplizieren. in der Wiederholung "Terme - Vereinfachen" siehst du ein Beispiel für das Ausmultiplizieren.|2=Tipp |3=Tipp }} | {{Lösung versteckt|1= Beim Ausmultiplizieren musst du jeden Faktor vor der Klammer mit jedem in der Klammer multiplizieren. in der Wiederholung "Terme - Vereinfachen" siehst du ein Beispiel für das Ausmultiplizieren.|2=Tipp |3=Tipp }} | ||
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' <math> | {{Lösung versteckt|1= '''a)''' <math> 2x \cdot (3y - 4x) = 2x \cdot 3y - 2x \cdot 3x = 6xy - 8x^2 </math> <br /> | ||
'''b)''' <math> -1\frac{2}{3} + y </math> <br /> | '''b)''' <math> -1\frac{2}{3} + y </math> <br /> | ||
'''c)''' <math> x^2 + xy + xz </math> <br /> | '''c)''' <math> x^2 + xy + xz </math> <br /> | ||
'''d)''' <math> \frac{6}{35}x^2 + \frac{8}{30}</math> <br /> | 2= Lösung| 3= Lösung}}|3= Arbeitsmethode}} | '''d)''' <math> \frac{6}{35}x^2 + \frac{8}{30}x</math> <br /> | 2= Lösung| 3= Lösung}}|3= Arbeitsmethode}} | ||
{{Box|1 = <span style="color: green"> Aufgabe 3.3 </span>|2= Fasse die Terme durch Ausmultiplizieren zusammen. Vereinfache dabei soweit wie möglich.<br /> <br /> | {{Box|1 = <span style="color: green"> Aufgabe 3.3 </span>|2= Fasse die Terme durch Ausmultiplizieren zusammen. Vereinfache dabei soweit wie möglich.<br /> <br /> | ||
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{{Lösung versteckt|1= Beim Ausmultiplizieren musst du jeden Faktor vor der Klammer mit jedem in der Klammer multiplizieren. in der Wiederholung "Terme - Vereinfachen" siehst du ein Beispiel für das Ausmultiplizieren.|2=Tipp |3=Tipp }} | {{Lösung versteckt|1= Beim Ausmultiplizieren musst du jeden Faktor vor der Klammer mit jedem in der Klammer multiplizieren. in der Wiederholung "Terme - Vereinfachen" siehst du ein Beispiel für das Ausmultiplizieren.|2=Tipp |3=Tipp }} | ||
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' <math> | {{Lösung versteckt|1= '''a)''' <math> (x^2 - y^2) \cdot (-2x^2 + 2y^2 + 2)= x^2 \cdot -2x^2 + x^2 \cdot 2y^2 + x^2 \cdot 2 - y^2 \cdot -2x^2 -y^2\cdot2y^2 - y^2\cdot 2 = -2x^4 + 2x^2+ 4x^2y^2 - 2y^2 - 2y^4 </math> <br /> | ||
'''b)''' <math> -x + y </math> <br /> | '''b)''' <math> -x + y </math> <br /> | ||
'''c)''' <math> | '''c)''' <math> 4x^2 - 5y </math> <br /> | ||
'''d)''' <math> x </math> <br /> | 2= Lösung| 3= Lösung}}|3= Arbeitsmethode}} | '''d)''' <math> x </math> <br /> | 2= Lösung| 3= Lösung}}|3= Arbeitsmethode}} | ||
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'''b)''' <math> 3x \cdot (2+x) </math> <br /> | '''b)''' <math> 3x \cdot (2+x) </math> <br /> | ||
'''c)''' <math> xy \cdot(12y - 2x - 1) </math> <br /> | '''c)''' <math> xy \cdot(12y - 2x - 1) </math> <br /> | ||
'''d)''' <math> 3x \cdot \left(\frac{1+3x | '''d)''' <math> 3x \cdot \left(\frac{1+3x-4y}{2}\right) </math>| 2= Lösung| 3= Lösung}}|3=Arbeitsmethode}} | ||
{{Box|1= <span style="color: blue"> Aufgabe 4.2 </span>|2=Fasse die Terme durch Ausklammern zusammen, vereinfache dabei soweit wie möglich.<br /> <br /> | {{Box|1= <span style="color: blue"> Aufgabe 4.2 </span>|2=Fasse die Terme durch Ausklammern zusammen, vereinfache dabei soweit wie möglich.<br /> <br /> | ||
