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Grundlagen

Zufallsexperiment

Ein Vorgang mit zufälligem Ausgang ist durch folgende Eigenschaften gekennzeichnet:

1. Er besitzt mehrere mögliche Ergebnisse.
2. Das Ergebnis kann vor Ablauf des Vorgangs nicht vorhergesagt werden.
3. Es kann beliebig oft wiederholt werden.

Ergebnis, Ergebnismenge, Ereignis

Das Zufallsexperiment kann verschiedene Ausgänge (Ergebnis) haben; man kann diese Ergebnisse mit z.B.$\omega_1, \omega_2, ..., \omega_n,$ bezeichnen. Diese Elemente fasst man zu einer Menge, der Ergebnismenge $\varOmega$ zusammen. Jede Teilmenge der Ergebnismenge heißt Ereignis. Das bedeutet oft fasst man mehrere Ergebnisse zu einem Ereignis zusammen.

Beispiel

Würfeln eines Würfels

1. Ergebnisse: $\omega_1 = 1, \omega_2 = 2, \omega_3 = 3, \omega_4 = 4, \omega_5 = 5, \omega_6 = 6$
2. Ergebnismenge: $\Omega = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \}$
3. Ereignis 1:                 Das Werfen einer ungeraden Zahl. $E_1 = \{1, 3, 5\}$
4. Ereignis 2:                 Das Werfen einer Primzahl. $E_2 = \{2, 3, 5\}$
5. Ereignis 3:                 Das Werfen einer einzelnen Zahl. $E_3 = \{4\}; E_4= \{6\}$

Solche Einzelereignisse wie bei 5. nennt man auch Elementarereignisse.

Unmögliches und sicheres Ereignis

Die Zahl 7 kann niemals geworfen werden.
Das Ereignis ist unmöglich, man nennt dies auch das unmögliches Ereignis.
Eine der Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 wird immer geworfen.

Dieses Ereignis tritt auf jeden Fall ein, man nennt dies auch das sicheres Ereignis

Video 1

In diesem Video erklärt Daniel Jung an Beispielen einige Grundbegriffe.

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Video 2

Hier noch ein zweites Video von Daniel Jung mit weiteren Erklärungen.

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Die Pfadregeln

Die beiden Pfadregeln

1. Pfadregel (Produktregel)

In einem vollständigen Baumdiagramm ist die Wahrscheinlichkeit für ein zusammengesetztes Ergebnis gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des Pfades.

Video 3

In diesem Video wird Dir diese 1. Regel an einem Beispiel erklärt.

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Übung 1

Produktregel

2. Pfadregel (Summenregel)

Bilden mehrere zusammengesetzte Ergebnisse ein Ereignis, so ist die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen zusammengesetzten Ergebnisse.

Video 4

In diesem Video wird Dir diese 2. Regel an einem Beispiel erklärt.

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Übung 2

Komplexe Übung zu Baumdiagrammen

Das Laplace-Experiment

Laplace-Experiment

Für Laplace-Experimente gilt:

Alle Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich,
d.h., bei 2 Ergebnissen (z.B. Münzwurf) beträgt die Wahrscheinlichkeit für jedes Ergebnis $\frac {1}{2}$, bei 6 Ergebnissen (z.B. Würfel) $\frac {1}{6}$, bei n Ergebnissen $\frac {1}{n}$.

Arbeitsauftrag 1

Zur Wiederholung kannst Du auch nochmals in der Klasse 7 im Abschnitt 4 nachsehen.

Die Laplace Wahrscheinlichkeit

Arbeitsauftrag 2

Gern kannst Du auch den nachfolgend angegebene Link verwenden. Er führt zu einem Lernpfad, der von anderen Lehrern erstellt wurde.

Lernpfad im Auftrag des Lehrstuhls Didaktik der Mathematik der Uni Würzburg