Benutzer:Stoll-Gym10Erfurt/Mathematik9/Wahrscheinlichkeit/Grundwissen: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Box|Zufallsexperiment| Unter einem '''Zufallsexperiment''' versteht man die mehrfache Wiederholung eines zufälligen Vorgangs unter gleichen Bedingungen. Dabei bedeutet zufälliger Vorgang, dass das Ergebnis nicht genau vorausgesagt werden kann.|Merksatz }}
{{Box|Zufallsexperiment|
Ein Vorgang mit zufälligem Ausgang ist durch folgende Eigenschaften gekennzeichnet:<br />
# Er besitzt mehrere mögliche Ergebnisse.
# Das Ergebnis kann vor Ablauf des Vorgangs nicht vorhergesagt werden.
# Es kann beliebig oft wiederholt werden.|Merksatz }}
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{{Box|Ergebnis, Ergebnismenge, Ereignis| Das Zufallsexperiment kann verschiedene Ausgänge ('''Ergebnis''') haben; man kann diese Ergebnisse mit z.B.<math>  \omega_1, \omega_2, ..., \omega_n, </math> bezeichnen. Diese Elemente fasst man zu einer Menge, der '''Ergebnismenge <math> \varOmega </math>''' zusammen. Jede Teilmenge der Ergebnismenge heißt '''Ereignis'''. Das bedeutet oft fasst man mehrere Ergebnisse zu einem Ereignis zusammen.|Merksatz }}
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{{Box|Beispiel|'''Würfeln eines Würfels'''<br/> <br/>
1. ''Ergebnisse:''        <math> \omega_1 = 1,  \omega_2 = 2,  \omega_3 = 3,  \omega_4 = 4,  \omega_5 = 5,  \omega_6 = 6 </math> <br/>
2. ''Ergebnismenge:'' <math> \Omega = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \}</math>  <br/>
3. ''Ereignis 1:''                 Das Werfen einer ungeraden Zahl. <math> E_1 = \{1, 3, 5\} </math> <br/>
4. ''Ereignis 2:''                 Das Werfen einer Primzahl. <math> E_2 = \{2, 3, 5\} </math><br/>
5. ''Ereignis 3:''                 Das Werfen einer einzelnen Zahl. <math> E_3 = \{4\};  E_4= \{6\} </math><br/>
Solche Einzelereignisse nennt man auch Elementarereignisse.
|Arbeitsmethode}}
<br/>
{{Box|Unmögliches und sicheres Ereignis|
Die Zahl 7 kann niemals geworfen werden.<br/>
Das Ereignis ist unmöglich, man nennt dies auch das '''unmögliches Ereignis'''.<br/>
Eine der Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 '''oder''' 6 wird immer geworfen.<br/>
Dieses Ereignis tritt auf jeden Fall ein, man nennt dies auch das '''sicheres Ereignis''' |Merksatz }}
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{{#ev:youtube|-mh5nBMyZPk}}<br />|Arbeitsmethode}}
{{#ev:youtube|-mh5nBMyZPk}}<br />|Arbeitsmethode}}
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<div style="font-size: 20pt; background-color: blue; text-align: center; color: yellow; padding: 5px 100px 5px 100px; margin-top: 5px; "> Die beiden Pfadregeln</div>
<br /> 
{{Box|1. Pfadregel (Produktregel)|In einem vollständigen Baumdiagramm ist die Wahrscheinlichkeit für ein zusammengesetztes Ergebnis gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des Pfades.|Merksatz }}
{{Box|Video 3|In diesem Video wird Dir diese 1. Regel an einem Beispiel erklärt.<br />
{{#ev:youtube|jy2fpqOayDw}}<br />|Arbeitsmethode}}
<br/>
{{Box|Übung 1: Produktregel.
{{LearningApp|app= 16246304|width=100%|height=500px}}
|
|Arbeitsmethode}}
<br/>
{{Box|2. Pfadregel (Summenregel)|Bilden mehrere zusammengesetzte Ergebnisse ein Ereignis, so ist die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen zusammengesetzten Ergebnisse.|Merksatz }}
{{Box|Video 4|In diesem Video wird Dir diese 2. Regel an einem Beispiel erklärt.<br />
{{#ev:youtube|jXmh3ag0a-g}}<br />|Arbeitsmethode}}
<br/>
{{Box|Übung 2: Komplexe Übung zu Baumdiagrammen
{{LearningApp|app= 16839983|width=100%|height=550px}}
|
|Arbeitsmethode}}
<br/>
{{Box|Laplace-Experiment|
Für '''Laplace-Experimente''' gilt: <br/>
Alle Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich, <br/>d.h., bei 2 Ergebnissen (z.B. Münzwurf) beträgt die Wahrscheinlichkeit für jedes Ergebnis <math> \frac {1}{2} </math>, bei 6 Ergebnissen (z.B. Würfel) <math> \frac {1}{6} </math>, bei n Ergebnissen <math> \frac {1}{n} </math>.|Merksatz }}
<br />
{{Box|Arbeitsauftrag 1
|Zur Wiederholung kannst Du auch nochmals in der Klasse 7 nachsehen.<br/>
[[Benutzer:Stoll-Gym10Erfurt/Mathematik7/Daten und Zufall#Die Laplace Wahrscheinlichkeit]]
|Arbeitsmethode}}
{{Box|Arbeitsauftrag 2| Gern kannst Du auch den nachfolgend angegebene Link verwenden. Er führt zu einem Lernpfad, der von anderen Lehrern erstellt wurde.<br/><br/>[https://unterrichten.zum.de/wiki/Grundlagen_der_Wahrscheinlichkeitsrechnung Lernpfad im Auftrag des Lehrstuhls Didaktik der Mathematik der Uni Würzburg] |Arbeitsmethode}}