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{{Lösung versteckt|1=Überlege welche(n) Faktor/Faktoren du ausklammern kannst. {{Lösung versteckt|1=Achte bei Tipp 1 auf den größten gemeinsamen Teiler.{{Lösung versteckt|1= Der größte gemeinsame Teiler (ggT) ist die größte Zahl, die die Teilermengen zweier/mehrerer Zahlen gemein haben. Beispiel: Wir suchen den ggT der Zahlen 12 und 18. Dafür suchen wir alle Zahlen die die Zahl 12 bzw 18 teilen (Teilermengen). T<sub>12</sub> = {1,2,3,4,<span style="color: green"> 6 </span>,12} und T<sub>18</sub> = {1,2,3,<span style="color: green">6</span>,9,18}. Damit ergibt sich, dass 6 der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 12 und 18 ist.|2=Tipp 3 |3=Tipp 3 }}|2=Tipp 2 |3=Tipp 2 }}|2=Tipp 1 |3=Tipp 1 }} | {{Lösung versteckt|1=Überlege welche(n) Faktor/Faktoren du ausklammern kannst. {{Lösung versteckt|1=Achte bei Tipp 1 auf den größten gemeinsamen Teiler.{{Lösung versteckt|1= Der größte gemeinsame Teiler (ggT) ist die größte Zahl, die die Teilermengen zweier/mehrerer Zahlen gemein haben. Beispiel: Wir suchen den ggT der Zahlen 12 und 18. Dafür suchen wir alle Zahlen die die Zahl 12 bzw 18 teilen (Teilermengen). T<sub>12</sub> = {1,2,3,4,<span style="color: green"> 6 </span>,12} und T<sub>18</sub> = {1,2,3,<span style="color: green">6</span>,9,18}. Damit ergibt sich, dass 6 der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 12 und 18 ist.|2=Tipp 3 |3=Tipp 3 }}|2=Tipp 2 |3=Tipp 2 }}|2=Tipp 1 |3=Tipp 1 }} | ||
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' <math> 3x \cdot ( | {{Lösung versteckt|1= '''a)''' <math> 3x \cdot (2+x-3y) </math> <br /> | ||
'''b)''' <math> 8x \cdot (4x-2-8y)</math> <br /> | '''b)''' <math> 8x \cdot (4x-2-8y)</math> <br /> | ||
'''c)''' <math> 4xy \cdot (4+9-1) = 48xy </math> <br /> | '''c)''' <math> 4xy \cdot (4+9-1) = 48xy </math> <br /> | ||
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'''d)''' <math> 7xy \cdot(3 + 2x -6y + 9xy) </math>| 2= Lösung| 3= Lösung}}|3=Arbeitsmethode}} | '''d)''' <math> 7xy \cdot(3 + 2x -6y + 9xy) </math>| 2= Lösung| 3= Lösung}}|3=Arbeitsmethode}} | ||
{{Box|1=<span style="color: orange"> Aufgabe 5 </span>|2=Füge die zugehörigen Terme zusammen. | {{Box|1=<span style="color: orange"> Aufgabe 5 </span>|2=Füge die zugehörigen Terme zusammen. Nutze Stift und Papier zur Hilfe. | ||
{{LearningApp|width:75%|height:250px|app= | {{LearningApp|width:75%|height:250px|app=pt7a13xbn19}}{{Lösung versteckt|1= Klammere oder Multipliziere die Terme aus. Achte insbesondere auf Vorzeichen.{{Lösung versteckt|1= Schaue dir nochmal oben die Wiederholung an, in der das Ausmultiplizieren und Ausklammern erwähnt wird. |2=Tipp 2|3=Tipp 2}}|2=Tipp|3=Tipp}}|3=Arbeitsmethode}} | ||
===Gleichungen=== | ===Wiederholung: Gleichungen=== | ||
<br /> | <br /> | ||
In diesem Abschnitt kannst du trainieren, wie du lineare und quadratische Gleichungen aufstellst und löst. Falls du nicht mehr genau weißt, was eine Gleichung ist, lies dir die kurze Erklärung noch einmal durch: | In diesem Abschnitt kannst du trainieren, wie du lineare und quadratische Gleichungen aufstellst und löst. Falls du nicht mehr genau weißt, was eine Gleichung ist, lies dir die kurze Erklärung noch einmal durch: | ||
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<math>5x = 10</math>. | 2= Was ist eine Gleichung?| 3= Was ist eine Gleichung? }} | <math>5x = 10</math>. | 2= Was ist eine Gleichung?| 3= Was ist eine Gleichung? }} | ||
