Benutzer:Buss-Haskert/Terme (mit Klammern)/Summen multiplizieren

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1. Vorwissen und Ausmultiplizieren/Ausklammern
2. Summen multiplizieren
3. Binomische Formeln und 4. Faktorisieren mit binomische Formeln
5. Zusammenfassung
6. Checkliste

2. Summen multiplizieren

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Zeichne die Figur in dein Heft. Berechne den Flächeninhalt der Figur. Wie gehst du vor? Es gibt (mindestens) zwei verschiedene Möglichkeiten.

Möglickeit 1
Berechne den Flächeninhalt der einzelnen Flächen. Dies sind jeweils Rechtecke, also rechnest du A = Länge∙Breite.

Möglichkeit 2
Berechne den Flächeninhalt der gesamten Figur. Dies ist ein Rechteck, rechne also A = Länge∙Breite. Die Länge beträgt (8+1)=9 und die Breite (1,5+4)=5,5.

Die Fläche des Rechtecks lässt sich auf zwei Arten berechnen:

1. als Summe der Einzelflächen und

2. als Produkt.

Übung 10

Bearbeite auf der Seite realmath das Quiz Quiz realmath.

Übung 11

Löse Buch S. 14 Nr. 1. Lies das Beispiel und bearbeite die Aufgaben ebenso.

Summen multiplizieren

Zeichne die Figuren in dein Heft. Gib den Flächeninhalt der nachfolgenden Figur ebenfalls als Summe und als Produkt an. Kannst du einen Merksatz formulieren?

Als Produkt:

Als Summe:

Notiere deine Ideen unter die passende Zeichnung in deinem Heft.

Vergleiche deine Ideen mit denen des nachfolgenden Videos. Ergänze bzw. berichtige deine Ideen.

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Schreibe den Merksatz in dein Heft.

Merke: Summen multiplizieren

Summen werden multipliziert, indem jeder Summand der ersten Summe mit jedem Summanden der zweiten Summe multipliziert wird. Anschließend werden die Produkte addiert.
   (a+b)∙(c+d) = a∙c + a∙d + b∙c + b∙d

Merke: "Jeder gibt jedem die Hand.

Das GeoGebra-Applet verdeutlicht diesen Zusammenhang:

Übung (freiwillig):

App von B. Lachner

Das nachfolgenden Video zeigt Beispiele zur Anwendung dieses Gesetzes.

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Dieses Video erklärt noch einmal ausführlich wie du rechnest, wenn ein Minuszeichen in einer Klammer steht.

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Übung 12

Notiere die Beispielaufgaben in dein Heft und löse sie.
1. (a+6)∙(b+2)
2. (2e+f)∙(4+f)
3. (x+2)∙(y-4z)

Vergleiche anschließend deine Lösungen mit denen im folgenden Video .

Bearbeite anschließend die selbständigen Übungen des Videos und vergleiche deine Lösungen mit den angegebenen Lösungen.

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Eselsbrücke:

+ ∙ (+) = +
- ∙ (-) = +
+ ∙ (-) = -

- ∙ (+) = -

+ : (+) = +
- : (-) = +
+ : (-) = -

- : (+) = -

Merke dir diese Regel mit dem Memoryspiel:

Wenn du zwei gleiche Karten aufdeckst, freust du dich (+),

also + ∙ (+) = + und - ∙ (-) = +
und + : (+) = + und - : (-) = +
wenn du verschiedene Karten aufdeckst, bist du traurig (-),
also + ∙ (-) = - und - ∙ (+) = -

und + : (-) = - und - : (+) = -

Alles Klar? Setze die Zeichen passend ein.

a) (8-a)⋅(5+2b) = 40 + 16b -5a -2ab
b) (-3x+4)⋅(6+7y) = -18x - 21xy + 24 + 28y
c) (6-m)⋅(11-2n) = 66 - 12n - 11m + 2mn
d) (-8a - 2)⋅(5 + 9b) = -40a - 72ab - 10 - 18b
e) (3 + x)⋅(2 - y) = 6 - 3y + 2x - xy
f) (a + 10)⋅(4 - b) = 4a - ab + 40 - 10b

Übung 13

• Bearbeite die nachfolgenden LearningApps.
• Löse von den Übungen auf der Seite realmath jeweils so viele Aufgaben, dass du mindestens 300 Punkte sammelst:

Summen multiplizieren Level 1
Summen multiplizieren Level 2

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Übung 14

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Schreibe die Aufgabe ab und löse die Klammern auf. Fasse, falls möglich, zusammen.

• S. 14, Nr. 2
• S. 14, Nr. 3
• S. 14, Nr. 4
• S. 14, Nr. 5
• S. 14, Nr. 6.

Schreibweise:
a) (n+2)(n+1) = n² + n·1 + n·2 + 2·1

                        = n² + 3n + 2

Vorsicht mit den Vorzeichen:
e) (x-4)(-1-y) = x·(-1) + x·(-y) + (-4)·(-1) + (-4)·(-y)
                        = -x - xy + 4 + 4y

                        = -x - xy + 4y + 4

Erinnerung: Multiplikation mit Dezimalbrüchen

12 · 0,5 = 6, denn 12·5 = 60 (mit 1 Nachkommastelle bei 0,5 ist dann 12·0,5 =6,0

Rechne mit Zwischenschritten:
a) (10s-12t)(5s+4t) = 10s·5s + 10s·4t + (-12t)·5s + (-12t)·4t
                        = 50s² + 40st - 60st - 48t²  |fasse nun 40st-60st zusammen, denke an Schulden und Guthaben

                        = 50s² - ____ - 48t²

Zerlege die Summanden in Produkte mit gleichen Faktoren (ausgeklammerte Zahl):
a) 42xy - 14xyz = 7xy·6 - 7xy·2z = 7xy(6 - 2z)
b) 52df = 13·4df; Welcher Term wurde also ausgeklammert?
c) 45pq = 9pq·5; Welcher Term wurde also ausgeklammert?
d) 99xz = 11z·9x; Welcher Term wurde also ausgeklammert?
e) Achte auf die Vorzeichen.

f) Achte auf die Vorzeichen.

Übung 15

Der Flächeninhalt der blauen Fläche lässt sich auf verschiedene Arten berechnen.
.
Skizziere die Figur in dein Heft.
a) Löse das Quiz unten und schreibe die geeigneten Terme in dein Heft Begründe jeweils mithilfe der Zeichnung.

b) Löse die Klammern in den Termen auf und zeige, dass sie gleich sind.

Welche Terme sind geeignet, die blaue Fläche zu berechnen?
(a⋅b-x⋅y) (!a⋅⟨b-y⟩+b⋅⟨a-x⟩) (!a⋅b+x⋅y) (⟨a-x⟩⋅⟨b-y⟩+x⋅⟨b-y⟩+y⋅⟨a-x⟩)

3. Binomische Formeln

Weiter geht es mit drei Sonderfällen bei der Multiplikation von Summen, den binomischen Formeln.

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