Aktuelle Version vom 5. November 2024, 16:57 Uhr

Zufallsexperiment

Ein Vorgang mit zufälligem Ausgang ist durch folgende Eigenschaften gekennzeichnet:

  1. Er besitzt mehrere mögliche Ergebnisse.
  2. Das Ergebnis kann vor Ablauf des Vorgangs nicht vorhergesagt werden.
  3. Es kann beliebig oft wiederholt werden.


Ergebnis, Ergebnismenge, Ereignis
Das Zufallsexperiment kann verschiedene Ausgänge (Ergebnis) haben; man kann diese Ergebnisse mit z.B. bezeichnen. Diese Elemente fasst man zu einer Menge, der Ergebnismenge zusammen. Jede Teilmenge der Ergebnismenge heißt Ereignis. Das bedeutet oft fasst man mehrere Ergebnisse zu einem Ereignis zusammen.


Beispiel

Würfeln eines Würfels

1. Ergebnisse:
2. Ergebnismenge:
3. Ereignis 1:                 Das Werfen einer ungeraden Zahl.
4. Ereignis 2:                 Das Werfen einer Primzahl.
5. Ereignis 3:                 Das Werfen einer einzelnen Zahl.
Solche Einzelereignisse nennt man auch Elementarereignisse.


Unmögliches und sicheres Ereignis

Die Zahl 7 kann niemals geworfen werden.
Das Ereignis ist unmöglich, man nennt dies auch das unmögliches Ereignis.
Eine der Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 wird immer geworfen.

Dieses Ereignis tritt auf jeden Fall ein, man nennt dies auch das sicheres Ereignis



Video 1

In diesem Video erklärt Daniel Jung an Beispielen einige Grundbegriffe.

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Video 2

Hier noch ein zweites Video von Daniel Jung mit weiteren Erklärungen.

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Die beiden Pfadregeln


1. Pfadregel (Produktregel)
In einem vollständigen Baumdiagramm ist die Wahrscheinlichkeit für ein zusammengesetztes Ergebnis gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des Pfades.
Video 3

In diesem Video wird Dir diese 1. Regel an einem Beispiel erklärt.

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Übung 1: Produktregel.



2. Pfadregel (Summenregel)
Bilden mehrere zusammengesetzte Ergebnisse ein Ereignis, so ist die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen zusammengesetzten Ergebnisse.
Video 4

In diesem Video wird Dir diese 2. Regel an einem Beispiel erklärt.

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Übung 2: Komplexe Übung zu Baumdiagrammen


Laplace-Experiment

Für Laplace-Experimente gilt:

Alle Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich,
d.h., bei 2 Ergebnissen (z.B. Münzwurf) beträgt die Wahrscheinlichkeit für jedes Ergebnis , bei 6 Ergebnissen (z.B. Würfel) , bei n Ergebnissen .



Arbeitsauftrag 1

Zur Wiederholung kannst Du auch nochmals in der Klasse 7 nachsehen.
Benutzer:Stoll-Gym10Erfurt/Mathematik7/Daten und Zufall


Arbeitsauftrag 2
Gern kannst Du auch den nachfolgend angegebene Link verwenden. Er führt zu einem Lernpfad, der von anderen Lehrern erstellt wurde.

Lernpfad im Auftrag des Lehrstuhls Didaktik der Mathematik der Uni Würzburg
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