{| | {{Box|1 = <span style="color: orange"> Aufgabe 6.1 </span>| 2 = Löse folgende lineare Gleichungen. <br /> <br /> | ||
<span style="color: orange"> a) </span> <math> 5x = 15 </math> <br /> <br /> | |||
<span style="color: orange"> b) </span> <math> 20x = 10 </math> <br /> <br /> | |||
<span style="color: orange"> c) </span> <math> x + \frac{3}{4} = 1 </math> <br /> <br /> | |||
<span style="color: orange"> d) </span> <math> \frac{1}{2} x + 3 = 8 </math> <br /> <br /> | |||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= Überlege dir, was du rechnen musst, damit das <math> x </math> alleine auf einer der Seite der Gleichung steht. {{Lösung versteckt|1= Sortiere dazu erst die Summanden mit und ohne <math> x </math>, indem du sie addierst, subtrahierst und zusammenfasst. Anschließend dividierst du die Gleichung durch den Vorfaktor des Summanden mit dem <math> x </math> | 2= Tipp 2| 3= Tipp 2 }} | 2= Tipp 1| 3= Tipp 1}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= '''a)''' <math> x = 3 </math> <br /> '''b)''' <math> x = \frac{1}{2} </math> <br /> '''c)''' <math> x = \frac{1}{4} </math> <br /> '''d)''' <math> x = 10 </math> <br /> | 2= Lösung| 3= Lösung}} | ||
| 3 = Arbeitsmethode }} | |||
{{ | {{Box|1 = <span style="color: blue"> Aufgabe 6.2 </span>| 2 = Löse folgende lineare Gleichungen. <br /> <br /> | ||
<span style="color: blue"> a) </span> <math> x + \frac{1}{2} = 2 - x </math> <br /> <br /> | |||
<span style="color: blue"> b) </span> <math> x + 3 + 4x = 13 </math> <br /> <br /> | |||
<span style="color: blue"> c) </span> <math> \frac{x}{4} + \frac{1}{2} = 1\frac{1}{4} </math> <br /> <br /> | |||
<span style="color: blue"> d) </span> <math> \frac{x}{2} + x = 6 </math> <br /> <br /> | |||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= Überlege dir, was du rechnen musst, damit das <math> x </math> alleine auf einer der Seite der Gleichung steht. {{Lösung versteckt|1= Sortiere dazu erst die Summanden mit und ohne <math> x </math>, indem du sie addierst, subtrahierst und zusammenfasst. Anschließend dividierst du die Gleichung durch den Vorfaktor des Summanden mit dem <math> x </math> | 2= Tipp 2| 3= Tipp 2 }} | 2= Tipp 1| 3= Tipp 1}} | ||
{{Lösung versteckt|1=a) <math> x = | {{Lösung versteckt|1='''a)''' <math> x = \frac{3}{4} </math> <br /> '''b)''' <math> x = 2 </math> <br /> '''c)''' <math> x = 3 </math> <br /> '''d)''' <math> x = 4 </math> <br /> | 2= Lösung | 3= Lösung }} | ||
| 3 = Arbeitsmethode }} | |||
==== | {{Box|1 = <span style="color: green"> Aufgabe 6.3 </span>| 2 = Löse folgende lineare Gleichungen. <br /> <br /> | ||
<span style="color: green"> a) </span> <math> \frac{3}{4}x + \frac{3}{8} = \frac{x}{2} </math> <br /> <br /> | |||
<span style="color: green"> b) </span> <math> \frac{x}{2} + \frac{x}{5} = 1 </math> <br /> <br /> | |||
<span style="color: green"> c) </span> <math> x + \frac{3}{7} = - x - \frac{1}{10} </math> <br /> <br /> | |||
{{Lösung versteckt|1= Überlege dir, was du rechnen musst, damit das <math> x </math> alleine auf einer der Seite der Gleichung steht. (Bei Schwierigkeiten betrachte im Kaptiel "Terme" die Aufgaben zum Ausklammern.) {{Lösung versteckt|1= Sortiere dazu erst die Summanden mit und ohne <math> x </math>, indem du sie addierst, subtrahierst und zusammenfasst. Anschließend dividierst du die Gleichung durch den Vorfaktor des Summanden mit dem <math> x </math> | 2= Tipp 2| 3= Tipp 2 }} | 2= Tipp 1| 3= Tipp 1}} | |||
{| | {{Lösung versteckt|1='''a)''' <math> x = -\frac{1}{2} </math> <br /> '''b)''' <math> x = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7} </math> <br /> '''c)''' <math> x = -\frac{37}{120} </math> <br /> | 2= Lösung| 3= Lösung }} | ||
| | |||
| | |||
| 3 = Arbeitsmethode }} | |||
{{Box|1 = <span style="color: orange"> Aufgabe 7.1 </span>| 2 = Löse folgende quadratische Gleichungen. <br /> <br /> | |||
<span style="color: orange"> a) </span> <math> x^2 = 25 </math> <br /> <br /> | |||
<span style="color: orange"> b) </span> <math> x^2 - 2 = 14 </math> <br /> <br /> | |||
<span style="color: orange"> c) </span> <math> x^2 = \frac{1}{4} </math> <br /> <br /> | |||
<span style="color: orange"> d) </span> <math> x^2 - 10x + 24 = 0 </math> <br /> <br /> | |||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= Eine quadratische Gleichung kann 2, 1 oder 0 Lösungen haben. Sortiere in einem ersten Schritt die Summanden beispielsweise wie in Aufgabe 6. {{Lösung versteckt|1= Gleichungen der Form <math> x^2 + px + q = 0 </math>, wobei <math> p </math> und <math> q </math> für Zahlen stehen, kannst du mit der <math> p </math> - <math> q </math> - Formel lösen. Solltest du nicht mehr wissen, wie man mit der Formel arbeitet, kannst du dir das auf dieser Seite noch einmal anschauen: https://www.mathebibel.de/pq-formel | 2= Tipp zu d)| 3= Tipp zu d) }} | 2= Tipp 1| 3= Tipp 1}} | ||
{{Lösung versteckt|1=a) <math> x_1 = | {{Lösung versteckt|1='''a)''' <math> x_1 = 5 ; x_2 = -5 </math> <br /> '''b)''' <math> x_1 = 4 ; x_2 = -4 </math> <br /> '''c)''' <math> x_1 = \frac{1}{2} ; x_2 = - \frac{1}{2} </math> <br /> '''d)''' <math> x_1 = 6 ; x_2 = 4 </math> <br /> | 2= Lösung | 3= Lösung }} | ||
{{Lösung versteckt|1=a) Diese Aufgabe hat keine Lösung (in den reellen Zahlen). b) <math> x_1 = 3 ; x_2 = -1 </math> | | 3 = Arbeitsmethode }} | ||
{{Box|1 = <span style="color: blue"> Aufgabe 7.2 </span>| 2 = Löse folgende quadratische Gleichungen. <br /> <br /> | |||
<span style="color: blue"> a) </span> <math> \frac{x^2}{4} = 16 </math> <br /> <br /> | |||
<span style="color: blue"> b) </span> <math> x^2 - 6x = 27 </math> <br /> <br /> | |||
<span style="color: blue"> c) </span> <math> x^2 + 1 = 2x </math> <br /> <br /> | |||
{{Lösung versteckt|1= Eine quadratische Gleichung kann 2, 1 oder 0 Lösungen haben. Sortiere dir zuerst die Summanden. Bringe die Gleichung zum Beispiel in die Form, in der du die <math> p </math> - <math> q </math> - Formel anwenden kannst. | 2= Tipp | 3= Tipp }} | |||
{{Lösung versteckt|1='''a)''' <math> x_1 = 8 ; x_2 = -8 </math> <br /> '''b)''' <math> x_1 = 9 ; x_2 = -3 </math> <br /> '''c)''' <math> x = 1 </math> (Es gibt nicht immer zwei Lösungen bei quadratischen Gleichungen!) <br />| 2= Lösung| 3= Lösung }} | |||
| 3 = Arbeitsmethode }} | |||
{{Box|1 = <span style="color: green"> Aufgabe 7.3 </span>| 2 = Löse folgende quadratische Gleichungen. <br /> <br /> | |||
<span style="color: green"> a) </span> <math> x^2 - 2x + 4 = 0 </math> <br /> <br /> | |||
<span style="color: green"> b) </span> <math> \frac{x^2}{2} = x + \frac{3}{2} </math> <br /> <br /> | |||
{{Lösung versteckt|1= Eine quadratische Gleichung kann 2, 1 oder 0 Lösungen haben. Sortiere dir die Summanden der Gleichung. Bringe die Gleichung zum Beispiel in die Form, in der du die <math> p </math> - <math> q </math> - Formel anwenden kannst. | 2= Tipp | 3= Tipp }} | |||
{{Lösung versteckt|1='''a)''' Diese Aufgabe hat keine Lösung (in den reellen Zahlen). Berechnet man die Lösung der Gleichung mit der <math> p </math> - <math> q </math> - Formel, so sieht man, dass der Radiant negativ ist und somit die Gleichung nicht in den reellen Zahlen gelöst werden kann. | |||
[[Datei:TG Lösung zu A7.3a.png|350px|Lösung zu Aufgabe 7.3a im Kapitel Terme und Gleichungen des Lernpfads "Wie Funktionen funktionieren 2.0"(nicht korrekt via Mathe-Umgebung darstellbar)]] <br /> '''b)''' <math> x_1 = 3 ; x_2 = -1 </math> <br /> |2=Lösung|3=Lösung }} | |||
|3=Arbeitsmethode }} | |||
{{Box|1 = <span style="color: orange"> Aufgabe 8 </span> | 2 = Linda hat aus 750g Ton 3 Vasen getöpfert, die alle gleich schwer sind. Stelle eine Gleichung auf, mit der man berechnen kann, wieviel jede einzelne der Vasen wiegt. | |||
{{Lösung versteckt|1= Benenne die Größe, die du suchst, mit x. | 2= Tipp| 3= Tipp }} | |||
{{Lösung versteckt|1= <math> 3x = 750 </math> In der Gleichung steht das <math> x </math> für das Gewicht einer Vase. Wird dieses mal 3 genommen, erhält man das Gesamtgewicht von 750. | 2= Lösung| 3= Lösung }} | |||
| 3 = Arbeitsmethode }} | |||
<br /> | <br /> | ||
{{Box|1 = <span style="color: blue"> Aufgabe 9 </span> | 2 = {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=8139511}} | |||
| 3 = Arbeitsmethode }} | |||
{{ | {{Box|1 = <span style="color: orange"> Aufgabe 10 </span> | 2 = Eva kauft sich bei einer Rabattaktion 3 Bücher für 12€. Wieviel hat sie für jedes einzelne Buch bezahlt? | ||
<br /> | |||
{{Lösung versteckt|1= Suche zunächst nach der Größe, die du suchst und wähle diese als Unbekannte <math> x </math>. | 2= Tipp 1| 3= Tipp 1}} | |||
{{Lösung versteckt|1= In diesem Fall ist die unbekannte Größe der Preis eines einzelnen Buches. | 2= Tipp 2| 3= Tipp 2 }} | |||
{{Lösung versteckt|1= | |||
{{Lösung versteckt|1= Sie hat für jedes Buch 4€ bezahlt. | {{Lösung versteckt|1= Sie hat für jedes Buch 4€ bezahlt. {{Lösung versteckt|1= Die Gleichung, mit der sich dies berechnen ließ, war: <math> 3x = 12 </math>, wenn man auf jeder Seite durch 3 teilt, erhält man das Ergebnis. | 2= Lösungsweg| 3= Lösungsweg }} | 2= Lösung| 3= Lösung }} | ||
| 3 = Arbeitsmethode }} | |||
{{Box|1 = <span style="color: blue"> Aufgabe 11 </span> | 2 = Linda bezahlt bei ihrem Handytarif 13ct pro Minute oder SMS und hat letzten Monat 8,06€ bezahlt. Anna zahlt 3,90€ Grundgebühr, dafür nur 6ct pro Minute oder SMS. Sie hat letzten Monat 7,80€ bezahlt. | |||
Linda bezahlt bei ihrem Handytarif 13ct pro Minute oder SMS und hat letzten Monat 8,06€ bezahlt. Anna zahlt 3,90€ Grundgebühr, dafür nur 6ct pro Minute oder SMS. Sie hat letzten Monat 7,80€ bezahlt. | |||
Wer hat im letzten Monat mehr telefoniert bzw. SMS geschickt (SMS und telefonieren müssen nicht getrennt berechnet werden)? Berechne mithilfe von Gleichungen. | Wer hat im letzten Monat mehr telefoniert bzw. SMS geschickt (SMS und telefonieren müssen nicht getrennt berechnet werden)? Berechne mithilfe von Gleichungen. | ||
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{{Lösung versteckt|1= Linda hat 62 Minuten/SMS verbraucht und Anna 65. Die Gleichungen, mit denen man dies berechnen konnte, sehen so aus: Linda: <math> 0,13x = 8,06 </math>, Anna: <math> 3,90 + 0,06x = 7,80 </math> | 2= Lösung| 3= Lösung }} | {{Lösung versteckt|1= Linda hat 62 Minuten/SMS verbraucht und Anna 65. Die Gleichungen, mit denen man dies berechnen konnte, sehen so aus: Linda: <math> 0,13x = 8,06 </math>, Anna: <math> 3,90 + 0,06x = 7,80 </math> | 2= Lösung| 3= Lösung }} | ||
===Lineare Gleichungssysteme=== | | 3 = Arbeitsmethode }} | ||
===Wiederholung: Lineare Gleichungssysteme=== | |||
Für das Lösen von Gleichungssystemen gibt es mehrere Verfahren. Grundsätzlich sind alle Verfahren zielführend. Falls du dir noch unsicher bist, kannst du hier die Verfahren noch einmal wiederholen: | Für das Lösen von Gleichungssystemen gibt es mehrere Verfahren. Grundsätzlich sind alle Verfahren zielführend. Falls du dir noch unsicher bist, kannst du hier die Verfahren noch einmal wiederholen: | ||
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<math> II </math> <math> 8x + 3y = 16 </math> | <math> II </math> <math> 8x + 3y = 16 </math> | ||
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}} | }} | ||
{{ | {{Box |1=<span style="color: green"> Aufgabe 16: Die Spardose</span>|2=Valerie und Miriam besitzen zusammen 40 € mehr als Jakob. Valerie und Jakob besitzen zusammen 50 € mehr als Miriam. Miriam und Jakob besitzen zusammen 10 € mehr als Valerie. Wie viel besitzt jede Person? | ||
{{Lösung versteckt| | {{Lösung versteckt|1=Valerie besitzt das Vermögen x, Miriam besitzt das Vermögen y und Jakob besitzt das Vermögen z. Wenn Valerie und Miriam zusammen 30 € mehr besitzen als Jakob, so gilt x+y-z=30.|2=Tipp|3=Tipp}} | ||
{{Lösung versteckt|Valerie hat 45 €, Miriam 25 € und Jakob 30 €.{{Lösung versteckt|Die Variable x steht für das Vermögen von Valerie. Die Variable y steht für das Vermögen von Miriam und die Variable z steht für das Vermögen von Jakon. Dann ist das zu lösende Gleichungssystem | {{Lösung versteckt|1=Valerie hat 45 €, Miriam 25 € und Jakob 30 €.{{Lösung versteckt|Die Variable x steht für das Vermögen von Valerie. Die Variable y steht für das Vermögen von Miriam und die Variable z steht für das Vermögen von Jakon. Dann ist das zu lösende Gleichungssystem | ||
<math> I </math> <math> x + y - z = 40 </math> | <math> I </math> <math> x + y - z = 40 </math> | ||
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<math> I </math> <math> z = 30 </math> | <math> I </math> <math> z = 30 </math> | ||
Valerie hat 45 €, Miriam 25 € und Jakob hat 30 €.|Möglicher Lösungsweg|Möglicher Lösungsweg}}|Lösung|Lösung}}|3=Arbeitsmethode}} | Valerie hat 45 €, Miriam 25 € und Jakob hat 30 €.|Möglicher Lösungsweg|Möglicher Lösungsweg}}|2=Lösung|3=Lösung}}|3=Arbeitsmethode}} | ||
{{Box|1= Aufgabe 17|2= Teste dein Wissen zu Termen und Gleichungen und löse das Quiz! (Beachte die Glühlampe für einen Tipp.) | |||
</br> {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pa2pxxqx219}} | |||
|3=Arbeitsmethode}} | |||
{{Navigation verstecken| | |||
Genug zu dem Thema "Terme und Gleichungen" wiederholt? Dann schau auf deinen Diagnosetest und wähle eines der anderen beiden Themen aus. | |||
In jedem Kapitel gibt es sowohl Aufgaben zum Üben von Inhalten, bei denen du ein ''Minus'' oder einen ''Kreis'' bekommen hast als auch Knobelaufgaben für die Themen, die du schon gut konntest. | |||
[[Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren 2.0/Lineare Funktionen|Lineare Funktionen]] | |||
[[Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren 2.0/Quadratische Funktionen|Quadratische Funktionen]] | |||
<small><<< zurück zu [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren 2.0|Wie Funktionen funktionieren 2.0]]</small> | |||
|Wie geht es weiter?|schließen}} | |||
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[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]] |
Aktuelle Version vom 23. März 2021, 16:27 Uhr
Wiederholung: Terme
Lies dir die Inhalte der folgenden Infokästchen sorgfältig durch und nutze sie, wenn du bei späteren Aufgaben ins Stocken kommst.
Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck, der Zahlen, Variablen, Symbole für mathematische Verknüpfungen (Plus, Minus, Mal, Geteilt) und Klammern enthalten kann.
Beispiele:
Terme zu vereinfachen bedeutet, die Terme durch die dir bekannten Methoden wie Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Ausmultiplizieren und Ausklammern zu verkürzen oder übersichtlicher darzustellen. Hier sind einige Beispiele:
Addieren:
Subtrahieren:
Multiplizieren:
Ausmultiplizieren:
Ausklammern:
Terme zusammenfassen
Wiederholung: Gleichungen
In diesem Abschnitt kannst du trainieren, wie du lineare und quadratische Gleichungen aufstellst und löst. Falls du nicht mehr genau weißt, was eine Gleichung ist, lies dir die kurze Erklärung noch einmal durch:
Eine Gleichung ist eine Aussage über die Gleichheit zweier Terme, die mit Hilfe des Gleichheitszeichens ("=") symbolisiert wird.
Gleichungen sind entweder wahr (5 = 5) oder falsch (5 = 6).
Beispiele:
.
Wiederholung: Lineare Gleichungssysteme
Für das Lösen von Gleichungssystemen gibt es mehrere Verfahren. Grundsätzlich sind alle Verfahren zielführend. Falls du dir noch unsicher bist, kannst du hier die Verfahren noch einmal wiederholen:
Beim Additionsverfahren überlegst du dir, welche Variable du eliminieren bzw. auf Null bringen kannst. Dann entscheidest du, was du tun musst, damit die Variable wegfällt.
Ein Beispiel:
Hier bietet es sich an, die Gleichung I mit der Gleichung II zu addieren, damit die Variable y wegfällt:
Nun kannst du die Gleichung I berechnen.
Den errechneten x-Wert kannst du nun in die Gleichung II einsetzen.
Beim Einsetzungsverfahren löst du eine Gleichung nach einer Variablen auf und setzt diesen Term in die andere Geichung ein.
Ein Beispiel:
Hier bietet es sich an die Gleichung I nach der Variablen y aufzulösen.
Nun setzt du diesen Term für y in Gleichung II ein.
Beim Gleichsetzungsverfahren löst du beide Gleichungen nach der gleichen Variablen auf und stellst diese gleich.
Ein Beispiel:
Löse beide Gleichungen nach x auf.
Nun kannst du die Gleichungen gleichsetzen.
Den errechneten y-Wert kannst du nun in eine Gleichung deiner Wahl einsetzen und die Gleichung lösen.
Textaufgaben mit Hilfe linearer Gleichungssysteme lösen